资源简介

第七章 幂的运算
7.3同底数幂的除法
第1课时
本节课《同底数幂的除法》是苏科版初中数学七年级下册第七章第三节的第1课时的内容.在此前，学生已经掌握了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，为进一步学习同底数幂的除法做了很好的铺垫.这节课是以培养学生学习能力为重要内容，对进一步培养学生的逻辑思维能力有着重要意义.
本课教材通过创设实际问题情境，如人均水资源量，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入同底数幂除法的概念．这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解同底数幂除法的现实意义，激发他们的学习兴趣．在探索同底数幂除法法则的过程中，学生需要类比同底数幂乘法将复杂的幂运算转化为简单的指数相减问题，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力础，不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升．
学生在学习《同底数幂的除法》时，已经具备了一定的数学基础知识和运算能力，能够进行简单的整式乘法运算.但对于同底数幂的除法，学生可能会在理解同底数幂的除法性质的本质和运用同底数幂的除法性质进行计算时遇到困难.此外，学生的抽象思维能力和归纳总结能力还有待进一步提高.因此，在教学过程中，我将通过具体的实例引导学生思考，帮助他们理解和掌握同底数幂的除法法则.
1．了解同底数幂的除法运算性质，理解符号表示此性质的意义，体会模型思想，发展符号意识；
2. 会运用同底数幂的除法运算性质进行计算，做到步步有据；
3. 在探索同底数幂的除法运算性质的过程中，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法．
重点：会运用同底数幂的除法运算性质进行计算
难点：在探索同底数幂的除法运算性质的过程中，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法
情境导入
据统计，我国2021年水资源总量约为2.96×1012m3按全国 1.41×109人计算，人均水资源量为多少
答：人均水资源量为
==≈2.10×103（m3）.
所以，人均水资源量约为2.10×103m3．
师生活动：教师演示，学生倾听，独立思考．
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为推导同底数幂的除法法则埋下伏笔．
探究新知
活动一：探究同底数幂的除法运算性质
问题 计算：
（1）212÷29 ；
答：（1）解：原式=.
师引导学生：.
追问：，依据是什么？
生：除法是乘法的逆运算.
（2）;
答：（2）解：原式 .
.
（3）10m÷10n（m＞n ，m、n是正整数）.
答：（3）解：原式.
师生活动：第（1）题，教师演示，学生倾听，第（2）（3）题，学生模仿，类比完成，师生互动交流．
设计意图：借助乘方的意义，获得同底数幂的除法性质，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．同时借助除法是乘法的逆运算培养学生逆向思维，用已学知识解决新问题的能力．
师：从前边的计算中，你发现了什么？
生：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
师：你能类比同底数幂的乘法用字母表示出你的发现吗？
生： am÷an =am－n .
师追问：对这些字母有什么要求？
生：m＞n ，m、n是正整数.
师：除法有什么特殊要求？字母a有没有要求
生：除数不为零，a≠0.
师追问：你能验证吗？
生：am÷an (a≠0，m＞n，m、n是正整数)
活动二：探究同底数幂的除法运算性质
同底数幂的除法运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
用符号表示为：am ÷ an=am－n（a≠0，m＞n，m、n是正整数）．
师生活动：师指定学生回答案．
设计意图：通过同底数幂的除法性质培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
应用新知
例1 计算: (1)(－b)8÷(－b)； (2)a6÷(－a)2 ； (3)(ab)4÷(ab)2； (4)t2m+3÷t2(m是非负整数).
变式1 计算: (m－n)3÷ (n－m)2.
变式2 计算：277÷99.　　
　　答：例1 (1)(－b)8÷(－b)=(－b)8－1=(－b)7=－b7；
(2)a6÷(－a)2=a6÷a2=a6－2=a4；
(3)(ab)4÷(ab)2=(ab)4－2=(ab)2=a2b2；
(4)t2m+3÷t2=t2m+3－2=t2m+1.
变式1 原式=(m－n)3÷ (m－n)2 =(m－n)3－2= m－n　
师总结：运用同底数幂的除法运算性质的前提条件: 底数相同或互为相反数的幂相乘.特别地，当底数为多项式时，也必须满足这个条件.
