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7-3 万有引力的成就
【知识点梳理】
一、计算天体的质量
1．地球质量的计算
(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G.
(2)结论：M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
(1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝.
(2)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量．
3．其他行星质量的计算
(1)依据：绕行星做匀速圆周运动的卫星，同样满足G＝(M为行星质量，m为卫星质量)．
(2)结论：M＝，只要知道卫星绕行星运动的周期T和半径r，就可以计算出行星的质量．

二、地球重力
1．地球表面上的重力与万有引力的关系

如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg＜G.
2．重力与纬度的关系
(1)在赤道上：重力和向心力在一条直线上，G＝mω2R＋mg.
(2)在两极上：F向＝0，G＝mg.
(3)在一般位置：重力是万有引力的一个分力，G＞mg.越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg.
3．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝.
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度处的重力加速度g＝.

三、解决天体运动问题的方法
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”．
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
G＝m
M＝
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2
M＝

G＝mr
M＝

2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝.
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝.
3．应用万有引力定律解题的两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
G＝m＝mr＝mω2r.
(2)黄金代换
在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，从而得出GM＝R2g.
4．几个常用公式
(1)由G＝m可得v＝，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r可得ω＝，r越大，ω越小．
(3)由G＝m2r可得T＝2π，r越大，T越大．
(4)由G＝ma可得a＝，r越大，a越小．
(5)辅助公式：ρ＝，V＝πR3.
5．四个重要结论
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大，ω越小
T与r的关系
G＝mr
T＝2π
r越大，T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，a越小

宇宙双星问题
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点：

(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同．
(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等．
(3)轨道半径与质量的关系
由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝L，r2＝L，则＝.

四、发现未知天体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．
【例题讲解】
【例1】(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)(　　)
A．已知地球绕太阳运动的周期T和地球中心离太阳中心的距离r
B．已知月球绕地球运动的周期T和地球的半径r
C．已知月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D．已知月球绕地球运动的周期T和轨道半径r
[答案]CD　
[解析]已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以选项A错误．已知月球绕地球运动的周期和地球的半径，而不知道月球绕地球运动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项B错误．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由G＝mrω2可以求出地球的质量，选项C正确．由G＝mr可求得地球质量为M＝，所以选项D正确．
【例1】月球绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，地球半径为R，引力常量为G，请写出地球质量和地球密度的表达式．
[答案]　M＝　ρ＝
[解析]　对月球由万有引力定律及牛顿第二定律得：＝m2r
则地球的质量：M＝
地球的密度：ρ＝＝
【例2】如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
[答案]　C
[解析]　由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G＝m2r可得T＝，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误．
【例3】　(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，万有引力常量为G.则下列说法正确的是(　　)
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
[答案]AB　
[解析]根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误．

【例4】　有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一．现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比．
[答案]　(1)　(2)
[解析]　(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝.
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G＝mr，
所以，天体绕太阳运动的周期
T＝2π，
则两天体绕太阳的公转周期之比
＝.
【例5】月球绕地球做匀速圆周运动，已知地球表面的重力加速度为g0，地球质量M与月球质量m之比＝81，地球半径R0与月球半径R之比＝3.6，地球与月球之间的距离r与地球的半径R0之比＝60.求月球表面的重力加速度g与地球表面的重力加速度g0的比值．
[答案]　＝0.16.
[解析]　由G＝mg得地球及月球表面的重力加速度分别为g0＝、g＝，所以＝＝＝0.16.
【例6】(2020·北师大附中期中)某同学从网上得到一些信息，如表中数据所示，判断地球和月球的密度之比为(　　)
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
＝6
A．　　　　　　　　　　　　 B．
C．4 D．6
[答案]　B
[解析]　在地球表面，认为重力等于万有引力，则有G＝mg，解得M＝，故密度为ρ＝＝＝；同理，月球的密度为ρ0＝，故地球和月球的密度之比为＝＝6×＝.

【例7】(2020·重庆一中期末)火星探测器在距火星表面高度为h的轨道绕其飞行，该运动可看作匀速圆周运动．已知探测器飞行一周的时间为 T，火星视为半径为 R 的均匀球体，引力常量为 G，求：
(1)火星的质量 M；
(2)火星表面的重力加速度 g.
[答案]　(1)　(2)
[解析]　(1)设火星探测器质量为m，对火星探测器，有：G＝m(R＋h)
解得：M＝.
(2)物体在火星表面受到的重力等于万有引力＝mg
联立解得火星表面的重力加速度g＝.

