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人教A版6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例课前检测题
一、单选题
1．在一幢米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为 ，那么这座塔吊的高是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午时到达一座灯塔的南偏西距塔海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这艘船航行的速度为（）
A．海里/时 B．海里/时
C．海里/时 D．海里/时
3．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为（ ）
A． km B．km
C． km D．2 km
4．轮船甲和轮船乙在上午11时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为，两船的航行速度分别为25海里/小时、海里/小时，则当天下午1时两船之间的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．100海里 D．海里
5．灯塔A和灯塔B与海洋观察站C的距离都是10海里，灯塔A在观察站C的北偏东
40°，灯塔B在观察站C的南偏东20°，则灯塔A和灯塔B的距离为
A．10海里 B．20海里 C．海里 D．海里
6．如图，设，两点在河的两岸，测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为50m，，后，就可以计算出，两点间的距离为（ ）
A．m B．m C．m D．m
7．如图，设点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点．测出两点间的距离为．，则两点间的距离为（ ）m．
A． B． C． D．
8．已知、两地的距离为，、两地的距离为，现测得，则、两地的距离为（ ）．
A． B． C． D．
9．在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高是( )
A． B． C． D．
10．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km B． a km
C． akm D．2akm
二、填空题
11．已知钝角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是_________.
12．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________.
13．已知船在灯塔北偏东且到的距离为，船在灯塔北偏西且到的距离为，则，两船的距离为______.
14．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为_____________.
三、解答题
15．如图，一艘湖面清运船在处发现位于它正西方向的处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少40米，于是选择沿路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在处转向所用时间）．
（1）、两处垃圾的距离是多少？
（2）清运船此次清扫行走路线的夹角是多少？（用反三角函数表示）
16．一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，求此山的高CD．
参考答案
1．B
【分析】
根据题意作出图形，解三角形即可.
【详解】
根据题意作图如下：
由题意知：，仰角，俯角，
在等腰直角三角形中，，
在直角三角形中，，所以 ，
所以塔高，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是能根据题意画出图形，能找出俯角和仰角，
2．A
【分析】
根据已知条件，直接利用正弦定理解出MN.
【详解】
，
在 中有
海里/时，选A.
【点睛】
本题考查正弦定理的使用，属于简单题．
3．A
【分析】
根据题意，画出示意图，利用正弦定理，即可求得结果.
【详解】
如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，
所以＝，
所以AC＝2×＝ (km)．
故选：.
【点睛】
本题考查利用正弦定理求解距离测量的问题，属简单题.
4．B
【分析】
先求出下午1时轮船甲、乙到海港C的距离，，再求两船之间的距离即可.
【详解】
设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A和B，由题可知，，，则，故海里.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解决距离测量问题，是基础题.
5．D
【解析】
试题分析：由题意在中，由余弦定理可知
考点：三角形余弦定理
6．A
【分析】
求出角后，根据正弦定理可解得结果.
【详解】
，
由正弦定理得，
∴，
故，两点的距离为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了三角形的内角和定理，属于基础题.
7．C
【分析】
先根据三角形内角和求，再根据正弦定理求解.
【详解】
在中,，
则
由正弦定理得 ，
所以 m.
故选：C.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，属基础题.
8．D
【分析】
根据题意，利用余弦定理即可.
【详解】
在中，,
所以：
,
所以
故选：D
【点睛】
本题考查了利用余弦定理求边长，属于容.易题
9．D
【分析】
如图所示，山高为，塔高为，根据已知在中，求出，在用正弦定理，即可求出.
【详解】
如图所示，山高为，塔高为，
分别为山下一塔顶与塔底的俯角，
，
在中，
在中，，
由正弦定理得.
故选:D.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用题，关键要熟练运用正弦定理，属于基础题.
10．B
【分析】
先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．
【详解】
在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．
11．
【分析】
根据题意，得到4对应的角为钝角，或对应的角为钝角，结合余弦定理以及三角形的性质，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为3，4，为三角形的三边，
所以，即；
又该三角形为钝角三角形，则只能4对应的角为钝角，或对应的角为钝角，
若4对应的角为钝角，则，解得；
若对应的角为钝角，则，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查由三角形形状求参数范围，考查余弦定理的应用，以及三角函数的性质，属于常考题型.
12．米、米
【分析】
过点作于点，根据题意得，根据题中所给的俯角和仰角，然后在和中，求两楼的高度.
【详解】
如图，
甲楼的高为（米）；
乙楼的高为（米）.
故答案为：米、米
13．
【分析】
由题意作出图形，再利用余弦定理求解即可.
【详解】
根据题意如图：
由题意得，又，
由余弦定理得
所以
故答案为：．
【点睛】
本题考查余弦定理在实际中的应用，考查作图能力，考查运算能力，属于基础题.
14．直角三角形
【分析】
利用正弦定理边角互化思想求得的值，可求得角的值，进而可判断出的形状.
【详解】
，由正弦定理得，
即，
，则，，，.
因此，为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题.
15．（1）140米；（2）．
【分析】
（1）由题意C在A处北偏东30°方向上，可得∠CAB＝90°+30°＝120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值；
（2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC＝120°，由正弦定理可得sinB的值，进而求得．
【详解】
（1）由题意可得|AB|+|BC|＝2×100＝200，|AC|﹣|AB|＝40，所以|AC|+|BC|＝240，|AB|＝200﹣|BC|，|AC|＝240﹣|BC|，
因为C在A处北偏东30°方向上，所以∠CAB＝90°+30°＝120°，
在三角形ABC中，由余弦定理可得|BC|2＝|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cos120°＝（200﹣|BC|）2+（240﹣|BC|）2+（200﹣|BC|）（240﹣|BC|），
整理可得|BC|2﹣660|BC|+72800＝0，解得|BC|＝140或|BC|＝520（舍），所以B、C两处垃圾的距离是140米；
（2）由（1）可得|BC|＝140，|AC|＝240﹣140＝100，∠CAB＝120°，由正弦定理可得，
所以，，.
【点睛】
本题考查三角形中正余弦定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为三角形中来解决，属于基础题.
16．
【分析】
先求出、、
【详解】
题：
解：，
在中，由正弦定理：
，
又在RT，
故答案为：
【点睛】
本题只要考查了正弦定理解三角形。属于基础题.

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