资源简介

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6.5 三角计算的应用
知识 能力与素养
能够运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题 通过对实际问题的探索，培养学生将实际问题转化为数学问题，实现数学建模.
学习目标
学习重难点
重点 难点
运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题． 数学建模的数学方法．
教材分析
本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用.
学情分析
这节课是在学生已经学习了正弦定理、余弦定理的基础上，对实际问题的解决，难度相对较大，对于学生来说较难理解，需要详细讲解.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面，能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用.
（一）创设情境，生成问题
为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校要在一块半径为10 m，圆心角为的扇形空地上修建一个矩形花坛．根据设计要求，矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积.
【设计意图】引出课题.
（二）巩固知识，典例练习
【典例1】在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题.对于这类问题,可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决. 下面就是对情境问题的觪决.
解：设扇形圆心为O，矩形为ABCD，如图所示.
连接OD，记∠COD=θ，则在RtΔCOD中，CD=10sinθ，OC=10cosθ.
在RtΔAOB中， 由AB=CD可知
于是，
因此，矩形花坛ABCD的面积
显然，当=1时，
此时， 又θ∈所以.
综上所述，按照∠COD=设计，可使得花坛的面积最大，最大面积为m
【设计意图】应用和角公式和正弦型函数的性质解决实际问题.
【典例2】在日常生活中,我们的家庭用电都是交流电(如图).
若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用
来表示, 求：
(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次达到最大值的时刻.
生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时，可以先建立三角函数模型，然后利用三角函数的性质解决这些问题.
解： (1) 取t=0，得开始时的电压
即该交流电开始时的电压为110V.
(2) 由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期,故电压值重复出现一次的时间间隔为
即电压值经过0.02s重复出现.
（3）当时，得电压的最大值
此时，.
当k=0时，
因此，电压第一次达到最大值的时刻为s.
即，电压的最大值是，s时第一次达到最大值.
【设计意图】正弦型函数的性质在物理学或电工学上的应用.
【典例3】如图所示,在河的岸边选定两点A、B,对岸选定点C, 测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m.试根据测量结果，求河的宽度.
解：因为∠CAB=45°，∠CBA=75°，所以
根据正弦定理，可得
因此
在ΔABC中，作，交AB于点D,则CD的长度即为河宽.
在Rt CDB中，
所以，
又
因此，CD=BC
答：河宽约为94.64m.
对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案. 例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等 知识，通过测量和计算求得结果. 学习了三角计算后，我们也可以利 用正、余弦定理解决这些问题.
【设计意图】解决这类问题是先将实际问题转化为三角问题,然后根据已知条件解决问题.
【典例4】隧道是为了缩短行驶路程而在地下、水下或者山体中铺设铁路或修筑公路的建筑物.现为修建某山体隧道,需获得隧道两端D、E两点之间的距离．为此在山的一侧选取点C，如图所示，并测得CA=500m，CB=800 m， ∠ACB=60°. 又测得AB两点到隊道口的距离AD=180m，BE=240m(A、D、E、B在一条直线上)，试计算隊道DE的长.
解：在ΔABC中，CA=500,CB=800,
根据余弦定理可得，
=490000
因此，AB=700(m)
于是，DE=AB-AD-EB=700-180-240=280(m).
隧道DE的长为280m.
【设计意图】将实际问题转化为三角问题,然后根据已知条件解决问题.
（四）巩固练习，提升素养
1.如图所示，有一长为10m、倾斜角为75°的斜坡AB. 在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面将斜坡的倾斜角变为30 °.问坡底延长了多少米？
2.如图所示，要把截面半径为R的圆木锯成横截面为矩形的方木.矩形的长和宽各为多少时，其面积最大？最大面积是多少？(提示：连接AC，并设∠CAB=θ.)
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节6.5；
(2)书面作业： P40习题6.5的1，2，3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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