资源简介

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6.4.3余弦定理
知识 能力与素养
掌握余弦定理，理解证明过程 通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.
学习目标
学习重难点
重点 难点
余弦定理的应用． 余弦定理的发现和证明．
教材分析
余弦定理是初中 “勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的
关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系.
学情分析
这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
在6.4.1的“情境与问题”中，园林工人在修建花圃的过程中,需在墙角的对面建造一道篱笆墙，问所建篱笆墙的长度为多少(不考虑其他因素)？
【设计意图】引用之前例子体现知识衔接.
（二）调动思维，探究新知
如图所示，以ΔABC的顶点A为坐标原点、射线AB的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则点A、B的坐标分别为 A(0,0)，B(c,0).由6.4.1 可知，点C的坐标为 C(bcos A,bsin A).
根据两点间距离公式可得，
即a =b +c -2bccosA.
同理可得，b =a +c -2accosB, c =a +b -2abcosC.
于是，我们得到三角形中边角关系的又一个重要定理.
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍.
在任意ΔABC中，都有
a = b +c -2bccosA
b = a +c -2accosA
c = a +b -2abcosC
上述公式也可以变形为：
特别地，当∠C=90°时，有c =a +b .因此，勾股定理是余弦定理的特例.
可以看出，利用余弦定理能解决下列两类问题：
（1）己知三角形的两边及其夹角,求第三边和其他两角；
（2）己知三角形的三边，求三个角.
【设计意图】延续证明三角形面积公式的方法，利用解析法证明余弦定理.
探究与发现
已知三角形的两边和其中一边的对角，能否利用余弦定理解三角形？
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】在ΔABC中，a=4，b=6，∠C=60°，求c.
解：因为c = a +b -2abcosC
= 4 +6 -2×4×6×cos 60°
=28.
所以c=2≈5.29.
通过本题的计算可知，本节的“情境与问题”中需建篱笆墙的长度约为5.29 m.
【设计意图】例1直接利用公式解题.
【典例2】在ΔABC中，求ΔABC的最大的角及面积.
解：由，故最大.
根据余弦定理可得
因为，所以
根据三角形面积公式可得，
所以ΔABC的最大的角为，面积为
【设计意图】领会使用公式体现了余弦定理是判断三角形形状的重要方法.
（四）巩固练习，提升素养
1. 求下列三角形中第三条边的长度.
(1)
(2)
2. 在ΔABC中，
3. 由下列条件判断ΔABC的形状.
(1)
(2)
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节6.4.3；
(2)书面作业： P34习题6.4的1，（3）、（4），3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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