资源简介

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6.3 正弦型函数的图像和性质
学习目标
知识 能力与素养
会用五点法作图画正弦型函数在一个周期上的简图，会求 y=Asin(ωx+φ) 的最大值、最小值、周期和单调区间． 了解正弦型函数与正弦函数之间的关系，培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等，体会从特殊到一般的归纳推理方法，通过学习，逐步提升直观想象和逻辑推理等核心.
学习重难点
重点 难点
五点法作图、 A、ω、φ对函数图像的影响． 正弦型函数性质的应用．
教材分析
正弦型函数的图像变换是三角函数的基本内容，在前面正弦函数图像和性质的基础上，通过平移和伸缩变换得到，体现了函数之间的关系.
学情分析
学生已经学习了正余弦函数的图像和性质，基础知识相对薄弱，表达概括能力较差，理论联系实际不灵活，因此在教学中运用视频和大量直观的图形．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
6.3 正弦型函数的图像和性质
（一）创设情境，生成问题
在物理学、电工和工程技术中，经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ都是常数)的函数，它与和角公式、二倍角公式以及正弦函数 y=sinx等三角知识有着密切的联系.下面来研究这类函数的作图方法和性质.
【设计意图】引出课题.
匀速转动的摩天轮的半径为R，转动的角速度为ω.以摩天轮的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示．若点P0表示座椅的初始位置，∠MOP0=φ，问点P的纵坐标y与时间t之间有怎样的函数关系？
【设计意图】以生活中实例作为引例体现数学应用.
（二）调动思维，探究新知
由正弦函数数的定义，得点 P的纵坐标y 与时间t的函数关系为y=Rsin(ωt+φ) .
形如y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ都是常数)的函数称为正弦型函数.在物理学中，正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦式电流等．习惯上，A称为振幅，ωx+φ称为相位，φ称为初相，称为周期， 称为频率.
当A=1，ω=1，φ=0时，函数y=Asin(ωx+φ)就是 y=sinx .因此， 正弦函数是正弦型函数的特殊情况．类比作正弦函数 y=sinx图像的方法，可作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像，从而研究它的性质.
【设计意图】已有的物理知识联系起来体现学以致用.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
解：(1)列表
描点作图，得到函数y=sinx，x∈[0,2π]的简图.
（2）因为所以函数y=sin2x的周期为π.我们作函数y=sin2x在[0,π]上的简图.
令，并列表
描点作图，得到函数y=sin2x，x∈[0,π]的简图.
（3）因为所以函数的周期为π.我们作函数在上的简图.
令，并列表
描点作图，得到函数在上的简图.
（4）因为所以函数的周期为π.我们作函数在上的简图.
令，并列表
描点作图，得到函数在上的简图.
将例1中作出的四条曲线画在同一个平面直角坐标系，如图所示，可以看出，把函数图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变) ，就得到函数的图像；把函数的图像沿x轴向左平移个单位，就得到函数的图像；把函数图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍 (横坐标不变)，就得到函数的图像.
一般地，将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图像：把函数的图像沿x轴向左或者向右平移个单位，就得到函数的图像；把函数图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍 (横坐标不变)，就得到函数的图像,这里.
因此正弦型函数的图像可用五点法作出，也可由函数的图像经过平移、伸缩得到. 利用正弦函数的性质及正弦型函数的图像，可以得到关于正弦型函数（其中）的一些结论.
定义域：实数集R，
值域：，
周期：.
【设计意图】通过简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象的探究过程，研究正弦型函数函数的图像和性质.
探究与发现
如何从函数的图像得到函数的图像？
【典例2】求函数的周期、最大值和最小值，并指出当x取何值时，函数取得最大值和最小值.
解：因为
所以函数的周期为
当，即时，函数取得最大值，最大值为2；
当，即时，函数取得最小值，最小值为-2.
【设计意图】求正弦型函数的周期、最大值和最小值.
拓展延伸
一般地，函数y=asinx+bcosx(其中a、b不全为零)可以化成y=Asin(x+θ)的形式.
如图所示，点P的坐标为(a,b)，以OP为终边的角为θ.
由三角函数的定义，可知
于是，y=asinx+bcosx
因此，函数y=asinx+bcosx的最大值，是最小值是-，周期是.
【设计意图】介绍辅助角公式，该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成一个三角函数.
（四）巩固练习，提升素养
1. 用“五点法”作出下列函数在一个周期的简图．.
2. 说明怎样由函数y=sinx的图像得到下列函数的图像.
3. 求下列函数的周期、最大值和最小值以及取得最值时x的集合.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节6.3；
(2)书面作业： P21习题6.3的1，2.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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