资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 初中数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 1.1 二次函数
教科书 书 名：义务教育教科书 出版社：浙江教育出版社
教学内容
《1.1 二次函数》是“二次函数”章起始课，学生在学习了一次函数、反比例函数的基础上继续探究二次函数，这是对函数及其应用学习的深化和提高，是学生学习函数知识过程中的一个重要环节，起着承上启下的作用.而本课时主要从实际情境中让学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系基本要素及表示方法，进一步认识函数的研究思路和结构体系，从而加深学生对函数的认识. 教学重点： 1.方法层面：经历借助类比构建“二次函数”全章框架过程，感受类比学习的基本方法； 2.知识层面：理解二次函数的概念；会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，会用待定系数法求二次函数的表达式. 教学难点： 1.方法层面：本节课涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强概括能力和抽象能力； 2.知识层面：感受并理解自变量的取值范围是函数关系式的组成部分，体现数学知识的整体性.
教学目标
1.在研究方向的确立中，经历探究数学现实和生活现实等过程，感受数学学习的整体性和学习二次函数的必要性及重要性； 2.在研究思路的规划中，经历一次函数、反比例函数和二次函数知识结构的类比，理解函数学习的研究思路，积累函数学习的基本活动经验，发展学生系统地认识问题、发现问题、提出问题的意识和能力； 3.在研究过程的开展中，经历与一次函数、反比例的内容类比，在观察、计算、归纳等活动中，理解二次函数学习的主要内容，感受类比学习的基本方法，发展学生的合情推理和归纳能力； 4.在研究活动的评价中，经历回顾、反思和评价等过程，帮助学生形成自觉反思和评价意识； 5.在研究成果的巩固运用中，培养学生有条理地分析问题和解决问题的能力，以及用数学语言表达世界的能力.
教学策略
教学重点：本节课通过唤醒学生已有一次函数和反比例函数的相关知识和经验，通过类比探究的方式为学生整章学习架设了一条宏观的学习途径，即“定义（表达式）——待定系数法求二次函数—— 建立函数模型（自变量取值范围）——后续研究内容（图像、性质以及应用）”，这样的架构方式有利于学生把握二次函数的研究思路，积累数学基本活动经验. 站在研究的视角架构章起始课，让学生感受学习的价值，具体设计考量如下：（1）通过研究方向的确立，让学生感受“为何学”；（2）通过研究思路的规划，让学生领悟“怎样学”；（3） 通过研究过程的开展，让学生体悟“学什么”；（4）通过研究活动的评价，让学生感悟“得失处”；（5）通过研究成果的巩固运用，让学生理解“有何用” .
教学过程
（一）研究方向的确立 1.数学现实. 思考1：通过前面的学习我们认识了函数，那什么是函数呢？ 预设：在一个变化过程中，设有两个变量x,y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数. 思考2：那我们已经学习了哪些函数呢？ 预设：一次函数，正比例函数，反比例函数. 思考3：比如学习过的一次函数， 的自变量是什么，常量是什么，值对函数的性质有什么影响呢？ 预设：自变量是x,常量是k、b,当k值为0时，此表达式不是函数. 2.生活现实. 合作学习：用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量y与x之间的关系. 问题1：100元的本金，月利率为0.225%,那么本息y与存期为x个月. 问题2：三角形的面积为9 cm2，那么底边上的高y cm与底边xcm. 问题3：圆的面积y(cm2）与圆的半径x(cm). 问题4：王师傅存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后将本息转存为又一个一年定期.设年利率均为x，两年后王老师共得本息y元. 问题5：用16m长的篱笆围成长方形饲养动物，那么围成的面积y(m2）与长方形的长x (m). 思考：上述五个函数表达式中，哪些是熟悉，哪些是不熟悉？ 【设计意图】 从生活现实和数学现实两个方面获得研究对象，体现了数学与生活的整体统一性、数学内部知识的整体统一性，明确了研究对象（二次函数）形成的背景和过程，让学生感受二次函数学习的必要性和重要性，激发学生主动研究的愿望. （二）研究思路的规划 思考1：回顾一次函数、反比例的研究过程，我们研究了关于一次函数、反比例函数的哪些内容？是按照怎样的路径展开研究的？ 师生活动：学生独立思考后回答，教师在此基础上展示教材中“一次函数”“二次函数”章节目录和大致内容. 师生提炼出：函数的研究思路是“概念—图像—性质—应用”，其中函数概念的研究思路是“定义（表达式）——待定系数法求函数解析式——建立函数模型——自变量取值范围”. 