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2018-2019学年山西省晋中市榆次区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．cos30°的值是（　　）
A．1 B． C． D．
2．若点A（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　）

A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
4．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．抛物线y＝（x+2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平移方法中正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝，则线段AB的长为（　　）

A． B．2 C．5 D．10
7．某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（　　）

A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米
9．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
10．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5个小题每小题3分，共15分）
11．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是　 　．
12．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　．
13．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为　 　米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】

14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为　 　．

15．如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
16．（11分）（1）计算2tan60°
（2）解方程：2x2+3x﹣1＝0
17．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

18．（8分）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选项目人数统计表
项目 男生（人数） 女生（人数）
机器人 7 9
3D打印 m 4
航模 2 2
其他 5 n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为　 　°；
（3）从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．

19．（7分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　 　件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
20．（7分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

21．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

22．（11分）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
（1）求证：CE＝CF．
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

23．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y＝﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y＝ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．

（1）试求该抛物线表达式；
（2）如图（1），当点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．
①求证：△ACD是直角三角形；
②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？



2018-2019学年山西省晋中市榆次区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．【解答】解：cos30°＝．
故选：B．
2．【解答】解：将A（﹣2，3）代入反比例函数y＝，得
k＝﹣2×3＝﹣6，
故选：A．
3．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，
∴CE＝CD＝4cm．
在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，
∴OE＝＝3cm，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8cm．
故选：A．
4．【解答】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，如图所示：．
故选：B．
5．【解答】解：∵函数y＝x2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度，
得，y＝（x+2）2；
然后y轴向下平移1个单位长度，
得，y＝（x+2）2﹣1；
故可以得到函数y＝（x+2）2﹣1的图象．
故选：B．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，OB＝OD，
∴∠AOB＝90°，
∵BD＝8，
∴OB＝4，
∵tan∠ABD＝＝，
∴AO＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
故选：C．
7．【解答】解：如图，
，
共有16种结果，小明和小红分在同一个班的结果有4种，故小明和小红分在同一个班的机会＝＝．
故选：A．
8．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，
在Rt△ABD中，BD＝AD?tan30°＝120×＝40（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD?tan60°＝120×＝120（m），
∴BC＝BD+CD＝160（m）．
故选：C．

9．【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：D．
10．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，且开口向下，
∴x＝1时，y＝a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题每小题3分，共15分）
11．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2+5，
∴顶点坐标为：（2，5）．
故答案为：（2，5）．
12．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故答案为： x（x﹣1）＝21．
13．【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB?sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
14．【解答】解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，
由题意可得：∠C1NO＝∠A1MO＝90°，
∠1＝∠2＝∠3，
则△A1OM∽△OC1N，
∵OA＝5，OC＝3，
∴OA1＝5，A1M＝3，
∴OM＝4，
∴设NO＝3x，则NC1＝4x，OC1＝3，
则（3x）2+（4x）2＝9，
解得：x＝±（负数舍去），
则NO＝，NC1＝，
故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．

15．【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），
当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB＝S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC＝（BD+AC）?CD＝（1+2）×2＝3，
∴S△AOB＝3．
故答案是：3．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
16．【解答】解：（1）原式＝2×﹣2﹣1+3＝2；
（2）∵2x2+3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝9+8＝17，
∴x＝
17．【解答】解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得，
＝m+8，
解得m＝﹣6，
m+8＝﹣6+8＝2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y＝﹣，
将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得，﹣＝﹣6，
解得n＝1，
所以，点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；

（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4＝0解得x＝﹣2，
所以，点C的坐标为（﹣2，0），
所以，OC＝2，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
＝×2×2+×2×6，
＝2+6，
＝8．

18．【解答】解：（1）由两种统计表可知：总人数＝4÷10%＝40人，
∵3D打印项目占30%，
∴3D打印项目人数＝40×30%＝12人，
∴m＝12﹣4＝8，
∴n＝40﹣16﹣12﹣4﹣5＝3，
故答案为：8，3；

（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数＝×360°＝144°，
故答案为：144；

（3）列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．
所以P（ 1名男生、1名女生）＝．
19．【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
20．【解答】解：在Rt△ACE中，
∵tan∠CAE＝，
∴AE＝＝≈≈21（cm）
在Rt△DBF中，
∵tan∠DBF＝，
∴BF＝＝≈＝40（cm）
∵EF＝EA+AB+BF≈21+90+40＝151（cm）
∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF
∴四边形CEFH是矩形，
∴CH＝EF＝151cm
答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．
21．【解答】解：（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6﹣t．
当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6﹣t＝2t，
解得：t＝2（s），
所以，当t＝2s时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当 QA：AB＝AP：BC时，△QAP∽△ABC，那么有：
（ 6﹣t）：12＝2t：6，解得t＝＝1.2（s），
即当t＝1.2s时，△QAP∽△ABC；
②当 QA：BC＝AP：AB时，△PAQ∽△ABC，那么有：
（ 6﹣t）：6＝2t：12，解得t＝3（s），
即当t＝3s时，△PAQ∽△ABC；
所以，当t＝1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

22．【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠EAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CFA＝∠AED，又∠AED＝∠CEF，
∴∠CFA＝∠CEF，
∴CE＝CF；

（2）猜想：BE′＝CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ED＝EG，
由平移的性质可知：D′E′＝DE，
∴D′E′＝GE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
，
∴△CEG≌△BE′D′（AAS），
∴CE＝BE′，
由（1）可知CE＝CF，
∴BE′＝CF．

23．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x﹣4．
（2）设P（m， m2+m﹣4），则F（m，﹣ m﹣4）．
∴PF＝（﹣m﹣4）﹣（m2+m﹣4）＝﹣m2﹣m．
∵PE⊥x轴，
∴PF∥OC．
∴PF＝OC时，四边形PCOF是平行四边形．
∴﹣m2﹣m＝4，解得：m＝﹣或m＝﹣8．
当m＝﹣时， m2+m﹣4＝﹣，
当m＝﹣8时， m2+m﹣4＝﹣4．
∴点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．
（3）①证明：把y＝0代入y＝﹣x﹣4得：﹣ x﹣4＝0，解得：x＝﹣8．
∴D（﹣8，0）．
∴OD＝8．
∵A（2，0），C（0，﹣4），
∴AD＝2﹣（﹣8）＝10．
由两点间的距离公式可知：AC2＝22+42＝20，DC2＝82+42＝80，AD2＝100，
∴AC2+CD2＝AD2．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．
②由①得∠ACD＝90°．
当△ACD∽△CHP时，＝，即＝
解得：n＝0（舍去）或n＝﹣5.5或n＝﹣10.5．
当△ACD∽△PHC时，＝，即＝，
解得：n＝0（舍去）或n＝2或n＝﹣18．
综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．

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