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2021年度北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明章末综合优生辅导训练（附答案）
1．下列四个说法：
①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．
其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2
C．3
D．4
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm，则这个三角形的周长是（　　）
A．11cm
B．13cm
C．11cm或13cm
D．不确定
5．如图，在△ABC中，∠A＝87°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是BC中点，且DE⊥BC，那么∠C的度数为（　　）
A．16°
B．28°
C．31°
D．62°
6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（　　）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．9
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．15
B．30
C．12
D．10
9．如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
10．如图，在△ABC中，∠ACD＝20°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则∠A的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝　
　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为　
　．
13．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为　
　．
14．在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为　
　．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝90°+∠A；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
⑤AD＝（AB+AC﹣BC）
其中正确的结论是　
　．
16．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝　
　．
17．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为　
　．
18．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC＝　
　．
19．如图，AB＝BC＝CD，∠A＝25°，则∠BCD＝　
　．
20．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　
　秒．
21．如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
22．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．
（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（3）判断△ACF的形状，并说明理由．
24．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
25．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
26．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为16cm，AC＝6cm，求DC长．
参考答案
1．解：如图1，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝BD，
∴等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故①错误；
如图2，∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，
∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．
在△BDC和△CEB中，
，
∴△BDC≌△CEB（SAS）．
∴BD＝CE，故②正确；
∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故③错误；
∵等腰三角形的一边长为5，一边长为10，
∴只能三边是10，10，5，
∴它的周长是25，故④错误．
故选：A．
2．解：当DP⊥BC时，DP的长最小，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＝90°，
∴当DP⊥BC时，DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值是4，
故选：A．
3．解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故选：B．
4．解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、5cm，
能组成三角形，周长＝3+3+5＝11cm，
②3cm是底边长时，三角形的三边分别为3cm、5cm、5cm，
能组成三角形，周长＝3+5+5＝13cm，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故选：C．
5．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE⊥BC，E是BC中点，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C，
∴∠ABD+∠CBD+∠C＝180°﹣87°，
解得，∠C＝31°，
故选：C．
6．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
∴∠CHD＝∠CAD+∠ACE＝55°．
故选：D．
7．解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，
故选：B．
8．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×10×3＝15．
故选：A．
9．解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC＝×16＝8，
故选：B．
10．解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴BD＝DC，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝45°+2°＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
故选：C．
11．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DA，
∵AB＝4，△ABD的周长为12，
∴BC＝12﹣4＝8．
故答案为：8．
12．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×8＝4，
∴DF＝4，
故答案为：4．
13．解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
∴∠APB＝＝75°；
如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
∴∠APB＝∠ABC＝15°．
综上所述：∠APB的度数为75°或15°．
故答案为：75°或15°．
14．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+AE＝BD+CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当BD与CE无重合时，如图1，
AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当BD与CE有重合时，如图2，
AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，
综上所述，AD+AE＝6或14．
故答案为：6或14．
15．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE?OM+AF?OD＝OD?（AE+AF）＝mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．
∴AM＝AD，BM＝BN，CD＝CN，
∵AM+BM＝AB，AD+CD＝AC，BN+CN＝BC，
∴AD＝（AB+AC﹣BC）故⑤正确，
故答案为：①②③⑤．
16．解：∵△ABC为锐角三角形，
∴高AD和BE在三角形内．
∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°．
∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE，
∴∠EAD＝∠EBD，
又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
故答案为45°
17．解：当为锐角时，如图
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠A＝50°，
当为钝角时，如图
∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：50°或130°．
18．解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，
∴O为△ABC的三内角平分线的交点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，
故答案为：125°．
19．解：∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠A+∠BCD＝30°，
又∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠D＝80°．
故答案为：80°．
20．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
21．解：（1）设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12．
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合．
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
22．解：∵等腰三角形的周长是15+18＝33（cm），
设等腰三角形的腰长为xcm、底边长为ycm，由题意得：
或，
解得或，
∴等腰三角形的底边长为13cm或9cm．
23．解：（1）∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠CAD＝α，
∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝90；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG＝90°，
∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，
即∠BCF＝α；
（3）△ACF是等腰三角形．
理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，
∴∠BAG＝45°，
∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，
∴∠BAC＝∠AFC，
∴AC＝FC，
∴△ACF是等腰三角形．
24．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴2EB＝BC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，
∴BD＝BE，
∴2BD＝BC；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．
25．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
26．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长16cm，AC＝6cm，
∴AB+BC＝10（cm），
∴AB+BE+EC＝10（cm），
即2DE+2EC＝10（cm），
∴DE+EC＝5（cm），
∴DC＝DE+EC＝5（cm）．

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