变式2 原式=（33)7÷（32)9=321÷318=321－18=33=27 ．
师总结：应用同底数幂的除法运算性质时要保证底数相同.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用同底数幂的除法运算性质的前提：底数相同或互为相反数的幂相乘．特别地，当底数为多项式时，也必须满足这个条件．
课堂练习
【教材练习】
1. 计算：(1)315÷310；(2) ；(3)y13÷y2；
(4)(－a)4÷(－a)；(5)(－xy)5÷(xy)2；(6)a10n÷a2n(n是正整数).
2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正.
（1）a8÷a4 =a2; （ ）
（2）x10÷x9 =x; （ ）
（3）m5 ÷m =m5; （ ）
（4）(－z)6÷ (－z)4 = －z2 （ ）
答：1.(1)315÷310=315－10=35；
(2) ；
(3)y13÷y2=y13－2=y11；
(4)(－a)4÷(－a)=(－a)4－1=(－a)3=－a3；
(5)(－xy)5÷(xy)2=－(xy)5÷(xy)2=－(xy)5－2=－(xy)3=－x3y3；
(6)a10n÷a2n=a10n－2n=a8n.
2.（1）×，a4； （2）√； （3）×，m4； （4）×，z2.
【限时训练】
1.计算:(1) 279÷97÷3；(2) (a－b)6÷(b－a)3÷(a－b)2.
2.已知am=12,an=3,则am-n=____ .
3.已知am=3,an=2,求a2m－3n的值.
答：1.(1) 原式=(33)9÷(32)7÷3=327÷314÷3=327－14÷3=313÷3=312；
(2) 原式=(b－a)6÷(b－a)3÷(b－a)2=(b－a)6－3－2=b－a.
2.am-n=am÷an=12÷3=4.
3. a2m－3n=a2m÷a3n=(am)2÷(an)3=32÷23=1.125.
师生活动：学生独立完成，教师批阅，相互交流.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本节课《同底数幂的除法》的第一节课，课堂所需要掌握知识的重点和难点可以通过教师少许的启发和指点，通过学生的自主合作学习获得.所以am ÷ an=am－n（a≠0，m＞n，m、n是正整数），以学生为主体，师生合作.在选题上，从最基础的题练习起来，在学生全数掌握的前提下，逐步提升，给予中高难度的练习，力争85%以上的学生能够掌握.在情感调控上面,注重激情,着重在语言上做引导，对课堂进行有力的调控，从而保证学生旺盛的求知欲.第七章 幂的运算
7.3同底数幂的除法
第2课时
本节课的内容旨在扩展学生对指数运算的理解，特别是在同底数幂的除法运算上。教材接着引入了零指数和负整数指数的规定，这是理解同底数幂除法运算性质的关键点，同时也是学生可能会感到困惑的地方。为了帮助学生克服这一难点，教材通过具体的例子和丰富的练习题来加深学生的理解。教材的结构设计清晰，逐步引导学生从基础概念到更复杂的应用，这有助于学生逐步建立信心并掌握知识点。教材还注重培养学生的逻辑思维和批判性思维，鼓励学生通过讨论和交流来提高参与度和理解力。教师在教学过程中应利用这些特点，通过实例讲解和互动活动来提高教学效果.
此阶段的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的时期，他们具备了一定的观察、分析、归纳和推理能力.学生不容易对两个规定的合理性作出解释，因此教师需给与适当的指导.
1.理解并掌握零指数幂和负指数幂，并能解释其合理性.
2.掌握整数指数幂的运算性质，培养学生的数学运算核心素养.
3.能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算.
4.在对“规定”合理性做出解释的过程中，感受从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题的方法，学会数学思考、感悟理性精神.
重点：理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，并能解释其合理性.
难点：能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算.
复习导入
问题：同底数幂相除的运算性质是什么？
答：= (a≠0，m，n是正整数，m>n).
问题：现有一长方形，它的面积为平方厘米，长为厘米，那么它的宽是多少厘米呢？
答：解：==4（厘米）.
答：它的宽是4厘米.
