资源简介

在猜想中发现规律 在验证中总结规律
——《商不变的规律》
【学习内容】
北师大版《义务教育教科书.数学》四年级上册第六单元除法第7课时第77-78页。
【教材分析】
一、本课关联的核心素养分析
推理意识：“观察两组算式，你能照样子再写一组吗？”通过观察两组算式，发现被除数和除数的变化规律，类比仿写算式，得出初步的猜想。再借助丰富的素材进行验证，从众多算式中寻找共性，经过观察、辨析、修正、完善，最终归纳概括出商不变的规律，经历从特殊到一般的归纳推理过程。最后迁移所学，指导计算或解释生活现象、解决现实问题。本课的推理意识充分体现在规律发现全过程，也就是让学生借助简单的类比推理、归纳推理来发现、理解与应用商不变的规律。
运算能力：商不变的规律既是对前面所学除法意义的进一步巩固，也是进行除法简便运算的依据，是在梳理算法的基础上对普适性规律的归纳与提炼。商不变的规律的发现，有利于学生寻找合理简洁的运算策略解决问题，感受算法的多样化，在体会规律价值的同时，提高运算能力。同时，商不变的规律的探究过程依托对算式形式与意义的探索，能帮助学生进一步理解除法算式各部分之间的关系，有利于学生的运算能力的发展，及通过运算促进数学推理能力的发展。
模型意识：本课通过“从生活中来——探索规律”“到生活中去——应用规律”两个过程，充分建立数学与外部世界的联系，发展学生的模型思想。从现实情境中抽象出除法算式，初步感受商不变规律的现实原型，进而用数学符号表达发现的数量关系和变化规律，通过多元表征感悟规律、总结规律，最终借助语言简洁概括规律，在规律发现的过程中完成数学建模过程。最后解读与应用模型，感受模型对于解决现实问题的作用。
二、本课的核心任务分析
本课的核心任务是“观察下面两组算式，你能照样子再写一组吗？说一说你发现了什么？”
在规律推理的整个过程中，最重要和最基础的环节在于理解除法算式间各部分的内在联系，发现变与不变的本质规律，因此把“观察下面两组算式，你能照样子再写一组吗？说一说你发现了什么？”作为本课的核心问题，通过观察被除数、除数和商的变化情况而初步感悟与发现规律。但此时规律呈现的方式还不够直观，顺势引出第二个问题，通过多样化的解释表征方式引发学生之间的交流、辨析，从而总结、概括规律，最后运用规律使一些除法的运算过程更合理简洁，感受学习的必要性。整节课以“发现规律——总结规律——运用规律”为线索，环环相扣、层层递进，其中第一个问题是基础性问题。
【学情分析】
本节课是在学生已经较好掌握了三位数除以两位数的计算方法的基础上学习的，学生具备有序观察的能力，初步掌握了探索规律的一般方法。掌握这部分知识，既为学习简便运算做好准备，又有利于以后学习小数除法、分数和比的有关知识。在本课中，学生需要准确观察、比较商不变时被除数和除数的变化规律，并用语言抽象概括出发现的规律，因此借助已有知识经验，主动有效地探索或解释规律存在较大的难度。基于此，本课的学习重点是经历探索与发现商不变规律的过程，理解商不变的规律，难点是在探究的过程中自主抽象、概括出商不变的规律。
【学习目标】
1.经历探索与发现商不变规律的过程，理解商不变的规律，发展提出问题和解决问题的能力。
2.结合具体的问题，能运用商不变的规律，寻找合理便捷的运算途径，感受算法的多样化，体会规律的价值，提高运算能力。
3.在探索规律的过程中，逐步培养独立思考、合作交流、反思质疑的良好学习习惯。
【学习重难点】
教学重点：经历探索与发现商不变规律的过程，理解商不变的规律。
教学难点：抽象、概括出商不变的规律。
【学习准备】
学习单、课件。
【学习过程】
一、趣味引入，提出问题。
1.（1）今天，老师给大家带来了一场魔术表演，可不要眨眼哦。请看：这里有把八块糖果，把它平均放到两个1号盒子里。现在8块糖果摇身一变，变成了80块，平均放到20个2号盒子里。再变成800块，平均放到200个3号盒子里。几号盒子糖果多？
明明变出了这么多糖果，为什么每个盒子里的糖果数始终不变？8÷2=4，80÷20=4，800÷200=4。
老师的魔术变得这么厉害，是因为我有一本魔术秘籍。购买秘籍有三种方案:48元12本，24元12本，6元3本。你们打算怎么买？
48÷24=2、24÷12=2、6÷3=2。每本的价钱一样多。
魔术表演结束了，思考还没停止。仔细观察，你能发现算式中的神奇之处吗？
2.引出核心任务。
