资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 3.2图形的旋转
教科书 书 名：浙教材 出版社：浙江教育出版社
教学目标
1.了解现实生活中图形的旋转. 2.了解图形旋转的概念，会用旋转三要素来描述图形的旋转. 会按要求作出简单平面图形经过旋转后的图形. 理解图形的旋转的性质，应用旋转的性质解决简单几何问题. 5.经历观察、猜想、验证、归纳等数学活动，积累探究数学问题的经验，培养学生逻辑推理能力. 6.类比三种图形变换学习路径，总结三大变换区别和联系，学会综合运用三大变换，培养学生几何直观和空间想象能力.
教学内容
教学重点： 1.图形旋转的概念和性质. 2.应用旋转的定义和性质解决简单的几何问题. 教学难点： 1.图形的旋转的作图涉及较多要素，是本节课的难点. 2.图形的旋转性质涉及到较多的方面，图形也相对复杂，在推导上存在难度.
教学过程
一：创设情境，类比引入 问题1：观察这一组物体，它们分别属于哪一种运动现象？ 预设：这些生活现象学生非常熟悉，所以能较快的回答出来，缆车属于平移运动，挥动的翅膀是轴对称，摩天轮属于旋转运动. 问题2：如果把这些物体抽象为几何图形，那么这些生活现象可以看成是图形的变换，在这之前我们已经学习了轴对称和平移变换.回忆下，什么是图形的轴对称呢？什么是平移呢？ 预设：学生一般能讲出这两种变换的关键要素，如轴对称要指出对称轴，平移的关键在于方向和距离，教师对学生的回答补充完善，呈现概念. 最后引出课题：请看，从线段OP到线段OQ这个图形的运动属于旋转变换，那么什么是图形的旋转呢？今天这节课我们一起来学习3.2图形的旋转. 意图：以“游乐场视频”引入，能激发学生学习的兴趣.借助学生熟悉的生活情境，抽象出三大图形变换，体会数学抽象的过程.通过对已学的轴对称和平移变换定义的回顾，感受描述变换要抓住关键的要素，借此将图形变换的概念的研究路径类比到图形的旋转，渗透类比思想，培养学生数学抽象的能力. 二：描述旋转，形成概念 问题：请看这个动画，描述下线段OP是怎么旋转得到线段OQ的，并将答案写在学习单上. 预设：线段OP旋转90度得到线段OQ. 预设：线段OP顺时针旋转90度得到线段OQ. 预设：线段OP绕点O旋转90度得到线段OQ. 预设：线段OP绕点O顺时针方向旋转得到线段OQ. 预设：线段OP绕点O顺时针方向旋转90度得到线段OQ. 在动画的直观感受中，学生会描述旋转，但大多数是不完整的，教师在巡回中搜集学生素材，挑选不完整的2-3种情况投影或是请他们直接口答.再追问其他同学：“你们同意吗？为什么？”并请不同意的同学借助两张纸条（教师已准备好）来演示下这样描述会出现怎样的情况.在师生，生生互动中，在知识的冲突矛盾中不断完善旋转的三要素，形成旋转的定义. 同时，补充定义中的相关概念，如旋转的对应点，旋转中心，旋转方向，旋转角度，并强调描述旋转要写全旋转的三个要素. 意图：考虑到从大量的旋转实例中抽象概括出旋转的定义是比较困难的，所以将摩天轮运动中的部分抽离出来，抽象为线段的旋转问题，以线段这个简单的几何图形为载体，能更清晰地观察出旋转的特征.通过对图形旋转的描述，在矛盾冲突中自然的给出了三个要素，体现了旋转三要素的必要性和定义的合理性. 三：动手操作，探索性质 问题1：如图2，将点A绕点O逆时针方向旋转80°， 作出旋转后的点A'. 意图：通过画图，及时巩固旋转的三要素；从点的作图出发，为了后面三角形的旋转做铺垫. 问题2：如图3，O是△ABC外一点，以点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转80°，作出旋转后的图形. 在这之前学生已经学过了作出轴对称和平移后的图形，所以学生会比较容易想到将三角形的旋转作图转化为三个关键点的旋转，在前面有了点的旋转作图经验，所以这个环节可以引导孩子自己动手画一画，一来巩固旋转作图，二来亲身体验作图过程有利于后面对旋转性质的探究. 