教师追问：若m=n， = 成立吗？
师生活动：让学生自由回答，教师给与评价
设计意图：让学生在回顾上节课内容的同时，对本课内容有一个初步的感知，引发学生对本课内容的思考，有利于激发学生的学习兴趣，学生在头脑中建立全章的思维导图，形成体系．
探究新知
活动一：零指数幂
问题：若m=n， =？
当m=n时，am ÷an=1.
师提示：假设= (a≠0，m，n是正整数，m=n)成立，=？
答：am ÷an =am-n=am-m =a0，a0 =1(a≠0)
师小结：规定：任何不等于0的数的0次幂等于1.
用符号表示：a0 =1(a≠0).
现在可以在之前同底数幂的除法的运算法则的基础上，将同底数幂的除法的运算法则扩充为：
am ÷an =am-n（m,n是正整数，m≥n）.
师追问：若m＜n， = 成立吗？
师生活动：教师适当引导，学生独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：通过假设= (a≠0，m，n是正整数，m=n)让学生明白零指数幂的来由，理解并掌握零指数幂，进一步让学生明白，当m=n时，同底数幂的除法性质仍然成立.
活动二：负整数指数幂
问题：若m＜n， = 成立吗？
师提示：在式子am ÷an(a≠0)中,如果令m=0,那么a0÷an=？
答：a0÷an= =.
师继续提示：假设= (a≠0，m，n是正整数，m＜n)成立，a0÷an=？
答：=
师小结：=
规定：任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的倒数.
用符号表示为= (a≠0，n是正整数)
特别地：= (a≠0)
当幂的指数从正整数推广到整数后，正整数指数幂的各种运算法则仍然适用.
把积的乘方运算法则推广到商的乘方运算.
问题：若m＜n，你能推导出 = ？
答：当mam ÷an = = = =
规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后,同底数幂的除法运 算性质可以扩展为:
= (a≠0，m，n是正整数)
师生活动：学生独立思考，教师适当引导，然后指定学生回答.
设计意图：通过假设= (a≠0，m，n是正整数，m＜n)成立，让学生明白负整数指数幂的来由，理解并掌握负整数指数幂，进而将同底数幂的除法性质从正整数推广到整数.注意幂的指数从正整数推广到整数后，正整数指数幂的各种运算法则仍然适用
应用新知
例1 用小数或分数表示下列各数.
（1）； （2）； （3）3.14.
答：解：（1） ==；
（2）=-=-；
（3）3.14=3.14=3.14=0.000 0314.
例2 计算：(1) ； (2) .
解：(1) ；
.
师生活动：学生先独立计算，指定学生板演，教师予以一定评价.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
课堂练习
【教材练习】
1. 用小数或分数表示下列各数：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
2. 把下列各数写成负整数指数幂的形式：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
3. 计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
　　答：1.（1）10-3=0.001；（2）=0.0001;（3）；（4） =0.021.
　　2.（1）0.001=10-3;
（2）0.000001=10-6 ;
（3） = = 3-2 ;
（4）= =2-6.
　3.（1)=(-3)2+(-2)=(-3)0=1；
(2)==；
（3）=0.1+1=1.1；
（4）=1-=.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
　　【限时训练】
1. 如果(a-1)0=1成立，那么（ ）
A.a≠1 B.a=0 C.a=2 D.a=0或a=2
2. 若3n=2，3m=5，则32m+3n-1=____________
3.分别指出当x取何值时，下列各等式成立．
（1）＝2x (2) 10x＝0.01； (3) 0.1x＝100．
答案：
A
3.(1)x=-5；（2)x=-2；(3)x=-2.
归纳总结
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
基于上节课的学习 ，学生对于同底数幂的除法性质有一定的理解基础，通过假设当m=n,m＜n时同底数幂的除法性质成立，让学生明白和理解零指数幂和负整数指数幂，进一步将同底数幂的除法性质从正整数推广到整数.