观察两组算式，你能照样子再写一组吗？说一说你发现了什么？完成学习单。
活动一：
观察两组算式，你能照样子再写一组吗？说一说你发现了什么？
我的仿写：
我的发现：
【设计意图：借助具体情境抽象出除法算式，引导学生观察算式，发现算式中隐藏的信息，并根据信息直接提出问题，核心任务蕴含其中。观察发现竖着看两组算式商不变，被除数和除数成倍数增大或缩小，对规律形成初步的感知。数据的设计有代表性，利于学生整体观察，在对比中有所发现，进而引发猜想。】
二、探索新知，发现规律。
1.自主探究，猜想规律。
（1）仿写中你有什么发现？有没有解决不了的问题？
（2）你为什么这样写？能用自己的方式说明其中的道理吗？
小组成员都完成后，请在组内先交流一下，说说你是怎么写的，你的发现别人认同吗？
交流猜想。同学们讨论的差不多了，老师这里也有几位同学的作品，让我们一起来分享。（教师在巡视指导时对典型作品进行拍照收集。）
层级一：
层级二：
层级三：
层级一：机械构造商相同的算式。学生只关注到商相同，没有发现被除数和除数的变化规律，因此学生是根据商不变的特点先写商，再凑出被除数和除数，不能清楚说明不同算式之间被除数和除数发生了怎样的变化。
层级二：算式之间被除数和除数是10倍关系，或只关注到被除数和除数放大到某一倍数，未能从缩小的角度观察发生的变化。
层级三：既能关注到被除数和除数同时放大或缩小，又不拘泥于范例中的10倍和2倍，能呈现更多的倍数关系。
虽然每组算式都不一样，但它们的商都是相同的。看来被除数和除数都变了，商不变。被除数和除数怎样变化而商不变？
【设计意图：能不能写出类似的算式，就是有没有发现规律的试金石，通过仿写算式，让学生的思维水平外显出来。这个环节让学生主动建构规律，验证自己初步的发现与猜想。在学生作品交流与分享时，注意分层级呈现，通过生生互动，使层次一和层次二的学生顿悟，从对个别倍数算式的关注逐渐上升到对普遍现象的理解，在头脑中初步自主构建规律。学生通过自己举的例子，在验证观察得出的猜想的同时，能提高对探索方法的认可度和探索结果的深刻性。】
2.理解表征，感悟规律。
（1）被除数和除数怎样变化而商不变？
活动二：
被除数和除数怎样变化而商不变？请选择喜欢的方式具体记录变化的过程。
交流分享。
方法一：画图
方法二：列算式
方法三：文字表达
【设计意图：此环节借由数形结合助力构建商不变规律的数学模型。借由多种表征形式对头脑中感知的规律进行具象的表达，凸显第二、三个算式与第一个算式的关联，使学生更容易理解被除数与除数是怎样发生变化的，有利于寻找相同点进行概括与归纳。如果有学生在此时借用文字表达，可以顺势展开讨论，探寻概括规律的简洁表达形式。】
3.归纳概括，总结规律。
（1）请你用语言说一说，被除数和除数怎样变化而商不变？
层级一 层级二 层级三 层级四
层级一：与商不变的规律无关。
层级二：提到被除数、除数和商，能用自己的语言描述特例中商的规律。
层级三：同时提到被除数、除数和商，能用“乘”或“除以”等关键词描述。
层级四：能结合“同时乘”和“同时除以”较为全面地描述商的变化规律。
小结：被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变。
（2）思考到这里，同学们还有什么问题吗？
引发学生疑惑：真的所有算式都有这样的规律吗？
像这样通过几个例子获得的规律，还只是“猜想”，想知道是否正确，还要想办法“验证”。大家可以举例试试看。
思考1：如果被除数和除数同时乘0，则算式没有意义，应该作为特例排除在外。
思考2：被除数和除数中只有一个乘或除以一个数，商会变化，强调“同时”。
思考3：被除数和除数乘或除以不同的数，商会变化，强调“同一个数”。
思考4：当出现有余数的情况，虽然余数不同，但商始终相同。
总结：被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。这就是商不变的规律。
【设计意图：本环节经历从直观呈现到抽象概括的过程，用相对简洁的语言概括规律，再次明确有规律的变才会产生不变。在探究过程中，学生必然产生质疑，从而用自己想到的方式去验证猜想，不断尝试、修正和完善自己的思考，更能培养思维的严谨性，体现学会确定发现的路径比发现的规律更重要。】
解释应用，理解规律。
1.你能解释他们这样计算350÷50的理由吗？
讨论：运用了商不变的规律，使除数是整十、整百数的除法变得简便易算。