思考2：类比一次函数的概念的研究，我们要研究它的哪些呢？ 预设：一次函数的定义及表达式、待定系数法求一次函数、建立函数模型及求自变量取值范围 思考3：通过学生观察，思考上述所列的函数关系式y= πx2、y=2000(1+x)2、y=x(8-x)与一次函数的相同与不同之处？ 预设：（1）写出来的函数与一次函数有着共同点特征，都有着自变量． （2）写出来的函数最高次数为 2（与一次函数的不同之处）． 【设计意图】 设置思考1和2的目的是对已有知识的梳理和提炼，即总结出函数的研究思路及函数概念学习流程.思考3是寻找新知的固着点和生长点. （三）研究过程的开展 类比活动1：定义. 思考1：仿照一次函数的定义，请对二次函数下个定义. 师生共同进行归纳出二次函数的定义：形如（为常数）的函数叫做二次函数.叫做二次项系数，叫做一次项系数，为常数项. 思考2：为什么二次函数限制 ,若为0 ,二次函数变成了什么形式？对和有限制吗？解决上述问题并进行归纳. 思考3：写出几个有代表性的二次函数解析式，分别说出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 预设：y= -x2+3x-7 ，y=-x2+8x，，y=x2 【设计意图】思考1学生初步运用类比的方式给二次函数下定义，此时学生不一定说得全面，甚至有些学生只能达到“意会而不能言传”的“默会”状态，但这为后面的操作活动提供了价值；设置思考2“类比研究”活动的目的，从完整的知识观来看，一个数学概念不能只当作静态的事实性知识来教，概念的内涵应当成为教学的重点深入剖析；思考3来评价学生是否掌握了二次函数的概念，体现了学生的主体性. 类比活动2：待定系数法求二次函数解析式 例1 已知二次函数，当x=1时，函数值是4；当x = 2时，函数值是-5. 求这个二次函数的解析式. 思考4：独立思考，并尝试完成 学生已经有用待定系数法求一次函数解析式的经验，借助类比能自主完成例题的求解，教师需要组织反馈和适时鼓励评价. 变式：已知关于x的二次函数,当x=0时,函数值为5；当x=1时,函数值为4；当x=2时,函数值为7.求这个二次函数的解析式. 【设计意图】 例2通过类比求一次函数解析法的经验来求二次函数的解析式，进一步渗透数学类比思想.变式一方面起巩固作用，另一方面让学生进一步理解确定二次函数解析式就是确定三个系数，引导学生从中感受变量间的依存关系. 类比活动3：构建模型及求自变量取值范围 例2 如图，一张正方形纸板的边长为10 cm，将它剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分). 设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形EFGH的面积为y(cm2)，求 : （1）y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围 ; （2）当x分别为2.5，4，5，6，7.5时，对应的四边 EFGH的面积，并列表表示. 组织学生先独立思考，再交流展示. 期间教师适时介入、启发引导，通过以下问题串提升学生的思考和深度理解. 思考6：四边形EFGH的面积为什么随着x的变化而变化？（感受变量之间的依存关系，可以通过几何画板软件展示这个运动变化的过程） 思考7： 求四边形EFGH 的面积，有哪些思路？（直接法与间接法.） 思考8：自变量x的取值范围是怎样确定的？（（考查动点的取值范围） 思考9：观察第（2）小题中列出的表格，并结合观察几何画板软件展示的动态图形，你有哪些发现？（随着x取值的增大，y的值先减后增；y有最小值；y的值具有对称性） 【设计意图】 借助几何画板软件展示动态图形，回顾函数的意义——变化过程中两个变量间的依存关系.感受并理解自变量的取值范围是函数关系式的组成部分，体现数学知识的整体性. 二次函数的性质比一次函数的性质要复杂，特别是单调性出现变化，在这个变化的过程中会出现最值，并且出现了对称性. 结合图形的动态变化学生能直观地感知以上性质，为后继研究二次函数的图象和性质提供认知基础和经验，体现教学的整体性. （四）研究活动的评价 此环节中，教师引导学生思考以下问题. （1）本节课，我学到了哪些知识？ （2）本节课，给我感受最深的是什么？ （3）课后准备对哪些方面进行进一步研究？ （4）对自己的表现是否满意？还有哪些困惑？ 【设计意图】 这样的小结方式可以激发学生主动参与的意识，让学生针对自己的切身体会进行小结，这样充分尊重了学生的个体差异，为每名学生都创造了在数学活动中获得经验的机会. 学生经历回顾、反思和评价等过程，形成自觉的反思和评价意识. 研究成果的巩固应用 （1）必做题：作业本 A； （2）选做题：在“二次函数”这一章中，选择你喜欢的一个环节，对它进行深入研究. 【设计意图】 设计分层作业，必做题是对本节课基础知识的巩固，要求所有学生完成；选做题高于本节课所学知识的要求，给学有余力的学生提供进一步提升的空间.

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