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7.1.1数系的扩充和复数的概念
人教版A版必修第二册
一、教学目标
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程；
2.理解复数的概念、表示法及相关概念；
3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.
二、教学重难点
1.教学重点：复数的概念理解；
2.教学难点：复数相等的理解和虚数、纯虚数的判断.
三、教法
讲练结合，小组合作
四、教学过程
（一）引入
课前展示一段数系的扩充的视频
问题：数系为什么会一次一次的被扩充？
数系的每一次扩充都是为了满足社会生产实践的需要
另一方面，数集的每次扩充都是为了解决数学内部的矛盾。
负数的发现 +1=0有根啦！
无理数的发现 有根啦！
到此，数系扩充的脚步就停止了吗？
【设计意图】从社会发展的角度回顾数系的扩充过程，一方面让学生感悟数学与生活息息相关，另一方面以图文的形式进行有利于调动学生学习的积极性.
（二）新知探究
【问题1】问题：求下列方程的解
（1）
（2）
（3）？
核心问题：
需引进一个新数，使 类方程有解，并将数系进一步扩充。
→→→
【师生互动】教师提出问题1，学生回答，接着教师引出需要扩充数系，然后引入欧拉和高斯.
【设计意图】在复习了前面数系扩充的基础上继续引出 “负数不能开方”的方程问题，启发学生利用前有经验对数系进行进一步扩充，培养学生的逻辑推理能力和抽象概括能力.
（三）复数概念
把引进的新数加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律. 那么实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？
依此设想
①把实数b与相乘，结果记作b
②把实数a与b相加，结果记作a+b
所有实数以及都可写成a+b (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+b (a,b∈R)的数叫做复数.
1. 复数的概念
形如a+b (a,b∈R)的数叫做复数. 叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合C={a+b |a,b∈R}叫做复数集.
2. 复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z=a+b (a,b∈R)a叫做复数的实部b叫做复数的虚部
注意：复数z的实部和虚部都是实数.
练习：把下列式子化为a+b(a,b∈R)的形式，并分别指出它们的实部和虚部。
=_______ =_______ =_______ =_______
【师生互动】学生回答，学生点评，接着教师引出复数的分类，让学生简单分类，并说明理由.
3. 复数的分类
复数 实数：b=0
z=a+b (a,b∈R) 虚数：b≠0 →纯虚数：b≠0且a=0
思考：如何定义两个复数的相等？
【设计意图】在教师的适当引导下主动建构认知结构，获得新知；同时，运用分类讨论的思想对复数代数形式深入认识，对实部和虚部的取值进行讨论，也有利培养学生符号学习的习惯，渗透逻辑推理、分类讨论的思想。
4. 复数相等
规定：
口答：1.若,求实数的值。
2.若,求实数的值。
3.若,求实数的值。
注意：一般情况下，对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。
（四）新知探究
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？
复数集与其他数集的关系
探究任务：小组合作，将上述集合间的关系转化为用Venn图表示。
【师生互动】教师引导学生尝试绘制韦恩图表示各数集间的关系。学生思考并尝试作图。
【设计意图】通过对复数进行分类，深化学生对于复数的认识. 通过问题让学生理解复数集与以前学过的数集之间的关系，深化学生对复数集的理解，将新知与旧知联系起来，完善已有的知识结构.
（五）例题分析
例1：实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
例2：已知 ，其中x、y∈R ,求x与y的值。
【设计意图】例题分析，帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解，强化对复数相等含义的理解，起到及时反馈的作用.
（六）课堂小结
1.复数的定义：形如a+b (a,b∈R)的数,. 复数集：C={a+b |a,b∈R}.
2.复数的代数表达式：z=a+b (a,b∈R)，a是实部，b是虚部
3.复数的分类
复数 实数：b=0
z=a+b (a,b∈R) 虚数：b≠0 →纯虚数：b≠0且a=0
4.复数相等
【设计意图】通过对本节课涉及的知识和思想方法的总结，使学生进一步熟悉复数的概念以及相关知识，深化对新知的理解，体会其中蕴含的数学思想方法和核心素养.
（七）课堂检测
1.说出下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？
i
2.求满足下列条件的实数x,y的值：
（1）
（2）
3.已知：,求x的值：
【设计意图】通过课堂检测加强对知识点的巩固。
五、作业
1.课本p73，习题7.1：1，2，3题
2.作业本7.1.1 ：必做题：1-10，12，13。选做题：11，14，15，16
六、板书设计
六、反思

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