资源简介

人教版小学数学五年级下册素养达标教学设计
4.7 最大公因数
教学内容 人教版小学数学五年级下册教材P60.例1.2
教材分析 最大公因数这部分内容是在学生掌握了因数概念的基础上进行教学的，主要是为学习约分做准备。例题是求两个数的因数分别是多少，再从两个数的因数中找出公有的因数，从公有的因数中求最大的公因数，让学生懂得找公因数的基本方法。在此基础上，引入公因数和最大公因数的概念。为了加深理解，教材安排例2，可以进一步引导学生观察，分析讨论，让学生说明找两个数的公因数的方法。
学情分析 本册第二单元，学生已经理解了因数和倍数的意义，能用乘法算式、集合等方式列举出一个数的因数。因此用列举法找最大公因数没有困难。而利用因数关系、互质数关系找还有一定的难度。因为学生不易发现这两个数具有这些关系。
核心素养 培养学生数学的集合思想和类比能力。
学习目标 1.理解两个数的公因数和最大公因数的意义，能熟练地求两个数的最大公因数。 2.结合具体例题，培养学生观察、分析、抽象归纳等能力。 3.激发学生的学习积极性，发展积极的学科情感。
教学重点 理解求两个数的公因数和最大公因数的方法。
教学难点 探索两个数和它们的最大公因数的两类关系的规律（倍数、互质）。
教学方法 实践活动、自主观察、独立思考、合作交流及启发引导等。
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 师生双边活动 设计意图
一、 知识链接 以“引入1”为例。 师：同学们，我们一起来回顾一下倍数的知识，这道题谁是谁的倍数呢？ 生：84是7的倍数。 师：很好，那几是几的因数呢？ 生：7是84的因数。 师：大家一起来说一说，什么是因数？什么是倍数？ 生：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 师：所以同学们知道倍数和因数的关系是怎样的吗？ 生：相互依存。 师：非常好，同学们，你们知道什么是公因数吗？它应该怎么求呢？今天我们就一起来学习最大公因数的概念和求两个数的最大公因数。（板书课题） 通过复习倍数、因数等知识，由学生已有的知识经验入手，调动学生的积极性，利用已经学过的知识，迁移到新的知识，从而激发其学习兴趣，为后续学习“求最大公因数”做好准备。
二、 探究新知 一、公因数和最大公因数的意义 师：那么我们一起来找找8的因数有哪些呢？ 生：1，2，4，8。 师：很好，12的因数呢？ 生：1，2，3，4，6，12。 教师出示例1.8和12公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？ 师：刚刚我们找出了8和12的因数，那谁能告诉我8和12公有的因数是哪些？ 生：1，2，4。 师：刚才我们把8和12的因数列举出来找公因数的方法呢，就是列举法。那是否还有其他表示公因数的方法呢？ 师讲解：我们还可以把对应的因数写在集合中，这个时候两个集合会有重叠的部分，就像图中所示。那么中间重叠的部分就是8和12的公因数。大家知道重叠的部分要填什么吗？（出示课件） 生：1，2，4。 师：非常好，所以接下来两边不重叠的地方又是多少呢？ 学生自由回答。老师出示答案。 师：这种画图找重叠的方法叫作集合法。所以同学们知道8和12的公有的因数有哪些吗？ 生：1，2，4. 师讲解：我们把几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。所以1，2，4就是8和12的公因数。 师：很好，那8和12的最大公因数是多少呢？什么是最大公因数呢？我们在数学上把公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。所以你们知道8和12的最大公因数是几吗？ 生：4。 二、求两个数的最大公因数的方法 师：我们学完了最大公因数的概念，接下来分组讨论一下，想办法求18和27的最大公因数。（出示例2） 巡堂观察学生讨论情况，最后小组派代表回答讨论结果。 师：很好，根据同学们的结果，我们分成了两大方法，一种是列举法，先找出18和27各自的因数。18的因数有哪些呢？ 生：1，2，3，6，9，18。 师：很好，一定要找齐全喔，我们接下来找27的因数。 生：1，3，9，27。 师：非常好，所以18和27的公因数是哪些呢？ 生：1，3，9。 师：那最大公因数呢？ 生：9。 师：很好，这种一个个列举下来，最后找出最大公因数的方法，我们称之为列举法。那除了这种方法，我们还可以用筛选法。根据因数的特性，我们先找出两个数中较小的数的因数，也就是18的因数。18的因数有哪些？同学们再回答一下。 生：1，2，3，6，9，18。 师：很好，我们这时候再看18的因数中哪些是 27 的因数，并找出最大的那个。哪些是27的因数呢？ 生：1，3，9，是27的因数。 师：很好，那么在1，3，9中我们找最大的数字，就是18和27的最大公因数。除此以外，还有没有其他方法呢？ 师：我们还可以通过分解质因数的方法来求，18分解质因数等于多少乘多少呢？ 生：3×3×2。 师：很好，那么27分解质因数等于多少乘多少呢？ 生：3×3×3。 