【例8】(2020·山西太原高一期末)2019年1月，我国在西昌卫星发射中心成功发射了“中星2D”卫星．“中星2D”是我国最新研制的通信广播卫星，可为全国提供广播电视及宽带多媒体等传输任务．“中星2D”的质量为m、运行轨道距离地面高度为h.已知地球的质量为m地，半径为R，引力常量为G，据以上信息可知“中星2D”在轨运行时(　　)
A．速度的大小为
B．角速度的大小为
C．加速度大小为
D．周期为2πR
[答案]　C
[解析]　地球对“中星2D”卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有G＝m＝m(R＋h)＝ma，得速度大小为v＝ ，A错误；角速度ω＝＝，B错误；加速度大小a＝，C正确；周期为T＝2π(R＋H) ，D错误．
【例9】(天体运动的v与r的关联) 如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则(　　)
A.＝ B.＝ C.＝2 D.＝2
[答案]　A
[解析]　对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝.所以对于a、b两颗人造卫星有＝，故选项A正确．
【随堂练习】
1、已知地球和月球半径的比值为4，地球和月球表面重力加速度的比值为6，则地球和月球密度的比值为(　　)
A．　　 B． C．4 D．6
[答案]B　
[解析]设月球的半径为R0，地球的半径为R，月球表面的重力加速度为g0，地球表面的重力加速度为g，在地球表面，重力等于万有引力，故mg＝G，解得M＝，故密度ρ＝＝＝.同理，月球的密度ρ0＝，故地球和月球的密度之比＝＝6×＝，B正确．
2、下列说法正确的是(　　)
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
[答案]D　
[解析]由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．

3、已知引力常量为G，则在下列给出的各种情景中，能求出月球密度的是(　　)
A．在月球表面上让一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．测出月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
C．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T
D．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的探月飞船，测出飞船运行的周期T
[答案]D.
[解析]由H和t可求得月球表面的重力加速度g＝，由mg＝，ρ＝，V＝πR3知ρ＝，要求得月球密度还需知道月球的半径，A错误；由G＝mr知M＝，只能测出中心天体的质量，即B、C中只能分别测出地球、月球的质量，B、C错误；当探月飞船贴近月球表面运行时，其轨道半径r可认为等于月球的半径R，故ρ＝＝＝，D正确．

4、(多选)(2020·湖南长郡中学期中) 通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是(　　)
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
[答案]AD.
[解析]由引力提供向心力＝mr得M＝，因卫星质量m可约去，可见与卫星质量无关，故B、C错误，D正确；由r＝代入可得M＝，故A正确．

5、“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的(　　)
A．密度　　　　　 B．质量
C．半径 D．自转周期
[答案]A　
[解析]由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3，联立解得月球的密度ρ＝，故选A.

6、(多选)(2020·江苏南京高一检测)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　)

A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
[答案]ABD.
[解析]因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，A正确；由＝mrω2＝mr得T＝2π ，即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由＝ma，得a＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由＝，得v＝ ，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确．

7、天文学家发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　)
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
[答案]B.
[解析]本题中涉及两个中心天体，可用万有引力定律结合向心力分式写出相应的通式，再代入题中的已知条件进行求解．由公式G＝mr，可得r＝ ，由M＝ρV，则＝ ＝＝，A错误，B正确；再由G＝ma得a＝G，则＝·＝ ＝ ＝，C、D错误．
8、(天体运动的T与r的关联)人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T.为使其周期变为8T，可采用的方法有(　　)
A．保持轨道半径不变，使线速度减小为
B．逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为4r
C．逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为8r
D．保持线速度不变，将轨道半径增加到8r
[答案]　B
[解析]　利用万有引力提供卫星的向心力可以得到v＝，T＝2π，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关，使轨道半径逐渐增大为4r，能使其周期变为8T，速率同时减小为，B正确，A、C、D错误．

9、设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有(　　)
A．土星线速度的大小 B．土星加速度的大小
C．土星的质量 D．太阳的质量
[答案]C　
[解析]根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝、土星的加速度a＝R、太阳的质量M＝，无法求土星的质量，所以选C.