本课时通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握解题方法.学生在解题时不容易理解两个规定，因此应该更多地让学生自己尝试解题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.通过做题巩固的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生正确理解本课知识点，并规范使用.第七章 幂的运算
7.3同底数幂的除法
第3课时
本节课是苏科版初中数学七年级下册第七章第三节第三课时，从知识体系上看，已学习正整数指数幂条件下的科学记数法、同底数幂的除法的运算法则及零指数幂和负指数幂的运算，本课时在科学记数法表示绝对值大于10的数及负指数幂相关知识的基础上进行拓展，学习用科学记数法表示绝对值小于1的数．
本课教材通过联系学生已有的对科学记数法相关认识——对比大数太阳半径及小数氢原子半径的科学记数法表示，引导学生在原有认知结构的基础上拓展科学记数法的更多使用情境，进而引入对绝对值小于1的数的科学记数法相关知识．本课通过类比、归纳的学习方式，利用熟悉内容减轻学生认知难度，帮助学生更好地进入新知识的认识.探索用科学记数法表示绝对值小于1的数的过程中，引导学生学会利用负指数幂表示绝对值小于1的数，学会用科学记数法表示数进行运算，最终在不同情境在灵活使用科学记数法，提高运算的准确性及表达的高效性，不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升．
学生已具备一定的知识基础和学习能力．学生在七年级上册已学习用科学记数法表示大数，已掌握正整数指数幂条件下的科学记数法，会使用科学记数法表示绝对值大于10的数.在本章中，学生又学习了同底数幂的除法的运算法则，并经历探索零指数幂和负指数幂的意义过程，了解负指数幂及其存在的条件，具备学习用科学记数法表示小数的知识及能力基础.
1. 会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
2. 经历将10的负整数幂与数互化的过程，体会数学知识间的相互联系.
3.熟练运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题，培养学生解决实际问题的能力
重点： 会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
难点：熟练运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题，培养学生解决实际问题的能力.
情境导入
问题1：太阳是地球所处太阳系的中心，其半径约为700 000 000m，如何用科学记数法表示数据700 000 000m呢？
答：700 000 000m =7×108m.
思考：什么情况会使用科学记数法？它的形式是怎样的？
答：一些较大的数适合用科学记数法表示.
用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数.
问题2：太阳中最丰富的元素是氢，氢原子的半径约为0.000 000 000 05m.数据0.000 000 000 05m也能用科学记数法表示吗？
一般地，用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数，规定了负整数指数幂后，对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数.
如何将数据0.000 000 000 05m表示为科学记数法形式呢？
师提示：你能将0.000 000 000 05m写成负整数数指数幂的形式吗？
生：0.000 000 000 05m=5×10-11m.
师：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示.
师生活动：教师展示情境，学生齐答，独立思考，举手回答．
设计意图：通过熟悉情境的设置，引导学生回顾科学记数法数，感受数学简洁高效之美，引导学生在原有知识基础上进行思考，为学习绝对值小于1的数的科学记数法表示埋下伏笔．
探究新知
活动：用科学记数法表示绝对值小于1的数
师小结：
小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10–n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n是正整数.
师出示例子：
0.000 01=10-5
0.000 000 01 = 10-8
0.000 000 025 7= 2.57×10–8
0. 000 0314= 3.14×10-5 .
问题1：填空并观察指数的变化，你有什么发现？
答：0；10，－1；100，－2；1000，－3；100…0（n个0），－n；
追问：
答：0.000 000 0035=3.5×0.000 000 001=3.5×10–9；
0.000 000 00107=1.07×0.000 000 001=1.07×10–9.
追问：用科学记数法表示绝对值小于1的数的一般步骤是什么呢？
答：(1)确定a：a 是大于或等于1 且小于10 的数.
(2)确定n：n 等于原数中左起第一个非0 数前“0”的个数(包括小数点前的那个0)；
(3)将原数绝对值用科学记数法表示为a×10－n，如是负数再添加负号.
师生活动：学生独立思考，举手回答，教师归纳总结．
设计意图：借助将10的负整数指数幂及科学记数法形式的数化成小数表示，并引导学生与原来的式子进行对比，感受绝对值小于1的数可以写成一个数与10的负整数指数幂的积的形式，也就是写成科学记数法形式，进一步掌握用科学记数法表示绝对值小于1 的数的一般步骤.
