资源简介

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8.2.1排列
知识 能力与素养
通过实例探究，理解排列的概念，并结合实际问题进行对比分析，能准确选择相应公式进行计算，并掌握使用计算器计算排列数. 通过经历用两个计数原理推导排列数公式，的性质的过程，体会从特殊到一般的探究方法，培养类比学习能力．
学习目标
学习重难点
重点 难点
排列概念和排列数公式. 与排列有关的概率计算等实际应用．
教材分析
本课从“从甲、乙、丙3名学生中选2名分别担任服务小组的正、副组长”这一情境引入，通过树形图分析，一一列举，再明确解决这一问题可分两个步骤完成，应用分步计数原理得出选法总数，为推导排列数公式奠定方法基础，然后将问题进行抽象再，进而推广到一般情形，从而给出排列的概念，明确排列的定义．
学情分析
上节课学生已学习了两个基本计数原理，大多数学生能正确运用两个原理，但对排列这部分内容，大部分学生感到难学.
教学工具
教学课件
课时安排
3课时
教学过程
排列与组合是两类特殊的计数问题，与概率、二项式定理等联系紧密．它们的运用可以大大简化计数中的计算过程，为我们的生产生活和科学研究带来便利.
（一）创设情境，生成问题
为增强学生的社会责任感，某校组织学生参加志愿服务活动. 现计划从甲、乙、丙3名学生中选2名分别担任服务小组的正、副组长，有多少种不同的选法？
【设计意图】创设情境，引发思考.
（二）调动思维，探究新知
我们可以这样分析：
第1步：从甲、乙、丙3人中任选1人担任正组长，有3种不同的选法；
第2步：从剩余的2人中选取 1人担任副组长，有2种不同的选法.
根据分步计数原理，不同的选法共有 3×2=6（种）.
通常，把被选取的对象称为元素.
上述问题就是：从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法.
一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列， m【设计意图】通过树形图分析，一一列举，以此培养学生的有序思维.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】写出从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中任取3种颜色的所有排列.
分析：要写出从4种不同的颜色中任取 3种颜色的排列，共需 3 个步骤.第1步，从红、蓝、黄、绿4种颜色中任取 1 种颜色放在第1位，有4种方法；第2步，从剩下的 3 种颜色中任取 1种颜色放在第2位，
有3种方法；第3步，从剩下的2种颜色中任取1 种 颜色放在第3位，有2种方法. 根据分步计数原理，从红、蓝、黄 绿4种不同的颜色中任取3种颜色的所有排列方法有4×3×2=24种. 如图所示为第1 步选红色的排列情况，你能如图中这样列出其他的排列情况吗？
解：从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中任取 3种颜色的所有排列为：
红蓝黄，红蓝绿，红黄蓝，红黄绿，红绿蓝，红绿黄；
蓝红黄，蓝红绿，蓝黄红，蓝黄绿，蓝绿红，蓝绿黄；
黄红蓝，黄红绿，黄蓝红，黄蓝绿，黄绿红，黄绿蓝；
绿红蓝，绿红黄，绿蓝红，绿蓝黄，绿黄红，绿黄蓝.
两个排列相同，不仅要满足两个排列的元素相同，而且元素的排列顺序也要相同.
很多情况下，人们并不需要把所有的排列都写出来，只需要知道所有排列的个数．
一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
如例1中，从4个不同的元素中取出3个元素的排列数可表示为,表示.
【设计意图】类比前面知识一一列举所有排列，并通过分步计数原理得到排列方法总数.
探究与发现
从5个不同的元素中取3个元素的排列数是多少？又各是多少呢？
先研究排列数的计算方法，假定有顺序排列的3个空位，从5个不同元素a1，a2，a3，a4，a5中任取3个元素去填空位，1个空位填1个元素，1种填法就得到1个排列；反之，任一个排列都确定1种填法. 因此，所有不同的填法总数就是排列数.那么，有多少种不同的排法呢？具体可以分三个步骤完成.
第1步:安排第1个位置的元素,可以从5个元素中任选1个元素填上,有5种方法.
第2步:安排第2个位置的元素,可以从剩下的4个元素中任选 1个元素填上,有4种方法.
第3步:安排第3个位置的元素,可以从剩下的3个元素中任选1个元素填上,有3种方法.
根据分步计数原理,得到不同的填法总数=5×4×3=60.
