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第八章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
8.3.1 完全平方公式
1.会推导完全平方公式，理解公式的结构特征，并能正确利用公式进行乘法运算.
2.在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解完全平方公式的几何意义，感知数形结合的思想.
3.在探索完全平方公式的过程中，感悟从一般到特殊的研究问题的方法.
4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
重点：能够运用完全平方公式进行乘法计算
难点：掌握完全平方公式的推导过程和几何意义
（一）创设情境
情境：在一次数学课上，老师要求学生们计算如下正方形的面积。请结合我们已经学过多项式与多项式相乘的法则。在小组中合作讨论，算出如下正方形的面积：
边长为a且的正方形
在（1）中正方形的基础上，边长增加2
在（1）中正方形的基础上，边长增加b
预设答案：（1）；
；
.
回顾：多项式与多项式相乘的法则是什么？
师生活动：教师向学生介绍情景，引导学生在小组内讨论解法，可提示学生回顾之前所学的多项式乘法的内容，并借此引入本节内容
设计意图：将实际问题作为情景引入课题，从学生较为熟悉的面积和多项式计算入手，引入完全平方公式的内容，吸引学生学习的兴趣.
（二）探究新知
任务一：从多项式推导完全平方公式
思考：观察比较情境中列出的多项式乘法式子，你发现了什么规律？
规律：两个数的和的平方，恰好等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的二倍
合作探究：类比上述过程，计算，并尝试总结两个数的差的平方的计算规律
师生活动：教师组织学生进行合作探究并积极回答问题，培养学生自主思考的能力。该环节结束后可总结相关概念.
设计意图：教师组织学生积极参与互动，加深学生对完全平方公式的理解，培养学生自主思考总结的能力。
总结：
上面两个等式被称为完全平方公式.
完全平方公式的语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.
任务二：从几何推导完全平方公式
图 1
合作探究：观察上图，从图形面积的角度，写出图1中蕴含的等式：
其中，代表等号左侧大正方形的面积，分别代表两个小正方形的面积，代表两个长方形面积，运用几何图形面积割补法，得出完全平方和公式.
图 2
类比上述推导，写出图2中蕴含的等式：
师生活动：教师组织学生进行合作探究，从几何角度推导完全平方公式，从而加深学生对其几何意义的理解.
设计意图：教师组织通过类比自主思考，加强学生的类比能力和对完全平方公式的理解.
（三）应用举例
例1：利用乘法公式计算：
； ．
分析：利用完全平方公式进行计算即可.关键是识别公式中的a,b在具体式子中分别表示什么.
答案：解：
．
例2：利用乘法公式计算：.
分析：根据已经学过的积的乘方，可以将式子表示为，再利用完全平方和的公式进行计算即可.
答案：
思考：还有其他计算方法吗？直接把记为，把记为，代入完全平方公式计算.
例3：若，，则的值是______．
分析：本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．先把两边平方，展开得到，再把代入即可求解．
答案：解：，，即，，，
，故答案为．
例4：已知，求：．
分析：本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是能够熟练的运用完全平方公式的展开式解决问题，将两边同时平方后展开，即可求出的值；将展开，再套用的结论，即可得出结果．
答案：解：，．
，．
师生活动：教师带领学生分析解题思路，并尝试让学生自主解答，动手做一做后举手发言.
设计意图：通过4个不同的例题，进一步巩固本节学习的相关概念，加强学生对完全平方公式的理解和掌握，例1直接用完全平方公式进行计算，例2考察学生是否能够综合运用积的乘方运算和完全平方公式进行简化计算，例3和例4综合考察学生对完全平方公式的理解和熟练程度，用整体带入的思想解决问题，巩固学生对知识的掌握。经过这4个例题的练习，促进达成本节的知识目标，帮助学生回顾掌握.
（四）课堂练习
1.若是完全平方式，则的值为______．
【答案】或
【解析】考虑到完全平方式有两种形式，需要进行分类讨论。若为完全平方和公式，则；若为完全平方差公式，则；故答案为或
2.先化简再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．本题考查了整式的混合运算化简求值和完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.已知，求的值．
【答案】解：
可得，
故的值为.
【解析】本题主要考查的是完全平方公式的熟练运用。通过配凑法将等号左侧多项式化为完全平方式，再根据完全平方式非负的性质，可得，最后代入即可得到答案.
4.如图所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形．
按要求填空：
你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于______；
请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积：
方法：________；方法：__________
观察图，请写出代数式，，这三个代数式之间的等量关系：______；
根据题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值．
实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了______．
【答案】解：； ，；
，，，，
由可得
，；

【解析】观察可得阴影部分的正方形边长是；
方法：阴影部分的面积就等于边长为的小正方形的面积；方法：边长为的大正方形的面积减去个长为，宽为的长方形面积；
根据以上相同图形的面积相等可得；
根据可得、，利用中结论计算可得；
根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长为、一个边长为的正方形加上个长为、宽为的小长方形面积和列式可得．
本题考查了完全平方公式的几何意义，认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是关键．
师生活动：教师安排学生在课上或课后自主完成练习题目
设计意图：通过练习，巩固本节课所学概念，提高学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力.
总结归纳
1.本节课你学到了什么？
2.完全平方公式是什么？用语言如何叙述
3.完全平方公式是如何推导出来的？

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