师：这时候我们可以看到，18和27都有两个3相乘，所以18和27的最大公因数就是3×3=9。而我们通常为了简便，就会写成右侧的形式。在短除号里面的数字用公有的质因数相除。例如18和27用公有的质因数3去除，剩下的商6和9再继续用质因数3去除，除到两个商只有公因数1为止。所以同学们这种方法求出来的最大公因数是几呢？ 生：3×3=9。 师：很好，右边的这种方法我们又称为短除法。请同学们先在草稿纸上试着用短除法计算 12 和 18 的最大公因数，再小组讨论一下短除法的特点。 巡堂观察学生讨论情况，最后小组派代表回答讨论结果。 出示答案和步骤，并让学生跟读一遍。 将两个数写在短除号中，用它们的除 1以外的公有的最小质因数作除数去除。 将除数写在短除号的左边，将商写在下面，再找商的除 1 以外的公有的最小质因数作除数继续去除，直到得到的商的公因数只有 1 为止。 将所有的除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。 三、探究两个数的公因数和它们的最大公因数的关系 师：同学们观察一下，两个数的公因数和它们的最大公因数之间有什么关系？ 生：1、2、4 都是 4 的因数；4 分别是 1、2、4 的倍数。 生：1、3、9 都是 9 的因数；9 分别是 1、3、9 的倍数。 师：很好，所以我们可以知道，两个数的公因数是它们最大公因数的因数；最大公因数是公因数的倍数。 四、小结 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。 公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。 求最大公因数的方法：列举法、筛选法、分解质因数法、短除法 六、做一做 1.把16和24的因数、公因数分别填入相应的位置，再圈出它们的最大公因数。（教材P61） 2.下面哪些数是12的因数而不是18的因数？哪些数是18的因数而不是12的因数？哪些数是12和18的公因数？（教材P61） 1 2 3 4 6 9 12 18 12的因数：1，2，3，4，6，12； 18的因数：1，2，3，6，9，18； 12和18的公因数：1，2，3，6。 3.找出下面每组数的最大公因数。你发现了什么？（教材P61） 4 和 8 12 和 36 1 和 7 4 12 1 8 和 9 5 和 11 12 和 35 1 1 1 发现：当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。当两个数的公因数只有 1 时，它们的最大公因数就是 1。 补充集合法让学生从小培养集合的概念，同时也借助图形加深学生对最大公因数的理解。除此之外，讲解多种方法求两个数的最大公因数，提高学生发散思维的能力。
三、 课堂演练 1.填空。（教材P63第1题） （1）10和15的公因数有__________________。 （2）14和49的公因数有__________________。 2.找出下面每组数的最大公因数。 3.在括号里写出各个分数中分子和分母的最大公因数。（教材P63第4题） （ 1 ） （ 4 ） （ 18 ） （ 3 ） （ 7 ） （ 11 ） 4.选一选。 （1）下面最大公因数最小的一组数是（ C ）。 A.16和48 B.100和2 C.89和90 （2）如果m=4n（m、n均为非零自然数），那么m和n最大公因数是（ B ）。 A.m B.n C.4 5.利用短除法形式，求出下面各组数的最大公因数。 （1）24 和 40 （2）30 和 45 6.按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。（教材P64第8题） （1）两个数都是质数：______和______。 （2）两个数都是合数：______和______。 （3）一个质数、一个合数：______和______。 答案不唯一，示例：（1）13；19；（2）20；21；（3）17；15 7.已知a = 2×3×5，b = 2×5×7，它们的公因数有（ 1，2，5，10 ），最大公因数是（ 10 ）。 主要是巩固课堂所学的知识，提升解决问题的能力。
四、 总结评价 1.课堂总结 2.素养评价 3.布置作业 （1）完成《分层作业》中对应练习。 （2）预习下一节内容。
板书设计 最大公因数 两个数公有的因数，叫作它们的公因数。其中，最大的公因数叫作它们的最大公因数。 两个数的公因数是它们最大公因数的因数，两个数的最大公因数是它们公因数的倍数。
课后作业 1.完成《分层作业》中对应练习； 2.预习下一节内容。
课后反思 本节课是在学生掌握了因数、倍数、找因数的基础上进行教学的。对于学生而言这节课并不难，因此在教学中，要给予学生充分自主学习的时间和空间，让学生在自主学习、小组讨论中，经历从概念到表象，再从表象到新的概念的过程。为了达成这节课的目的，我始终积极地调动学生的情感，启发他们主动参与，引导他们感知、理解，从而在脑海中形成系统的知识体系。

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