10、(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
[答案]BC　
[解析]由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误．
【课后作业】
1、(天体密度的计算)“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．如图所示，若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的(　　)
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
[答案]　A
[解析]　由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面附近轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3，联立解得月球的密度ρ＝，A正确．
2、(天体质量的计算)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)
A. B．1 C．5 D．10
[答案]　B
[解析]　行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝mr2可得M＝，该中心恒星的质量与太阳的质量之比＝·＝3×≈1，故B项正确．
3、(多选)(2020·湖南长郡中学期中)许多科学家在物理学的发展过程中做出了重要贡献，下列叙述符合事实的是(　　)
A．开普勒首先指出了行星绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆
B．海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下发现的行星”
C．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
D．卡文迪什第一次在实验室里测出了引力常量
[答案]ABD.
[解析]开普勒对天体圆周运动提出质疑，指出了行星绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆，故A正确；当初发现天王星后，人们发现天王星的实际轨道和按照理论计算的总是不符合．所以人们怀疑在天王星的轨道外有一颗未知的大行星存在，它的引力干扰了天王星的运行．于是人们先计算了这颗行星应该在的位置，然后去那里寻找，果然发现了这颗行星，所以叫它“笔尖下发现的行星”，故B正确；发现了万有引力定律的是牛顿，不是开普勒，故C错误；卡文迪什第一次在实验室里用扭秤实验测出了引力常量G，故D正确．

4、一个物体在地球表面所受的重力为G，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为(　　)
A．　　　　　　　　　　　 B．
C． D．
[答案]C.
[解析]在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G＝F万＝G；在距地面高度为地球半径的位置，由万有引力定律有F万′＝G＝，故C正确．

5、1789年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”．若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2，则下列说法正确的是　(　　)
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．由题中数据可求月球、地球及太阳的密度
[答案]B.
[解析]若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有＝mg，则m地＝，A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有＝m地L2，则m太＝，B正确；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，C、D错误．

6、(2020·北京八中期中)木星至少有16颗卫星，1610年1月7日伽利略用望远镜发现了其中的4颗．这4颗卫星被命名为木卫1、木卫2、木卫3和木卫4.他的这个发现对于打破“地心说”提供了重要的依据．若将木卫1、木卫2绕木星的运动看作匀速圆周运动，已知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径，则它们绕木星运行时(　　)
A．木卫2的周期大于木卫1的周期
B．木卫2的线速度大于木卫1的线速度
C．木卫2的角速度大于木卫1的角速度
D．木卫2的向心加速度大于木卫1的向心加速度
[答案]A.
[解析]研究卫星绕木星做匀速圆周运动，根据万有引力提供圆周运动所需的向心力得出：＝m＝mω2r＝m＝ma.由上式可得：T＝2π ，知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径，木卫2的周期大于木卫1的周期，故A正确；由v＝ 知木卫2的线速度小于木卫1的线速度，故B错误；由ω＝ 知木卫2的角速度小于木卫1的角速度，故C错误；由a＝知木卫2的向心加速度小于木卫1的向心加速度，故D错误．
7、已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是(　　)
A．1018 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
[答案]　D
[解析]　依据万有引力定律有：F＝G①
而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸引力：
F＝mg②
联立①②解得：g＝G
解得：M＝＝ kg≈6×1024 kg.
8、若地球绕太阳的公转周期和公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，统一的公式为＝m，即M∝，所以＝，A正确．

9、关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是(　　)
A．天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的
B．在18世纪已经发现的7颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗行星，是它的存在引起了上述偏差
C．第八颗行星，是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的
D．冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的
[答案]B　
[解析]由行星的发现历史可知，天王星并不是根据引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．冥王星是克莱德·汤博发现的．由此可知，A、C、D错误，B正确．

10、土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)
A．5×1017 kg　　　 B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
[答案]B　
[解析]卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力．设土星质量为M，则有＝mR，解得M＝，带入计算可得：M＝kg≈5×1026 kg，故B正确，A、C、D错误．

11、2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3　　　　 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
[答案]C　
[解析]毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确．

12、(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知(　　)
A．甲、乙的线速度大小之比为7∶1
B．甲、乙的向心力大小之比为1∶1
C．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7
D．甲、乙的周期之比为1∶7
[答案]BC　
[解析]作为双星系统，甲乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得：mω2r＝Mω2R，甲乙质量比为7∶1，所以甲乙运行轨道半径之比为1∶7，根据v＝ωr可知，线速度之比为1∶7，故A错误，C正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲乙向心力大小相等，故B正确；甲乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D错误．

13、设地球是一质量分布均匀的球体，O为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四幅图中，能大致描述x轴上各点的重力加速度g的分布情况的是(　　)

