资源简介

2020年中考数学压轴题专项训练——特殊的平行四边形
1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．




2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）判断四边形ACDF的形状；
（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．








3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．
（1）求证：△ACE≌△CBF；
（2）求∠CGE的度数．






4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）试判断四边形AEDF的形状．
（2）当△ABC满足　 　条件时，EF∥BC；当△ABC满足　 　条件时，EF＝AD．


5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．
（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；
（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）
（1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝　 　，RH＝　 　；
（2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2
①求△PRQ的面积；
②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；
③六边形花坛ABCDEF的面积是　 　m2．


7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．
（2）当BH平分DE时，求GC的长．





8．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．





9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD满足　 　条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．










10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是菱形．





11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；
（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．






12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）填空：
①当∠ADC＝　 　°时，四边形ACEB为菱形；
②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝　 　．


13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF．
（1）求证：四边形AEMF是菱形；
（2）若AB＝6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA＝9，求△OPE的周长．



14．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．
（1）如图（1），求证：AP＝AQ；
（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．

15．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F为CE的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；
（1）若AB＝2，求EF的长；
（2）求证：CG﹣EF＝BG．


参考答案
1．（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵∠B＝90°，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵AB＝BC，BM＝BE，
∴AM＝EC，
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：取AB中点M，连接EM，
∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM＝CE＝BE，
∴∠BME＝∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴EM＝CF，
∵AB＝2，点E是边BC的中点，
∴BM＝BE＝1，
∴CF＝ME＝．


2．（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△FAE和△CDE中，，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，
∴AF＝CD，BF＝BC，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF平分∠BCD．
3．（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，
∵BE＝AF，
∴BE+BC＝AF+AB，
即CE＝BF，
在△ACE和△CBF中，，
∴△ACE≌△CBF（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∵∠BAE＝∠FAG，
∴∠E+∠BAE＝∠F+∠FAG，
∴∠CGE＝∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CGE＝60°．
4．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF＝AD．理由如下：
由（1）得：四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，
∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴EF∥BC；
当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
∴EF＝AD；
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．
5．（1）证明：如图，
延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，
∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，
在△ADE'和△ABE中，，
∴△ADE'≌△ABE（SAS），
∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，
在△E′AF和△EAF中，，
∴△E′AF≌△EAF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；

（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，
由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），
∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，
设BE＝x，DF＝y，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，
∵△CEF的周长为2，
∴CE+CF+EF＝2，
∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，
∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，
在△E'AF和△EAF中，，
∴△E'AF≌△EAF（SSS），
∴∠E'AF＝∠EAF，
∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，
∴∠EAF＝45°．

6．解：（1）∵PR⊥QR，
∴∠PRQ＝90°，
∴PR2+RQ2＝PQ2，
∵S1＝16，S2＝9，
∴S3＝16+9＝25，
∴PR＝4，RQ＝3，PQ＝5，
∵RH⊥PQ，
∴PR?RQ＝PQ?RH，
∴RH＝＝，
故答案为：25，2.4；
（2）①设PH＝a，则QH＝6﹣a，
∵RH2＝PR2﹣PH2＝RQ2﹣HQ2，
∴25﹣a2＝13﹣（6﹣a）2，
解得：a＝4，
∴RH2＝PR2﹣PH2
＝25﹣16
＝9，
∴RH＝3，
∴S△PQR＝×6×3＝9；

②S△PRQ＝S△DQE，
证明：延长RQ到点M，使QM＝RQ，连结PM，
∵QD＝QM，∠DQE＝∠MQP，QE＝QP
∴△DQE≌△MQP（SAS），
∴S△DQE＝S△MQP，
∵RQ＝QM，
∴S△PRQ＝S△MQP，
∴S△PRQ＝S△DQE；
③六边形花坛ABCDEF的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m2．
故答案为：110．

7．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
同理：CG＝CE，
∠GCE＝90°，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠GBC+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BHE）＝90°，
∴BH⊥DE；
（2）若BH垂直平分DE，连接BD，
∴BD＝BE，
∵BD＝，
∴CG＝CE＝BE﹣BC＝﹣1．

8．解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝，
在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，
∴CF＝＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE＝CF＝2．
9．（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理：EH∥OC，EH＝OC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；

（2）解：当?ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；

（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形．

10．（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∵AE＝7，
∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：7；

②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝10，AE＝4，
∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：4．

11．解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，
∵AP∥BQ，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四 边形．
此时，t＝22﹣3t，t＝．
当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，
∵PD∥QC，
∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．
此时，16﹣t＝3t，t＝4，
∵线段PQ为平行四边形的一边，
故当t＝或4时，线段PQ为平行四边形的一边．
（2）当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3，
当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD﹣PD＝16﹣13＝3．
在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP═≠13
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意得，，解得，．
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在t＝6时为菱形．

12．（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠AFB＝∠CFD，
∴△AFB≌△CFD （ASA），
∴AB＝CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，
∵∠ADC＝60°，
∴∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝BE，
∴四边形ACEB为菱形，
故答案为：60；
②当∠ADC＝90°，BE＝4时，
DE＝4，
故答案为：4．
13．（1）证明：∵EF垂直平分AM，
∴AE＝EM，OA＝OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠AFO＝∠MEO，在△OF和△MOE中，，
∴△AOF≌△MOE（AAS）．
∴OF＝OE．
∴四边形AEMF是平行四边形．
∵AE＝EM．
∴四边形AEMF是菱形；
（2）解：∵O、H分别为AM、AB的中点，
∴BM＝2OH，AM＝2OA，
∴AM+BM＝2OA+2OH＝18．
设BM＝x，则AM＝18﹣x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：62+x2＝（18﹣x）2，
解得：x＝8，
∴BM＝8，AM＝10．
∴OA＝AM＝5，
设EM＝m，则BE＝8﹣m，AE＝EM＝m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝，
∴AE＝EM＝
在Rt△AOE中，EO＝＝＝．
∵OP∥EM，
∴＝＝1，
∴AP＝PE，
∴OP＝EM＝，
∵PE＝AE＝，
∴△OPE的周长＝EO+PE+OP＝++＝10．
14．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵P、Q分别是边BC、CD的中点，
∴BP＝CQ，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP＝AQ，
（2）∵AP＝AQ，
∴△APQ是等腰三角形，
∵BC＝CD，
∵P、Q分别是边BC、CD的中点，
∴PC＝CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∵AB＝BC，AD＝CD，
∴△ABC，△ACD是等腰三角形，
∴图中所有的等腰三角形有△ABC，△APQ，△ACD，△CPQ．
15．（1）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，
∴OB＝AB＝1，OA＝OB＝，
∴AC＝2OA＝2，
∵AE＝AB＝2，
∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，
∵F为CE的中点，
∴EF＝CE＝﹣1；
（2）证明：设AB＝2a，
同（1）得：OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，
∴AC＝2OA＝2a，
∵AE＝AB＝2a，
∴CE＝AC﹣AE＝（2﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣）a，
∵F为CE的中点，
∴EF＝CE＝（﹣1）a，
∴OF＝OE+EF＝（2﹣）a+（﹣1）a＝a，
∴OB＝OF，
∵AC⊥BD，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴∠BFG＝45°，
∵BG⊥BF，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴GF＝BG，
∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF，
∴CG﹣EF＝BG．

展开更多......

收起↑