资源简介

等差数列的概念第二课时
1.课时教学内容
等差数列的性质及应用
2.课时学习目标
能用等差数列的定义推导等差数列的性质；
能用等差数列的性质解决一些相关问题；
能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题。
3.教学重点与难点
重点:等差数列的性质及其应用。
难点:等差数列的性质的推导。
4.教学过程设计
环节一 复习旧知
问题1：你能说出等差数列的概念吗？
文字语言 如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示
符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
答案：2 ;前一项 ;同一个常数 ;常数 ;d
问题2：你能回忆等差中项的概念吗？
条件：如果成等差数列．
结论：那么叫做与的等差中项．
满足的关系式是
问题3：等差数列的通项公式为？通项公式的应用？
环节二 例题解析：
例1.已知等差数列{}的首项在{}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}。
(1)求数列{}的通项公式。
(2) 是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，请说明理由。
问题4：如何确定{}的公差？
解：（1）设等差数列的公差为
∵, , =8
∵ , 8, ,
+()2=2
所以数列的通项公式是=2
追问1：如果插入个数，那么数列{}的公差是多少？
解：
解：（2）由（1）知，
于是有
有已知，
令
所以是数列{}中的第8项。
追问2：第（2）小题，你还有其他解法吗？
解法2：数列{}的各项，依次是数列{}的第1、5、9、13、……项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{},
则,
令
所以是数列{}中的第8项。
解法1：方程思想
解法2：构造新数列
例2. 等差数列{}的通项公式为，
分别求，，的值。
分析：通过通项公式分别求出指定项的值，在求和即可。
解：由通项公式得：
,
,
,
所以
追问1：三组和相等的项，有什么共同的特点？
和相等的两项，它们的下标和也相等。
追问2：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？
若数列{}是等差数列，。
证明：设数列 的公差为,则
所以:
,
因为
所以
等差数列中下标和相等的两项的和也相等
追问3：等差数列{}中，能否有
追问4：能否利用函数的观点，结合函数图像，来解释此性质呢？
当时结合函数图像，点, 的中点与点, 的中点相同，所以有。
追问5：你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？
思路：
∵,
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少。经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元。已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废，请确定d的范围。
分析：该设备使用年后的价值构成数列{}，由题意可知，,即：。所以{}为公差为的等差数列,10年之内（含10年），该设备的价值不小于万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{}的通项公式列不等式求解．
解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}．
由已知条件，得．
所以数列{}是一个公差为的等差数列。
因为，
所以
由题意，得。
即：解得
所以，d的求值范围为
等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用。将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程。
环节三 课堂小结：
问题5：本节课学习了那些知识？
等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列。
等差数列，, 则
应用等差数列解决生活中实际问题的方法。
环节五 课后作业：
1．在等差数列中，，则( B )
A．32 B．45
C．64 D．96
2．已知是等差数列，且，求的值．
解：∵是等差数列，
∴
∴，
∴。
【巩固练习】
1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)
A．12 B．8 C．6 D．4
答案　B
2．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　)
A．7 B．5 C．3 D．1
答案　D
3．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于(　　)
A．13 B．3－ C．3－ D．5－
答案　B
4．(多选)若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是(　　)
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
答案　BCD
5．已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，
那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B．有两个相等的实根
C．有两个不等的实根 D．不能确定有无实根
答案　A
6．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝________，若ak＝15，则k＝________。
答案　11　21
7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
答案　－21
8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
答案　1或2
5．在等差数列{an}中，a12＝23，a42＝143，an＝239，求n及公差d。
解：由题意可得，d＝＝＝4，∴a1＝－21。∵an＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝239，解得n＝66。综上，n＝66，d＝4。
10．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，它们有多少个共同项？
解：设两数列的共同项组成新数列{an}，则{an}是首项为11的等差数列．
∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的公差分别为3与4，
∴{an}的公差d＝3×4＝12，
∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1。
∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的第100项分别为302与399，
∴an＝12n－1≤302，∴n≤25。25。
∵n∈N*，∴所给两数列有25个共同项．

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