资源简介

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7.2.1等差数列的概念
知识 能力与素养
了解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，能够通过具体实例，发现总结等差数列的概念及公差的概念，并应用公式解决简单的问题. 培养学生建模思想，体验中国历史文化，培养学生观察、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想.
学习目标
学习重难点
重点 难点
等差数列的概念，通项公式的应用. 等差数列概念的理解.
教材分析
本节知识的学习既能加深对数列概念的理解，又为后面学习数列有关知识提供研究的方法，具有承上启下的重要作用。而且等差数列求和在现实中有着广泛的应用，同时本节课的学习还蕴涵着倒序相加、数形结合、方程思想等深刻的数学思想方法.
学情分析
学生已掌握了函数、数列等有关基础知识，并且在小学和初中已了解特殊的数列求和, 学生已初步具备逻辑思维能力，能在教师的引导下解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
等差数列是一种有特殊规律的数列，其通项公式的前n项和公式的推导蕴含着重要的数学思想方法.
天坛集明清两代建筑技艺之大成，是古建筑珍品.它以深刻的文化内涵、宏伟的建筑风格，成为中华民族古老文明的写照.圜丘坛是举行冬至祭天大典的场所.圜丘为圆形，三层坛制，每层四面出台阶各9级.上层中心为一块圆石,外铺扇形石块9圈，内圈9块，以9的倍数依次向外延展，栏板、望柱的数量也都是9或9的倍数.
石板以上层中心圆石为起点，第一圈为9块，第二圈为18块，周围各圈直至底层，共9圈，均以9的倍数递增，如图所示．你能算出第9圈共有多少块石板吗？
【设计意图】提升文化素养，培养观察分析、归纳猜想以及应用能力.
（二）调动思维，探究新知
可以看出，第一圈石板数为9，第二圈石板数为 18，第三圈石板数为 27，… ，第9圈石板数为 81.因此，从内到外，石板数构成数列：9，18，27，… ，81.在这个数列中，从第二项开始，每项与前一项的差都是9.
用同样的方式观察数列
20，15，10，5，… ；
1，3，5，7，….
我们发现这些数列都具有一个共同特点：从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d来表示．
如数列 5，10，15，20，…是等差数列，公差d=5；1，3，5，7，…是等差数列，公差d=2；１，2，3，…，99，100 是等差数列，公差d=1．
如果数列an是一个公差为d的等差数列，那么该数列从第二项起每一项都等于它的前一项与公差的和，即
a2=a1+d，
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，
a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d，
……
因此，首项为a1、公差为d 的等差数列an的通项公式为
an= a1+(n 1) d.
【设计意图】强调定义的重要性并自始至终紧扣这个定义，推导等差数列通项公式时，让学生亲身经历“不完全归纳法“这一研究过程.
探究与发现
已知一个等差数列中的某一项和这个数列的公差，如何表示出其他的项？
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】已知等差数列2，5，8，11， ….
（1）求这个数列的通项公式；
（2）求这个数列的第6项；
（3）这个数列的第几项是35？
解：（1）在设这个等差数列通项公式为，，
则，可得d=5-2=3.
由得，该数列通项公式为
即
（2）由可知
（3）设35是这个数列的第n项，即则由通项公式可得
解得n=12.
所以，35是这个数列的第12项.
【典例2】在等差数列中，a2=25， a7=10，求a1，d，a10.
解：由等差数列的通项公式=a1+(n 1) d ，可得
解方程组，得
于是，该等差数列的通项公式为=28+(n-1)×(-3)=-3n+31.
由此可得，a10= (-3)×10+31=1.
所以， a1=28，d=-3， a10=1.
【设计意图】例1和例2让学生灵活运用通项公式和方程思想求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
【典例3】小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄恰好构成等差数列，他们三个人的年龄之和为99，爷爷的年龄是小明的年龄的10倍，求他们祖孙三人的年龄.
分析：对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1，a1+d，a1+2d，也可以将它们设为a-d，a，a+d，其中d为公差.若已知这三个数的和，则将它们设为a-d ，a，a+d更有利于计算．
解：设小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别为a-d ，a，a+d ，则
解方程组，得
于是，a-d=6，a+d=60.
即小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别是6岁、33岁和 60岁．
因此，他们祖孙三人的年龄分布为60岁、33岁和6岁.
【设计意图】主要阐明如果三个数成等差数列，且已知三个数的和，利用对称性设这三个数.
一般地，当三个数a，A，b成等差数列时，A称为a和b的等差中项.
若A是a与b的等差中项，则由等差数列的定义可知，
A-a=b-A，
因此
例如，若2，b，6三个数成等差数列，则b是2和6的等差中项，且b=
【设计意图】借助实例说明.
（四）巩固练习，提升素养
1. 判断下列数列是否为等差数列(是打“√”，否打“×”).若是，指出其公差.
(1) 1，3，5，7，9，2，4，6，8 ； ( )
(2) ( )
(3) 3，3，3，3，… ； ( )
(4)1，1，2，3，4，5，… ； ( )
(5) 4，1，-2，-5，… ； ( )
2. 根据已知条件填空.
(1) 38是等差数列3，8，13，18，…的第 项；
(2)在等差数列an中，a1=10，a8=3，则d = ；
(3)在等差数列an中，d= 2，a20= 18，则a1= ．
3. 在等差数列an中，a5=11，a14=38，求a1，d，a20．
4. 已知三个数成等差数列，它们的和等于12，它们平方和等于56，求这三个数．
5 .求下列各组数的等差中项：
(1) 12与4； (2) 10与6．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节7.2.1；
(2)书面作业： P6习题7.2的1，2，3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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