问题3：如图4，请仔细观察旋转前后的这两个三角形△ABC和△A'B'C'有什么关系？并说明理由. 预设：全等关系. 师追问：你能证明吗？请在学习单上验证下你的猜想. 绝大多数学生会回答全等，这是一种几何直观，也是因为本节课是在平移和轴对称之后学习的一种变换，所以学生有了全等变换的知识储备也会容易想到全等关系.不过，图4相对复杂，这里线段和角都比较多，学生会一下子无从入手，所以这个环节可以在学生独立思考后，小组合作一起探究，解决难点.另外，教师也可以适当点拨下，要证明全等，根据全等的判定可知，至少需要一对边对应相等，引导学生有针对性的去寻找边的条件. 教师巡回观察学生的思考进度，适当点拨.再请小组代表上台证明全等.无论证明三角形的哪一对边对应相等，都会用到对应点到旋转中心的距离相等和对应点与旋转中心连线所成的角相等这两个结论.我们以证明AB=A'B'为例来说明. 师：要证明AB=A'B' 时，常用的方法是证明这两条边所在三角形全等，所以我们关注到△AOB和△A'OB'，那么这两个三角形全等吗？请你验证下. 问题4：在证明过程中我们用到了OA=OA'，OB=OB'，类似的，还有OC=OC'，其中点A与A'，点B与B'，点C与C'都是对应点，O是旋转中心，所以你发现了什么结论呢？ 问题5：另外，在证明过程中，我们还用到了∠AOA'=∠BOB'，类似的，还有∠COC'也等于旋转角度80度，所以关于角你有什么发现？ 请用文字语言归纳旋转你的发现.这就是旋转的三大性质. 意图：比起让学生去找图形中相等的线段和角，去思考旋转前后这两个图形的关系会更加自然，符合学生的认知规律，问题的指向性也更明确. 另外从这个具有驱动型的问题出发，能反推学生去寻找旋转带来的线段和角的关系，这样的探究思路从远及近，从宏观到微观，符合知识的发展规律.在经历了数学结论的生成过程中，培养学生观察、猜想、验证、归纳的探究思路，也提高学生逻辑推理能力. 四：知识应用，深化拓展 1.下列各图中，正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是（ ） 分析：根据旋转性质可知A选项不满足对应点到旋转中心所成的角度相等，B选项不满足旋转方向，C选项不满足对应点到旋转中心的距离相等，D选项满足旋转的这三个要素. 意图：这道题选自书本73页课内练习第二题，是对旋转性质的简单应用，通过对旋转图形的判断，巩固了旋转的特征：同向，等距，等角，其实也就是对旋转三要素的加深理解. 2.如图5，一块等腰直角三角板ABC绕点C顺时针方向旋转到△EDC的位置，点A，C，D共线. （1）旋转角度为 °. （2）连结AE，∠EAC= °. 分析：（1）要求旋转角度，只要找到一对对应点与旋转中心连线所成的角就等于旋转角度，也就是这里的∠ACE或∠BCD. （2）由旋转性质可知CA=CE，得到了一个等腰三角形ACE，再借助外角的性质可求. 意图：通过求旋转角度，及时巩固对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角度这一性质，所以求旋转角就转化为求∠ACE或∠BCD；利用旋转等距的性质，得到等腰三角形，再求得∠EAC.利用旋转的等距等角的性质来解决一些简单的几何计算问题. 例2：如图6，矩形AB'C'D'是矩形ABCD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形.求证：对角线BD与对角线B'D' 所在的直线互相垂直. 分析：启发学生延长D'B'，将证明垂直转化为证角度为90度. 意图：除了会判断能计算，还要学会利用旋转的定义和性质来证明一些结论.这道例题是对旋转全等和旋转角相等性质的应用，借助这道例题示范几何语言的规范书写. 