资源简介

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8.1 计数原理
知识 能力与素养
经历两个计数原理的形成过程，理解分类计数原理和分步计数原理，会用两个计数原理计算完成一件事情的方法总数；通过实例感知两个计数原理的区别,能根据具体问题的特征选择恰当的原理解决一些简单的实际问题. 通过观察、分析、概括、比较，体会数学来源于生活服务于生活，感悟从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法，形成科学严谨的态度，养成周密思考、细心分析的良好习惯，增强数学应用意识．
学习目标
学习重难点
重点 难点
分类计数原理和分步计数原理的联系与区别，能应用两个计数原理解决简单的实际问题. 理解“完成一件事情”的含义；准确区分“分类”或“分步”．
教材分析
计数原理是加法运算、乘法运算的延伸与推广，是生活中分类、分步背后所蕴含的数量关系的数学刻画，是后续学习排列、组合和二项式定理的理论依据，是本章的基础性知识．
学情分析
前几节课学生已学习了等差数列通项公式和前n项和公式、等比数列的通项公式，对数列有了一定的认识，能在教师的引导下能本节内容与等差数列前n项和公式进行类比，但本节内容与等差数列前n项和公式的推导又有所不同，另外这一条件学生容易忽略.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类计数原理、分步计数原理也称为基本计数原理，是解决计数问题的基本方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.
8.1.1分类计数原理
（一）创设情境，生成问题
某校拟从3名男生、6名女生中，推选1 名参加全国职业院校技能大赛某一赛项的市级选拔赛，问共有多少种不同的选法？
【设计意图】创设情境，引发思考.
（二）调动思维，探究新知
推选工作可以分两类进行.第1类是从男生中选，有3种选法；第2类是从女生中选，有6种选法. 并且，每一种选法都能够完成推选工作.因此，不同的选法共有3+6=9（种）.
一般地，如果完成一件事有n类方式. 第1类方式有k1种方法， 第2类方式有k2种方法， ，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有
N= k1+k2+ +kn (种).
上面的计数原理称为分类计数原理.分类计数原理又称加法原理.
【设计意图】从特殊到一般，概括加法计数原理.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】张老师要从某市去上海出差,出发前查询到,当天抵达的高 铁有 46 班次,客运汽车有62班次,轮船有4班次．张老师当天要从某市到上海,共有多少种不同的选择？
分析：在高铁、客运汽车、轮船三类公共交通工具中任选一类,都 可以完成这件事(当天从某市到上海),符合分类计数原理.
第1类：乘坐高铁,从46个班次中任意选择一个,有k1=46种选择；
第2类：乘坐汽车,从62个班次中任意选择一个,有k2=62种选择；
第3类：乘坐轮船,从4个班次中任意选择一个，有k3=4种选择.
解：根据分类计数原理，不同的选择共有 N=46+62+4=112(种).
【设计意图】引导学生概括有三类方法都可以，每种方法又有若干种选择.
（四）巩固练习，提升素养
1. 书架上有9本数学书 、6本语文书、4本英语书. 从书架上任取一本，共有多少种不同的取法？
2.某地区山川秀美，3A 级景区有7个，4A 级景区有5个. 某旅行团计划从中任选一处景区游玩，有多少种不同的选法？
3.用一个大写的英文字母或0~9中的一个数字给新植的树苗进行编号，一共能编出多少个不同的号码？
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
8.1.2分步计数原理
（一）创设情境，生成问题
某校拟从3名男生、6名女生中，各推选1名参加全国职业院校技能大赛某一赛项的市级选拔赛，问共有多少种不同的选法？
【设计意图】创设情境，发现问题.
（二）调动思维，探究新知
要推选男生、女生各1名，可以分两个步骤进行. 第一步选男生，第二步选女生.若选出“男生1”后再选女生，可列出6 种不同的选法.类似地，我们可以列出第一步选“男生2 ”时所有可能的选法和第一步选“男生3” 时所有可能的选法．因此，不同的选法共有
6+6+6=3×6=18(种).
一般地，如果完成一件事有n个步骤. 完成第一个步骤有k1种方法，完成第2个步骤有k2种方法， ，完成第n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有 N= k1k2 kn (种).
上面的计数原理称为分步计数原理.分类计数原理又称乘法原理.
【设计意图】利用学生熟悉的树状图帮助理解.
（三）巩固知识，典例练习
【典例2】书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书. 若从这些书中取1本数学书、1本语文书和1本英语书，共有多少种不同的取法？
分析：解决这个问题可以分成3个步骤：第1步取1本数学书，第2步取1本语文书，第3步取1本英语书.符合分步计数原理.
