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第14章
整式的乘除与因式分解
复习与小结
本章知识结构：
一、整式的有关概念
1、代数式 2、单项式 3、单项式的系数及次数
4、多项式 5、多项式的项、次数 6、整式
二、整式的运算
（一）整式的加减法
去括号，合并同类项
1、单项式除以单项式
2、多项式除以单项式
（三）整式的除法
1、同底数幂的乘法 2、幂的乘方
3、积的乘方 4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式
7、多项式乘以多项式 8、平方差公式
9、完全平方公式
（二）整式的乘法
一、整式的有关概念
1、单项式：
数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数：
单项式中的数字因数。
3、单项式的次数：
单项式中所有的字母的指数和。
4、多项式：几个单项式的和叫多项式。
5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！！！
6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）
二、整式的运算
（一）整式的加减法
基本步骤：去括号，合并同类项。
1、同底数幂的乘法
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
（二）整式的乘法
练习：判断下列各式是否正确。
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
（其中m、n、P为正整数）
3、积的乘方
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号表示：
练习：计算下列各式。
4.单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
( a+b)(m+n) =

a(m+n)+b(m+n
a(m+n)+b(m+n)
5 .多项式与多项式相乘：
=am+an+bm+bn
（1）、平方差公式
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式
说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。
6.乘法公式：
一般的，我们有：
1、 205×195
2、 (3x+2) (3x-2)
3、(-x+2y) (-x-2y)
4 、
(x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
法则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
一般的，我们有：
注意：
（1）(a-b)=-(b-a)
(2 )（a-b)2=(b-a)2
(3) (-a-b)2=(a+b)2
(4) (a-b)3=-(b-a)3
7.添括号的法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。
（1）、同底数幂的除法
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
一般地，我们有
（其中a≠0，m、n为正整数,并且m＞n ）
8.整式的除法：
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（3）、多项式除以单项式
法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
练习
练习：计算下列各题。
分解因式
定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解或分解因式。
与整式乘法的关系：
互为逆过程，互逆关系
方法
提公因式法
公式法
步骤
一提：提公因式
二用：运用公式
三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式
（2）找公因式：找各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
（3）.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解 的方法提公因式法。
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的
形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解，也叫做把这个多项式分解因式 。
X2-1 (X+1)(X-1)
因式分解
整式乘法
知识点2 提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公
共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式
的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+
mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中
一个因式是各项的公因式m，另一个因式
(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像
这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x2 – x = x(x-1)，
8a2b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1)
x
2a
探究交流
下列变形是否是因式分解？为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.
不满足因式分解的含义
因式分解是恒等变形而本题不恒等.
是整式乘法.
典例剖析
例1 用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).
(2)3x(a-b)+2y(b-a)
=3x(a-b)-2y(a-b)
=(a-b)(3x-2y)
x3
+ (b-a)
- (a-b)
(a-b)
小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：
(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项
要合并，而且每个括号内不能再分解.
如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)
=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]
=(x+y)(4m-6n).
=2(x+y)(2m-3n).
(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先
统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到
(a-b)n=(b-a)n(n为偶数)
例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.
本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)
统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简
便，因为(x-y)2=(y-x)2.
a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2
=(y-x)2[a+b(y-x)+c] =(y-x)2(a+by-bx+c).
(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成
幂的形式.
例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]
=(a-2b)(8a-16b)
=8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2.
做一做
把下列各式分解因式.
(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；

(2)4p(1-q)3+2(q-1)2；
2(2a+b)2
2(1-q)2(2p-2pq+1)
或2(q-1)2(2p-2pq+1)
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
例如：4x2-12xy+9y2
=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
知识点3 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
探究交流
下列变形是否正确？为什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
目前在有理数范围内不能再分解.
不是完全平方式，不能进行分解
不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式.
(1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2；
(3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2
做一做
把下列各式分解因式.
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；
(2)(x+y)2-4(x+y-1).
(1)(x2 +3)2
(2)(x+y-2)2
(2)1-10x+25x2
(3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
=(a+b+2a)(a+b-2a)
=(3a+b)(b-a)
=(1-5x)2
=1-10x+(5x)2
4a2
(2a)2
+2a
-2a
25x2
(5x)2
综合运用
例3 分解因式.
(1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x)
解:(1)x3-2x2+x
=x(x2-2x+1)
=x(x-1)2
(2)x2(x-y)+y2(y-x)
x
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x-y)(x+y)(x-y)
=(x+y)(x-y)2
=(x-y)(x2-y2)
小结 解因式分解题时，首先考虑
是否有公因式，如果有，先提公因式；
如果没有公因式是两项，则考虑能否用
平方差公式分解因式. 是三项式考虑用
完全平方式，最后，直到每一个因式都
不能再分解为止.
探索与创新题
例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数
的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2
∴±kxy=2·3x·6y=36xy
∴k=±36
做一做
若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=___
k=3或k=-9
思考题 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10
分析:把x4+x2作为一个整体，用一个
新字母代替，从而简化式子的结构.
解：令x4+x2=m，则原式可化为
(m-4)(m+3)+10
=m2-m-12+10
=m2-m-2
=(m-2)(m+1)
=(x4+x2-2)(x4+x2+1)
=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)
=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
1、利用因式分解计算：
（1）
（2）(1－ )(1－ )(1－ )…(1－ )
（3）20042-4008×2005+20052
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
2、若a、b、c为△ABC的三边，且满足
a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状。
（2）
3.分解因式：
（1）.
（3）
（4）
计算：1、(3a2b3)2·(- 2ab3c)2
2、x(x-1)-2x(-x+1)-3x(2x-5)
3 、先化简,再求值:
(3a+1)(2a-3)-6(a+2)(a-1),其中a=-3
解：原式=(9a4b6) (4a2b6c2)
=(9×4)(a4·a2) (b6·b6) ·c2
=36a6b12c2
1.将多项式am+an+bm+bn 分解因式

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