同理，求排列数，可以按依次填4个空位来考虑，得到=5×4×3×2=120.
下面研究从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数的计算方法，假定有顺序排列的m个空位，从n个不同元素a1，a2，a3，…，an 中任取m 个元素去填空位，1个空位填1个元素，1种填法就得到 1个排列；反之，每1个排列确定1种填法.因此，所有不同的填法总数就是排列数 .
第1步：从n个元素中任取1个元素填在第1位，共有n种方法；
第2步：从剩余的(n-1)个元素中任取1个元素填在第2位，有(n-1)种方法；
第3步：从剩余的(n-2)个元素中任取1个元素填在第3位，有(n-3)种方法；
……
第m步：从剩余的[n-(m-1)]个元素中任取1个元素填在第m位，有[n-(m-1)]种方法；
由此可得，从n个不同元素中任取m个元素的排列数
=n(n-1) ( n-2)… ( n-m+1). (8-3)
公式称为排列数公式，其中m,n∈N* ，且m≤n.
利用排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中任取m个元素的所有排列的个数.
当m=n时，=n(n-1) ( n-2)… 3×2×1.
由1到n的正整数的连乘积称为n的阶乘，记作n!.即
=n!.
【设计意图】在前面实例基础上讲解排列数概念，引导学生观察规律，对排列数公式产生一定的感性认识，再引导学生对排列数公式进行猜想 .类比具体排列数的探究过程，推导得出排列数的有关公式和相关定义.
【典例2】计算．
(1)运用公式(8-3) 计算
(2) 运用计算器计算
解：(1)
由(2)看出，即
一般地，
因此，排列数公式还可以写成 (8-6) .
为使公式在m=n时也成立，规定0！=1.
【设计意图】第一问主要目的是巩固利用排列数公式进行计算，第二问为后面公式引出做准备.
温馨提示
公式(8-3)与公式(8-6)都是计算排列数的公式.计算排列数，通常使用公式(8-3)，而进行有关排列数的证明，则通 常使用公式(8-6).
【典例3】某市中小学开展“红色研学之旅”活动，供选择的基地共有6个.若某中学计划从6个基地中选取3个基地参观，有多少种不同的参观路线？
分析：从这6个基地中选3个基地参观的路线，相当于从6个不同的元素中取出 3个元素的排列.
解：从6个基地中选取 3个基地参观，不同的参观路线共有.
【设计意图】由于参观有先后之分，所以与顺序有关，是一个典型的排列问题
【典例4】某一天的课程表要安排语文、数学、英语、思想政治、体育与健康、机械基础、机械制图共7门课程. 如果第一节课不排体育与健康，那么有多少种不同的排课方法？
分析：优先考虑体育与健康，可以分两个步骤．第1步，先安排体育与健康，有种排法；第2步、将剩下的6门课程安排到剩下的6节课中，有种排法
解：根据分步计数原理，将7门课程安排进人课程表，且体育与健康不排在第一节课的排课方法共有
=6×720=4320（种）.
分析：优先考虑第一节课，可以分两个步骤. 第1步，先安排第一节课，有种选法；第2步，将剩下的6节课安排6门课程，有种排法.
解：根据分步计数原理，将7门课程安排进课程表，且体育与健康不排在第一节课的排课方法共有
=6×720=4320（种）.
分析：先考虑将7门课程安排到7节课中，有种排法. 再考虑 第一节课安排体育与健康的排法，有 种排法.
解：根据分步计数原理，将7门课程安排进人课程表，且体育与健康不排在第一节课的排课方法共有
-=5040-720=4320（种）.
【设计意图】是一个带有限制条件的排列问题，尝试多种解决方法.
温馨提示
首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或一般位置，分步骤来研究问题，是本章中经常使用的方法，我们在日常分析解决问题的过程中也应该分步骤、多角度进行思考.
（四）巩固练习，提升素养
1. 填空.
（1）则n= .
(2)若则n= .
2. 利用排列数公式计算并用计算器验算结果.
（1） （2） （3） （4） （5）
3.(1)小明打算从5本不同的笔记本中选2本分别作为日记本和纠错本，共有多少种选法？
(2)小明打算从5种不同的笔记本中选2本分别作为日记本和纠错本，共有多少种选法？
4. 用 0，1，2，3可以组成多少个没有重复数字的四位数？
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节8.2；
(2)书面作业： P112习题8.2的1.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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