[答案]A.
[解析]设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝，由于地球的质量为M＝πR3ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g＝，根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为R－r的井底，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，g′＝，当r＜R时，g与r成正比；当r＞R时，g＝，g与r2成反比，故选A.
14、有两个行星A、B，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运行的周期相等，则行星A、B的密度之比(　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．1∶2 D．无法计算
[答案]　A
[解析]　万有引力提供向心力G＝mR解得M＝①，行星的密度为ρ＝②，V＝πR3③，由①②③式解得ρ＝，所以行星A、B的密度之比ρA∶ρB＝1∶1，A正确．
15、地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　地球表面有G＝mg，得M＝　①，又由ρ＝＝　②，由①②得出ρ＝.
16、两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r2，若它们只受太阳万有引力的作用，那么这两个行星的向心加速度的比值为(　　)
A．1 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　行星绕太阳做匀速圆周运动，设M为太阳质量，m为行星质量，r为轨道半径，则G＝ma向，则a向∝，所以＝，故D正确．
17、(多选)设地球的半径为R，质量为m的卫星在距地面高为2R处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则(　　)
A．卫星的线速度为
B．卫星的角速度为
C．卫星做圆周运动所需的向心力为mg
D．卫星的周期为2π
[答案]　AC
[解析]　由G＝mg和G＝m＝mω2·3R＝m·3R可求得卫星的线速度为v＝，角速度ω＝，周期T＝6π，卫星做圆周运动所需的向心力等于万有引力，即F＝G＝mg，故选项A、C正确．
18、(多选)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则(　　)
A．甲星所受合外力为
B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
[答案]　AD
[解析]　甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力：F甲＝＋＝，A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合外力为0，B错误；由甲、乙、丙位于同一直线上可知，甲星和丙星的角速度相同，由v＝ωR可知，甲星和丙星的线速度大小相同，但方向相反，故C错误，D正确．

19、科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定(　　)
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星上同样存在着生命
[答案]A　
[解析]因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．
由G＝m可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．

20、过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)
A. B．1　　　C．5　　　D．10
[答案]B　
[解析]行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，则＝3·2＝3×2≈1，选项B正确．

21、近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星，开发利用火星奠定了坚定的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(K为常数)(　　)
A．ρ＝KT B．ρ ＝K/T
C．ρ＝KT2 D．ρ＝K/T2
[答案]D　
[解析]火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m2R及密度公式：ρ＝＝，得：ρ＝＝，故D正确．

23、“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为(　　)
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
[答案]D　
[解析]天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：＝，得M＝，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7.4×1022 kg，选项D正确．

24、(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知(　　)
A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶
D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
[答案]AD　
[解析]据题可知甲、乙两恒星的距离始终保持不变，围绕两星连线上的一点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正确，B错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得：＝＝，根据v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故C错误；根据a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D正确．

25、一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)
A.　　　 B. C. D.
[答案]B　
[解析]由物体静止时的平衡条件N＝mg得g＝，根据G＝mg和G＝m得M＝，故选B.
26、下列说法正确的是(　　)
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
[答案]D.
[解析]由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．

27、在离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度的大小是地球表面处的(　　)
A．2倍　　　　　　　　　 B．1倍
C． D．
[答案]D.
[解析]由mg＝G知，g＝，则有g0＝，g＝，当h＝R时，g＝g0，D正确．

28、地球半径是R，地球表面的重力加速度是g，引力常量是G.忽略地球自转的影响．如认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度ρ的表达式为(　　)
A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
[答案]D.
[解析]根据地球表面重力与万有引力相等有：G＝mg，可得地球质量为：M＝；地球的体积为：V＝πR3，所以地球的密度为：ρ＝＝，D正确．

29、宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．
C． D．
[答案]B.
[解析]由G＝mg得，g＝，故B正确．

30、(2020·北京海淀区期中)地球的两颗人造卫星A和B，它们的轨道近似为圆．已知A的周期约为12小时，B的周期约为16小时，则两颗卫星相比(　　)
A．A距地球表面较远 B．A的角速度较小
C．A的线速度较小 D．A的向心加速度较大
[答案]D.
[解析]由万有引力提供向心力，则有：＝m，可得：r＝ ，可知周期大的轨道半径大，则有A的轨道半径小于B的轨道半径，所以B距地球表面较远，故A错误；根据ω＝可知周期大的角速度小，则有B的角速度较小，故B错误；由万有引力提供向心力，则有：＝可得：v＝ ，可知轨道半径大的线速度小，则有A的线速度大于B的线速度，故C错误；由万有引力提供向心力，则有：＝ma可得：a＝，可知轨道半径大的向心加速度小，则有A的向心加速度大于B的向心加速度，故D正确．

31、土星最大的卫星叫“泰坦”(如图所示)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)

A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
[答案]B.
[解析]“泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力．G＝mr，其中T＝16×24×3 600 s≈1.4×106 s，代入数据解得M≈5×1026 kg.

