资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
7.3.1等比数列的概念
知识 能力与素养
掌握等比数列的前n项和公式及推导过程；会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 培养学生的逻辑推理能力；培养学生分析问题，解决问题的能力．
学习目标
学习重难点
重点 难点
等比数列前n项和公式的推导，理解及应用. 等比数列前n项和公式的推导及应用．
教材分析
本节课通过我国古代数学著作《孙子算经》趣题引出等比数列的概念，介绍了等比数列的通项公式及其应用．根据具体实例给出等比中项的定义及等比中项公式，引导学生从“棋盘上的麦粒”的故事中抽象出等比数列模型，在等比数列的教学中，可采用类比的方法，在复习等差数列的有关知识的同时，对等比数列的相应知识进行类比学习．
学情分析
学生已学习了等差数列通项公式和前n项和公式，对数列有了一定的认识，能在教师的引导下解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高，在等比数列的教学中，可采用类比的方法，在复习等差数列的有关知识的同时，对等比数列的相应知识进行类比学习，以提高学生接受知识的效率.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
等比数列是另一种有特殊规律的数列，其通项公式、求和公式 的推导蕴含着与等差数列不同的重要的数学思想方法.
我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来，这组数有什么规律？
【设计意图】古代趣题提高文化素养.
（二）调动思维，探究新知
不难看出,这组数构成一个数列：9,81,729,8561…,我们也可以将其表示成9,92,93,94,….在这个数列中,从第二项起每项与它前一项的比都是9.
类似的数列还有32,16,8,4,….
不难看出, 从第二项开始，每一项与它前一项的比都是
一般地,如果一个数列an从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时,就称这个数列为等比数列,这个常数称为等比数列的公比,通常用字母q来表示．
如数列 9,81,729,6561,…为等比数列,其公比q=9；数列32,16，8,4，…是等比数列,公比q=
如果数列an是一个公比为q的等比数列,那么从第二项起,数列的每一项都等于它的前一项与公比的乘积，即
a2 =a1q，
a3 = a2 q=( a1q)q= a1q2 ，
a4 = a3 q=( a1 q2)q= a1 q2 ，
……
因此，首项为a1、公比为q 的等比数列an的通项公式为
an = a1qn-1 (其中a1与q均不为0)．
【设计意图】结合实例学习等比数列的定义，应强调公比为1的数列是常数列，但常数列不一定是等比数列.
探究与发现
当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，这个数列具有什么特征？
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】在等比数列an中， a1=2，q=4，求an，a5．
解：根据等比数列通项公式an=a1 qn-1可知
an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1；
即 an= 22n-1 ．
因此，a5 = 22×5-1 =29=512．
【典例2】将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列：2,4,8,…．
(1) 求这个数列的通项公式；
(2) 求第5次对折后报纸的层数；
(3) 问第几次对折之后报纸的层数是128？
解： (1) 设这个数列为an,则a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为
an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
(2) 根据通项公式可知，a1=25=32，因此第5次对折之后的报纸的层数为32层.
(3) 设第n次对折后报纸的层数是128,即an＝128,则由通项公式可知
2n=128，
2n =27，解得 n=7.
因此，第7次对折后报纸的层数是128.
【设计意图】例1和例2是巩固性练习，目的是直接利用通项公式解题.
【典例3】在等比数列{an}中，a4=36，a6=144，求首项a1和公比q．
解：根据等比数列的通项公式 an=a1qn-1可得
②式除以①式，并整理得
解得 q=±2.
当q=2时，a1×23=36，解得 a1=
当q=-2时，a1×(-2)3=36，解得a1=
所以, a1= q=2或 a1= q=-2.
【设计意图】例3是理解性练习，结合方程组练习加深对通项公式的理解.
【典例4】已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数．
分析：对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1，a1q，a1q2，也可以将它们设为，其中q为公比.若一直这三数的积，则将它们设为更有利于计算.
解：设这三个数分别为，则
由②式得a =8 ，解得a=8 .
将a=8代入①式，化简得
③式两边同时乘q，整理得2q -5q+2=0，
解得
当q= 2 时，所求的三个数分别为4,8,16；
当q=时，所求的上数分别为16,8,4.
所以，这三个数为4,8,16或16,8,4.
【设计意图】主要让学生了解，如果三个数成等比数列，且已知三个数的乘积，可以设这三个数分别为
一般地,当a,G,b成等比数列时,G称为a和b的等比中项.
当G是a与b的等差中项时,有
因此G =ab或
例如,若3,G,12三个数构成等比数列,则G =3×12,从而 3与12的等比中项G=±6.
（四）巩固练习，提升素养
1. 判断下列说法是否正确（是打“√”，否打“×）
(1)1，0，1，0，1，0，1，0是等比数列； （ ）
(2) 1，1，1，1，1，1是等比数列； （ ）
(3) 3，5，7，9，… 是等比数列； （ ）
（4）是等比数列； （ ）
(5) 是公比为-2的等比数列. （ ）
2. 在下列等比数列中填上所缺的项．
（1） 3，6，12， ，48，…；
（2） ，4，-2，1， ；
（3）5，5，5， ，5；
（4）1，-1，1， ，1．
3．在等比数列{an}中，a1=3，q=-2，求a3、a4．
4．求下列各组数的等比中项：
（1）4与25； （2） -3与-27．
5．在等比数列{an}中，a2=8，a3=4，求公比q和首项a1．
6．在等比数列{an}中，a1=1，an=256，q=2，求n．
7．已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求这三个数．
8．在等比数列中，8是第几项？
9.一辆车现价为10万元，年折旧率为10%(不考虑其他因素) ，问该车第10年后的车价是多少元(保留两位小数)？
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节7.3.1；
(2)书面作业： P72习题7.3的1，2,3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