资源简介

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8.2.3 排列组合的应用
知识 能力与素养
会通过数学建模,解决简单的与排列组合有关的概率计算等实际问题. 培养分析问题解决问题的能力．
学习目标
学习重难点
重点 难点
与排列组合有关的概率计算等实际应用. 与排列组合有关的概率计算等实际应用.
教材分析
通过几个典型的实际问题介绍排列组合应用的主要方法.
学情分析
上节课学生已学习了两个基本计数原理，排列、组合等知识，重点在于把实际问题转化成排列组合问题.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
排列与组合是两类特殊的计数问题，与概率、二项式定理等联系紧密．它们的运用可以大大简化计数中的计算过程，为我们的生产生活和科学研究带来便利.
（一）巩固知识，典例练习
【典例1】现有100个三极管，其中有4个次品，质检人员从 100 个三极管中随机抽出3个.
(1)抽取的3个三极管“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？
(2)抽取的 3个三极管中“恰有2个次品”的不同抽取方法共有多少种？
(3)抽取的3个三极管中“至少有 1个次品”的不同抽取方法共有多少种？
分析：在以上3个问题中，要实现抽取的3个三极管“全部是合格品”，就是从96个合格品中抽取了个，有种取法；要实现抽取的 3 个三极管中“恰有2个次品”，可以分两步完成，第一步，从4 个次品中取出2个，有种取法，第二步，从96个合格品中取出 1个，有 种取法；要实现抽取的3个三极管中“至少有1个次品”，可以先求从100 个三极管中任意抽取3个，有种取法，再求从96个合格 品中抽取3个合格品，有种取法，两者作差.
解：(1)抽取的3个三极管“全部是合格品”的不同方法有
（种）
(2)根据分步计数原理，抽取的 3个三极管中“恰有2个次品”的不同方法有
（种）
(3)抽取的3个三极管中“至少有 1个次品”的不同方法有
（种）
【设计意图】对三极管进行抽样检查的组合计算问题，三问均是有限制条件的组合问题，第 (3)小题用间
接计算法.
【典例2】某技能大赛领奖典礼后，3 名老师与4名获奖学生站成一排合影留念.
(1) 共有多少种不同的排法？
(2) 3名老师必须站在一起，有多少种不同排法？
(3) 3名老师必须互不相邻，有多少种不同排法？
分析：在以上3个问题中，要“3名老师和4名学生站成一排”，就是这7个人进行全排列，有种排法：要实现“3 名老师必须站在一起”，可以分两步完成，第一步将3名老师视为一个整体，将其与4名学生进行排列，有种排法，第二步对3名老师进行排列，有种排法；要实现“3名老师必领互不相邻”，也需要分两步完成，第一步将4名学生排列好，有种排法，4 名学生之间和两端有5个空位， 第二步将3名老师安排到这些空位中去，有种排法，
解：(1) 3 名老师与4名学生站成一排的不同排法有
（种）
(2)根据分步计数原理，3名老师必须站在一起的不用排法有
（种）
(3)根据分步计数原理，3名老师必须互不相邻的不用排法有
（种）
【设计意图】注意渗透分步的思想，有序思考的方法，利用 “捆绑”或 “插空”的处理原则，化难为易.
【典例3】从数字 1，2，3，4，5 中任取了个，组成无重复数字的三位数.
(1)求这个三位数是5的倍数的概率；
(2)求这个三位数是奇数的概率；
(3)求这个三位数小于300的概率.
分析：从数字 1，2，3，4，5中任取3个，可以组成个无重复数字的三位数．若组成的这个三位数是5的倍数，则这个数的个位只能是5，有个；若组成的这个三位数是奇数，则这个数的个位是1或3或5，有·个：若组成的这个三位数小于300，则这个数的百位是1或2,有· 个.
解： (1)这个三位数是5的倍数的概率为
(2) 这个三位数是奇数的概率为
(3) 这个三位数小于300的概率为
【设计意图】利用排列组合解决概率计算的简单实际问题，是组合与概率的综合应用.
【典例4】如图所示，已知D、E、F三点分别为等边三角形ABC 三边的中点，现从A、B、C、D、E、F这6个点中任取3点.
(1)求这3个点构成三角形的概率；
(2)求这3个点构成等边三角形的概率.
解：从以上6个点中任取3个点，有种取法. 若这3个点构成三角形，则需从种方法中去除三点共线的3种取法，有(-3)种方法；这3个点可构成5个等边三角形，即
ΔABC，ΔADF， ΔDBE， ΔDEF， ΔFEC.
解：(1)这3个点构成三角形的概率为
(2)这3个点构成等边三角形的概率为
.
【设计意图】这类问题既考察逻辑思维能力又考查运算能力.
拓展延伸
鲁班锁是由6块大小一样、中段有不同镂空的正四棱柱形木块组装成的精致、牢固的木结构，它有约 12 万种不同的组合.“不用钉连，不用胶合;我中有你，你中有我.阴阳拼插,卯样成锁;严丝合缝,岂奈我何”是对鲁班锁玄妙之处最精辟的介绍.鲁班锁不仅展现了中国古代的科学成就,更是一种创新精神的象征,闪烁着我国劳动人民的智慧光芒.
（四）巩固练习，提升素养
1. 某校有10名电子商务专业的优秀实习生，其中男生6人，女生4人.现从中选3人参加某商品的网络促销活动.
(1)从中任意选出3人，共有名少种不同选法？
(2)从中选出的3人“全部是男生”的选法共有多少种？
(3)从中选出的3人中“至少有1人是女生”的选法共有多少种？
2. 将8只不同颜色的气球连成一串.
(1)其中红、黄两种颜色的气球必须连在一起，有多少种方法？
(2)其中红、黄两种颜色的气球互不相邻，有多少种方法？
3. 从集合，从集合B={-2,-1,0,1,2} 中选取一个数记为b,求函数y=kx+b在定义域上是增函数且函数图像不过第二象限的概率.
4. 从正四棱锥的8条棱中任取两条棱，求两条棱互相平行的概率.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节8.2.3；
(2)书面作业： P112习题8.2,B的1,2,3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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