【设计意图：350÷50的算法是之前探索过的数学问题，将悬而未决的数学问题再次提出来，运用本节课所学加以解决，是知识的迁移应用。把除法算式先化简再计算，使运算过程更简便，能够使学生更深刻地体会商不变规律的价值所在。在感受简捷运算的同时，进一步理解运算的道理，体会规律的价值，感受算法的多样化。】
2.计算下面各题，并与同伴进行交流。
【设计意图：商不变的规律从新知探索到巩固练习，这是学法的迁移，借助之前学过的算式帮助学生再一次感受规律探寻的必要性，在应用中深刻理解规律。】
3.请你举例说一说，商不变的规律在生活中有哪些应用。在你的身边，商不变能帮助你解决什么与除法有关的数学问题？
【设计意图：再次回归生活，到生活中去应用规律，借助学习的规律指导生活实践，使学生对规律的认识更加全面、丰富，培养学生用数学的眼光观察生活、解决现实问题的意识。】
四、全课总结，反思学情。
这节课探索发现了商不变的规律，你学得怎么样？我们经历了怎样的探究过程？还有什么困难？举例说一说。
【设计意图：课后总结与反思应该回归学生主体，充分展示学生学习的个性化感受，是 “四基”“四能”““情感、态度、价值观”目标是否达成教学的一个反馈良机，也有助于素养的形成。】
五、学情检测，改进教学。
1.根据第一个算式的结果直接写得数。
（1）480 ÷ 10 = 48 360 ÷ 30 = 12
（480÷2）÷（10÷2）= □ （360×□）÷（30×9）=12
（480÷5）÷（10÷5）= □ （360÷□）÷（30÷10）=12
（2）20÷5=4 16÷8=2
（20×6）÷（5×□）=4 （16×□）÷（8×3）=2
（20÷5）÷（5÷□）=4 （16÷□）÷（8÷4）=2
2.一捆铁丝有多少米？
【设计意图：此题解决问题的思路是开放性的，提高学生灵活应用知识解决实际问题的能力。】
【课后反思】
一、在规律探索中有意识地培养推理意识。
全课的学习充满着推理，为了有效地把推理意识落地在课堂教学中，本课学习策略的路径为：观察与比较、归纳与解释、关联与应用，三部分形成完整的闭环。
首先，鼓励学生仔细观察两组算式，根据素材进行充分的对比和分析，初步得出变与不变的猜想。在大胆猜想的基础上举例验证，通过反思、质疑修正，再不断完善，明晰怎样有规律的“变”才能产生“不变”。接着运用较为科学的语言归纳表述规律，并再次举例验证。最后应用规律解决问题或解释相关现象。在探究过程中，当学生对已有发现产生质疑，教师应鼓励学生用自己想到的方式去验证猜想，不断尝试、修正和完善自己的思考，使学生明确数学推理的一般路径。正是“观察发现——提出猜想——举例验证——得出结论——应用结论”的探究过程，给予学生观察、比较、操作、分析、综合、概括的机会，使得规律得以发现、生长、形成，有利于学生推理意识的发展和推理经验的积累。
二、在体系建构中发展运算能力。
本课应用规律部分充分联系与回顾前期学习，借助本课规律来解释之前学习中的“12个百”里有几个“4个百”的口算方法，感知除数是整十数的口算本质。在感受简捷运算的同时，进一步理解运算的道理，体会规律的价值，感受算法的多样化。如果出现（8÷9）÷（2÷9）＝4这样的例子，不仅能让学生再次感受到这个“相同的数”是除0以外的所有数，还能提前渗透分数的计算内容。商不变的规律作为桥梁，帮助学生架构起知识的体系，把已学的知识和后延的知识有效联系起来。
三、在层层递进的探索过程中发展模型意识。
本课在模型构建上经历了四个过程，首先创设情境，将模型原型情境化，然后通过观察比较，使得模型建立过程化，接着验证规律，将模型理解本质化，最后借由练习，使得模型应用生活化。
利用魔术情境引入，观察算式并类比仿写，然后观察比较几组算式，初步发现“被除数与除数都变了，商不变”的这一事实，为模型建构做准备。接下来，将数与形相结合，形成多种表征形式，通过学生之间充分的交流与辨析，尽可能地让学生经历模型建立的过程，进一步深入理解“商不变的规律”本质。通过举例验证这一规律是否对其他的除法算式也适用，完善规律，归纳出“商不变的规律”的文字模型。最后，用模型指导现实生活，巩固理解“商不变的规律”，也将规律用于解决实际问题，体会数学模型与现实生活的密切联系，发展学生的模型意识。

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