32、(2020·内蒙古包头期中)由于行星自转的影响，行星表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．宇航员在某行星的北极处从高h处自由释放一重物，测得经过时间t1重物下落到行星的表面，而在该行星赤道处从高h处自由释放一重物，测得经过时间t2重物下落到行星的表面，已知行星的半径为R，引力常量为G，则这个行星的平均密度是(　　)
A．ρ＝　　　　　 B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
[答案]A.
[解析]在北极，根据h＝gt，得：g＝，根据G＝mg，星球的质量为：M＝＝，则星球的密度为：ρ＝＝＝，故A正确，B、C、D错误．

33、(多选)(2020·辽河油田月考)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v贴近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得　(　　)
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
[答案]AB.
[解析]根据周期与线速度的关系T＝，可得行星的半径为：R＝，故A正确；根据万有引力提供向心力＝mR可得行星的质量为：M＝，由M＝πR3·ρ可得：ρ＝，故B正确，C错误；行星表面的万有引力等于重力，＝m＝mg′，解得：g′＝，故D错误．

34、假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]B.
[解析]物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，地球质量M＝πR3·ρ，以上三式联立解得地球的密度ρ＝，故B正确，A、C、D错误．

35、(多选)(2020·陕西咸阳期中)月球是地球的邻居，是距离我们最近的天体，月球的自转周期和公转周期相等，一般情况下不考虑月球自转，如果要想计算出月球质量，在引力常量G已知的情况下，还需测出(　　)
A．月球的半径R及其表面重力加速度g
B．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与月球半径R
C．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与轨道半径r
D．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与卫星离月球表面高度h
[答案]AC.
[解析]根据月球表面物体重力等于万有引力可得：mg＝，所以月球质量M＝，故A正确；根据万有引力提供向心力可得G＝mr，故可根据人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与轨道半径r，求得中心天体月球的质量M，故B错误，C正确；根据万有引力提供向心力可得：G＝m(R＋h)，只知道人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T和卫星离月球表面的高度h，不知道月球的半径，仍然不能求出月球的质量，故D错误．

36、(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断正确的是(　　)
A．若v与R成正比，则环是连续物
B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成反比，则环是卫星群
D．若v2与R成正比，则环是卫星群
[答案]AC.
[解析]若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，故v与R成正比，A正确，B错误；若环是行星的卫星群，则由G＝m可得v2＝G，即v2与R成反比，C正确，D错误．

37、月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为(　　)

A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
[答案]C　
[解析]月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以＝＝，线速度和质量成反比，正确答案为C.

38、多选)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则(　　)
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
[答案]ACD　
[解析]行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v·T＝2πr 得r＝，C选项正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知＝mr得M＝＝＝，A选项正确；由a＝＝，D选项正确．行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B选项错误．

39、据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　　)
A．0.5　　　　 B．2　
C．3.2 D．4
[答案]B　
[解析]在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．
即G地＝G
同样在行星表面有G行＝G
以上二式相比可得
＝×＝×
＝＝2
故该行星的半径与地球的半径之比约为2
故选B.
40、“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行的过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等．以下判断正确的是(　　)
A．两颗卫星的线速度一定相等
B．天体A、B的质量一定不相等
C．天体A、B表面的重力加速度一定不相等
D．天体A、B的密度一定相等
[答案]D　
[解析]根据题意，已知两卫星运行周期相等，由G＝mR和M＝ρV＝ρπR3，即ρ＝，即两天体的密度相等，选项D正确；卫星环绕速度v＝，由于两天体半径关系不知道，则线速度大小关系无法确定，故选项A错误；天体质量M＝，可知两天体质量大小关系也无法确定，故选项B错误；由g＝R可知，两天体表面重力加速度大小关系无法确定，故选项C错误．

