资源简介

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7.4 等差数列与等比数列的应用
知识 能力与素养
掌握等差数列通项公式与等比数列通项公式实际运用，等差数列的前n项和公式与等比数列的前n项和公式的实际应用，能通过数学建模，解决简单的与等差数列、等比数列有关的实际问题. 结合银行理财、木材堆积统计、职场应聘等实际生活情境，培养学生建模思想，培养学生分析问题解决问题的能力，增强数学应用意识．
学习目标
学习重难点
重点 难点
等差数列与等比数列的定义、通项公式及前n项和公式. 等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的综合应用．
教材分析
本节课是在学生学习了等差数列通项公式和前n项和公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和后，利用公式解决实际问题．
学情分析
本节内容是把应用问题转化为数学问题，对学生的能力有较高的要求，要详细地讲解应用问题向数学问题的转化过程.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
等差数列与等比数列的知识在日常生活和工农业生产中有着 广泛的应用，如投资理财、货品堆积统计、企业调查、职场应聘等.我们可以通过建立数学模型，用等差数列和等比数列知识来解决这些实际问题.
【设计意图】引出课题.
（二）巩固知识，典例练习
【典例1】零存整取是银行定期储蓄的一种基本类型，是储户在进行银行存款时约定存期、每月固定存款、到期一次支取本息的一种储蓄方式.某银行的1年期零存整取储蓄的年利率为1.55%.若每月存入银行1000元,一年后到期一次性支取本息共计多少元？
解：一年期零存整取的年利率为 1.55%,故月利率为1.55%=12.
第1个月存入的 1000元,存期为 12个月，到期后本息为
a1=1000+1000×12×(1.55%÷12)(元)；
第2个月存入的1000 元,存期为 11个月，到期后本息为a2=1000+1000×11×(1.55 %÷12) (元) ；
……
第12个月存入的1000元,存期为1个月，到期后本息为a12=1000+1000×1×(1.55 %÷12) (元) .
容易看出,a1, a2, ,a12构成一个等差数列.根据等差数列前 n项和公式
可得，一年后到期一次性支取本息为
=12100.75(元).
【设计意图】经济理财问题，借助等差数列前n项和公式计算累计月积数，体会储蓄的优越性.
拓展延伸
教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄.教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，与普通储蓄相比，教育储蓄具有利率优惠(按零存整取存入但享受整存整取的利率)和利息免税的优点. 如果把“情境与问题(1)”中的零存整取储蓄换成教育储蓄，而一年期整存整取的年利率为1.75%，在其他条件不变的情况下， 则一年到期后一次性支取本息和为
=12113.75(元).
【典例2】某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层10根，共8层．试问，这堆木材共有多少根？
解：由图可知,自上而下每层放置木材的根数构成等差数列,记为{an}．因为a1=3，an=10，n=8，所以
因此，这堆木材共有52根.
【设计意图】木材堆积计算题，知识统计的便利性.
【典例3】两位同学分别到甲、乙两家公司应聘，均被录用.甲公司承诺第一年年薪是50000元，以后每年比上一年加薪5000元．乙公司承诺第一年的年薪是50000元，以后每年的年薪比上一年增加10%．假设聘期为五年，试问
(1)应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？
(2)应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？
解： (1)由题意可知，甲公司承诺的年薪构成等差数列{ an }，其中a1=50000，d=5000，n = 5. 于是 a5=a1＋4d=50000＋4×5000=70000 (元)
因此，应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是70000元，五年的总收入是300000元.
(2)由题意可知，乙公司承诺的年薪构成等比数列{ an }，其中a1=50000，q=1＋10%=1.1，n=5. 于是
因此，应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是73205元，五年的总收入是305255元.
【设计意图】将两个特殊数列的求和公式计算结果进行对比，助力工薪计算.
【典例4】某地区发展规模化养猪，对连续6年的有关数据统计如图所示.
试根据上述信息回答：
1. 该地区第2年养猪场的数量及出产猪的总头数分别为多少？
2.该地区第6年的养猪业规模比第1年是扩大了还是缩小了？
3.该地区养猪业的规模哪一年最大？
分析：养猪总头数=养猪场平均出产头数×养猪场数量. 由图(1)可看出，从第1年到第6年，该地区养猪场出产猪的平均头数成等差数列上升；由图(2)可看出，养猪场的数量成等差数列下降.
解：数学模型建立如下：
1.由图(1)和图(2)可知,第2年养猪场平均出产头数为120头,第2年养猪场的数量是26个,因此,该年该地区出产猪的总头数 S2=120×26=3120(头).
2.第1年出产猪的总头数S1=100×30=3000(头)，第6年出产猪的总头数 S6=200×10=2000 (头). 因为2000<3000,所以,第6 年该地区养猪业的规模比第1年缩小了.
3. 在图(1)中,设第n年养猪场的平均出产头数为an ,则有
an=100+20×(n-1)=80+20n (n=1,2,3,4,5,6).
在图(2)中,设第n年养猪场数量为bn ,则有
bn=30-4×(n-1)=34-4n (n=1,2,3,4,5,6).
由此可见,第n年出产的猪总头数为
anbn=(80+20n)(34-4n)=2720+360n-80n
=-80(n-2.25) +3120 (n=1,2,3,4,5,6).
当n=2.25时,anbn最大,即第2年养猪规模最大,且最大值为3125头.
【设计意图】用趋势图展示信息，基于函数思想，将等差数列通项公式灵活运用.
（四）巩固练习，提升素养
1．某种细菌每30分钟分裂一次(一个分裂为两个)，问一个细菌3h后分裂成多少个？
2．某人通过社交软件分别向5位好友发出加入某环保活动的一级邀请，5位好友中的每人再向各自的5位好友发出加入此环保活动的二级邀请，如此进行下去.试问，经过四级邀请接到邀请的人数是多少(假设邀请和加入的人员不同)？
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节7.4；
(2)书面作业： P80习题7.4的1,2.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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