应用新知
例1 用科学记数法表示下列各数:
0.000 109, －0.000 006 2，.
变式 用小数表示下列各数：
－1.12×10-9，2×10-7，－8.013×10-8.
答： 0.000 109=1.09×0.000 1=1.09×10-4,
－0.000 006 2=－6.2×0.000 001=－6.2×10-6，
　
变式2 －1.12×10－9=－0.000 000 001 12，
2×10－7=0.000 000 2，
－8.013×10－8=－0.000 000 080 13 .
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生对科学记数法表示绝对值小于1 的数的转化能力．通过变式帮助学生灵活掌握原数与科学记数法形式间的转变．
　　例2 人体红细胞的截面可以近似地看成圆.在显微镜下测定某人红细胞的截面半径约为3.7×10－6m.求红细胞的截面面S(取3.14).
答：红细胞的截面面积约为
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯．创设应用情境，让学生结合科学计数法对幂的乘方运算法则等知识进行综合运用，提升学生计算能力及解决实际问题的能力．
例3 随着技术的发展，在芯片的硅晶片上雕刻的电路间距已经可以小到几纳米.纳米(记为nm)是长度单位，1nm等于1m的十亿分之一.请以毫米为长度单位表示1nm.
答：
师总结：刻度尺上的一小格是1mm，而1nm是1mm的百万分之一.所以1nm真的很小！
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：这个环节在科学记数法表示数的的基础上加入了单位的转换，让学生感受数学不仅来源于生活，服务于生活，还服务于科学，帮助人类更好的探究微观世界，体验到学习的乐趣和成功的喜悦．
课堂练习
【教材练习】
　　1. 用科学记数法表示下列各数:
　
　2. 用科学记数法表示下列结果，并比较它们的大小：
　(1)幽门螺杆菌是胃部疾病常见的感染性疾病源，其宽大约0.00005cm，换算成以米为单位是多少？
　(2)某国产手机芯片是7nm制程芯片，换算成以米为单位是多少？
　(3)是指大气中直径小于等于(是长度单位之一，表示微米.1=m)的细颗粒物，其直径不到人的头发直径的对人体健康有很大的危害.换算成以米为单位是多少
　答：1.
　2. ， ＜ ＜ .
　　【限时训练】
1. 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 000 036＝______________； （2）－0.000 273＝______________；
（3）－0.000 000 91＝______________； （4）0.000 000 007＝______________；
（5）－＝______________； （6）－＝______________．
2. 纳米是非常小的长度单位，已知1纳米＝毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是_______．
3. 氦气是一种重要的战略资源. 1亿个氦原子的质量约为7×10-16g，用科学记数法表示1个氦原子的质量（单位：g）.
答：1.（1） ；（2）－；（3）－；（4） ；（5）－； （6）－ .
　2. ；
　3.7×10-16÷108=7×10-24（g） ，
　答：1个氦原子的质量为7×10-24 g.
　　师生活动：学生独立完成，教师批阅.
　　设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
科学记数法广泛运用于科学研究、工程技术等领域，如生物、物理等研究中对微观世界的细胞、粒子等的探索。寻找有你有关的微观世界数据，记录下来并用科学记数法表示.
本课通过熟悉的用科学记数法表示绝对值大于1的数引入，帮助学生的回顾科学记数法的形式及a和n的限制条件，进而引出与其相关的氢原子半径如何表示的新问题.这种情境创设有助于学生自发地改善对某些数据的表达方式，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，让学生自己归纳出用科学记数法表示绝对值小于1的数，以增强学生探究和解决问题的能力及数学表达能力.
探究新知过程中，鼓励学生参与探索，利用已有知识自主探索出转化方式，让学生感受到一个非常小的正数可以写成一个数与10的负整数指数幂的积的形式，也就是写成科学记数法形式，加深学生对知识的理解.
学生在解题时容易数错0的个数及放错小数点的位置，因此应该更多地让学生自己多尝试多归纳，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的熟练度及准确性.通过归纳总结，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生综合且灵活运用科学记数法对数据进行表达.

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