教师追问：BD与B'D'其实是旋转得到的对应线段，由例2我们发现对应线段所在直线的夹角也等于旋转角度，请问对于一般的旋转情况是否都有这样的结论呢？ 课堂时间充裕的话，这道题可以小组合作探究，验证归纳，从而发现关于旋转角度的另外一个常用的结论：旋转得到的对应线段所在直线夹角与旋转角度相等或互补. 另外，对于探究有困难的小组，教师可以引导学生以线段旋转为研究对象，简化图形助于结论的发现和推导. 问题1：如图7，线段AB绕点O逆时针方向旋转α度（α≤90°）得到线段A'B'. 求证∠A'DA=∠AOA'. 分析：证明方法类似于例2.借助△AOC与△A'DC. 问题2：用几何画板演示下，当改变旋转角度α时，旋转角度α与对应线段所在直线夹角β是否都满足相等关系？ 我们发现，α与β关系是跟旋转角度有关.当α≤90°时，α=β；当α＞90°时，α+β=180°（可以让学生试着证明下）. 师：请用一句话概括你的发现. 意图：这道题是选自书本的例题，验证对应线段所在直线的夹角等于旋转角度，而在书本73页课内练习第1题也是在求对应线段所在直线的夹角，说明这是一个比较重要的结论，所以在例2之后马上引导学生思考对应线段所在直线的夹角与旋转角度的关系，既是对旋转性质的一次应用，又能为学生提供数学探究活动，从中积累数学活动经验.经历从特殊到一般的研究问题思路，感受数学逻辑的严密性，培养学生分析问题和应用数学的能力. 五：操作探究，梳理变换 问题1：如图8，两张全等的纸牌按如图所示摆放，点E，A，B共线. 你能通过一次图形的旋转，使矩形ABCD与矩形HAEF重合吗？如果能，请找出旋转中心；如果不能，请说明理由. （可以将学习单中的纸牌剪下来操作一下） 预设：将矩形ABCD绕点A逆时针方向旋转90°得到矩形HAEF. 预设：可以一次旋转，旋转中心在AB下方（不能明确找到旋转中心）. 预设：可以一次旋转，旋转中心在AB，AH的中垂线的交点处. 意图：利用纸牌动手操作，化抽象为具体，这也是对学生研究几何问题的方法指导.寻找旋转中心，是对旋转中“对应点到旋转中心距离相等”这个性质的逆向运用，即旋转中心到对应点的距离相等，所以旋转中心在对应点连线的中垂线上，只要找到两对对应点，作它们中垂线得到交点即可（如图9所示）. 另外，从逻辑的严密性来讲，通过作图只能带来两对对应点的旋转，还需要证明另外两对对应点也能通过旋转重合.以点D绕旋转中心O逆时针旋转90度与点F重合为例来证明（如图10所示）. 问题2：刚才是通过旋转得到下面的矩形，那么只有旋转变换才能得到吗？其他变换可以吗？刚才是一次变换得到，如果是两次或多次变换呢？如果可以，请你具体地描述下变换过程. 意图：借助这道题目，对三种图形的变换作一个大梳理，对比三种变换的特征和性质，也从中感受对于有些图形，能用一种变换来替换另一种变换. 六：思维导图，建构知识 问题：请同学们以思维导图的形式整理本节课的知识和思想方法. 整理好之后请个别同学上台分享，并从中对本节课进行梳理总结. 本节课采用类比的思想，将平移和轴对称的定义特征和学习的路径类比到旋转的学习，形成概念，推导性质，再利用定义和性质解决作图、计算，证明等问题。希望同学通过本节课也能具备数学抽象和逻辑推理能力。 七：欣赏名画，设计图案 问题：请欣赏这两幅作品，这是荷兰画家埃舍尔创造的版画，仔细观察，它们都是借助一个基础图形通过旋转平移等多种变换得到，同学们你是不是也想动手试一试呢？请在课后设计一幅美丽的图案，并说说你的设计. 意图：通过名画欣赏，让学生感受到旋转在生活艺术中的应用，感受旋转的美.另外，借助设计的作业能及时巩固三大变换的应用，从中梳理三大变换的联系和区别.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加.

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