第1步：从6本不同的数学书中取 1本，有k1=6种取法；
第2步：从7本不同的语文书中取1本，有k2=7种取法；
第3步：从5本不同的英语书中取1 本，有k3=5种取法．
解：根据分步计数原理，不同的取法共有 N=6×7×5 = 210 (种).
【设计意图】巩固对分步计数原理的理解，引导学生分析这件事的步骤.
（四）巩固练习，提升素养
1.小明到黄山游览，他计划先从某市乘坐火车到合肥，第二天再从合肥乘坐汽车到黄山.一天中从该市到合肥适合乘坐的火车有10个班次，从合肥到黄山适合乘坐 的汽车有10个班次，那么小明从该市到黄山有多少种不同的乘车方案？
2.某班甲、乙、丙、丁4 名同学报名参加学校的兵乓球、羽毛球、网球三项不同的 比赛，每人只能报名参加一项比赛，且每项比赛只允许1人报名参加，问共有多少种不同的参赛方案？
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
8.1.3计数原理的应用
（一）创设情境，生成问题
一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同.
(1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？
(2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？
分析：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类方式：第一类是从第一个口袋内任取1个小球，有k1=3种取法；第二类是从第二个口袋内任取 1个小球，有k2=4种取法；
(2)从两个口袋内各取1个小球，分为两个步骤来完成：第一步是从第一个口袋内取1个小球，有k1=3种取法；第二步是从第二个口袋内取1个小球，有么k2=4种取法.
解：(1)根据分类计数原理，不同的取法共有 3+4=7 (种) ；
(2)根据分步计数原理，不同的取法共有 3×4= 12 (种).
【设计意图】与前面情境相同问题不同，帮助学生辨析两个原理的不同.
（二）巩固知识，典例练习
【典例3】学校开展“我和我的祖国”书面展，要从8幅学生作品中选出4幅分别挂在1—4号四个不同的展位上，一共有多少种不同的挂法？
分析：解决这个问题需要四个步骤：第一步，从8幅作品中选择1幅作品挂在1号展位，有k1=8种不同的选择；第二步，从剩下的7幅作 品中选择一幅挂在 2号展位上，有k2=7种不同的选择，以此类推，我们可以用下图来表示.
解：根据分步计数原理，不同的挂法共有8×7×6×5=1680 (种).
【设计意图】单独应用分步计数原理.
【典例4】甲厂生产的汽车型号有3种，每种有4 个颜色；乙厂生产的汽车型号有4种，每种有5个颜色；丙厂生产的汽车型号有5种，每种有3个颜色. 刘某要从中选购一款，他共有多少种不同的选择？
分析：解决这个问题要分别对甲、乙、丙三个汽车厂讨论，并考虑每个汽车厂生产的汽车有多少种不同的款式．需要综合运用分类计数原理和分步计数原理.
第1类：从甲厂生产的汽车中选择，分两步：第1步选择汽车型号，有3种；第2步选择汽车颜色，有4个．共k1=3×4=12种款式；
第2类：从乙厂生产的汽车中选择，分两步：第1步选择汽车型号，有4种；第2步选择汽车颜色，有5个．共有k2=4×5=20种款式；
第3类：从丙厂生产的汽车中选择，分两步：第1步选择汽车型号，有5种；第2步选择汽车颜色，有3个．共有k3=5×3=15种款式.
解：根据分类计数原理和分步计数原理，刘某的选择共有
3×4+4×5+5×3=47 (种).
【设计意图】综合运用两个计数原理，先分类再对每一类分步进行计算.
（三）巩固练习，提升素养
1.某电路包含开关组 A 和开关组 B.
(1)如左图所示，若只闭合 1只开关接通电路，使电灯发光，有多少种不同的方法(开关组A 与开关组B是并联关系)？
(2)如右图所示，若闭合A、B中各1只开关接通电路，使电灯发光，有多少种不同的方法(开关组 A 与开关组 B是串联关系)？
2.从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选择两名同学参加学校羽毛球、跳绳两个活动，每人最多只能参加一项，一共有多少种选择？
3. 有9个互不相同的小球，其中4个红球、3个绿球和2个黄球. 现从中取两个颜 色相同的球，分别放入两个不同的杯子，一共有多少种放法？
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（四）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节8.1；
(2)书面作业： P94习题8.1的1，2,3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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