41、在地球两极和赤道的重力加速度大小分别为g1、g2，地球自转周期为T，万有引力常量为G，若把地球看成一个质量均匀分布的圆球体，则地球的密度为(　　)
A. B. C. D.
[答案]B　
[解析]地球两极mg1＝G①，在地球赤道上G－mg2＝mR②，联立①②得R＝，由①得M＝，地球密度ρ＝＝＝，B正确．
42、(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统．它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是(　　)
A．这两颗恒星的质量必定相等
B．这两颗恒星的质量之和为
C．这两颗恒星的质量之比为m1∶m2＝R2∶R1
D．必有一颗恒星的质量为
[答案]BCD　
[解析]对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得＝m1R1＝m2R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，C正确；由上式可得m1＝，m2＝，D正确，A错误；m1＋m2＝，B正确．
43、(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得(　　)
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．该行星的质量为
D．该行星表面的重力加速度为
[答案]　BD
[解析]　由T＝可得R＝，选项A错误；由G＝m可得M＝，选项C错误；由M＝πR3·ρ，得ρ＝，选项B正确；由G＝mg，得g＝，选项D正确．
44、我国于2008年9月25日实施了“神舟七号”载人航天飞行任务，实现航天员首次空间出舱活动．设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T，离地面的高度为H，地球半径为R.则根据T、H、R和引力常量，不能计算出的量是(　　)
A．地球的质量 B．地球的平均密度
C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小
[答案]　C
[解析]　设地球质量为M，由万有引力提供向心力得G＝m(H＋R)ω2＝m(H＋R)，由此式可求出地球的质量M，再由ρ＝，可求出地球的平均密度．由v＝，可求出飞船的线速度大小．因“神舟七号”质量没有给出，无法求出向心力，故本题选C.
45、(多选)假设“嫦娥三号”探月卫星绕月球表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出“嫦娥三号”飞行N圈用时为t，已知地球质量为M，地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，则(　　)
A．“嫦娥三号”探月卫星匀速飞行的速度为
B．月球的平均密度为
C．“嫦娥三号”探月卫星的质量为
D．“嫦娥三号”探月卫星绕月球表面匀速飞行的向心加速度为
[答案]　BD
[解析]　由题知“嫦娥三号”绕月运行周期为T＝，由v＝得v＝，A错误；由G＝m′2r、m＝ρ·πr3及GM＝gR2得，月球的平均密度为ρ＝，B正确；根据题中相关信息只能估算出中心天体月球的质量，而不能求出运行天体“嫦娥三号”探月卫星的质量，C错误；a＝＝，D正确．
46、已知引力常量G，那么在下列给出的各种情境中，能根据测量的数据求出火星平均密度的是(　　)
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．发射一颗贴近火星表面绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星的周期T
C．观察火星绕太阳的圆周运动，测出火星的直径D和火星绕太阳运行的周期T
D．发射一颗绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星离火星表面的高度H和卫星的周期T
[答案]　B
[解析]　估算天体密度的一般思路是给定围绕天体并在天体表面运行的卫星的周期T，根据G＝m，天体密度ρ＝＝，即已知引力常量G和在天体表面运行的卫星的周期T，可求出天体的平均密度，B正确；由A、C、D选项数据均不能求出火星密度，A、C、D错误．
47、为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量．已知地球半径为R，地球的质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　由＝m′g可得Gm＝gR2，假设地球绕太阳做匀速圆周运动，则由万有引力和向心力公式可得G＝m·2·r，则M＝＝，选项A、B、C错误，D正确．

48、(2020·陕西咸阳期中)中新社北京2019年3月3日电：全国政协委员、中国探月工程总设计师吴伟仁在北京透露明年中国将发射火星探测器，实现火星的环绕着陆和巡视探测．设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆周运动．已知火星的半径为R，引力常量为G.求：
(1)探测到的火星质量；
(2)探测到的火星表面的重力加速度；
(3)探测到的火星的密度．
[答案](1)　(2)　(3)
[解析](1)探测器绕着火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故：G＝m(R＋h)
解得火星质量M＝.
(2)在火星表面，万有引力等于重力，故：mg＝
解得火星表面的重力加速度为g＝.
(3)火星的密度为ρ＝＝＝.

49、(2020·贵州遵义期末)根据我国航天规划，未来某个时候将会在月球上建立基地，若从该基地发射一颗绕月卫星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h，绕月球做圆周运动的周期为T，月球半径为R，引力常量为G.求：
(1)月球的密度ρ；
(2)在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v.
[答案](1)　(2)
[解析](1)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G＝m(R＋h)，
解得月球的质量为M＝；
则月球的密度为ρ＝＝.
(2)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G＝m，
解得：v＝ .

50、进入21世纪，我国启动了探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月．
[答案]　(1)　(2)
[解析]　(1)根据万有引力定律和向心力公式
G＝M月R月2①
mg＝G②
联立①②得R月＝.
(2)设月球表面的重力加速度为g月，根据题意：
v0＝③
mg月＝G④
联立③④得M月＝.

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