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第七章 幂的运算
数学探究：“大”数与“小”数
本节课《“大”数与“小”数》是苏科版初中数学七年级下册第七章数学探究，具有画龙点睛的重要作用．从知识体系上看，“大数与小数”这一章节主要围绕“大”数和“小”数的概念、比较、运算及实际应用展开.通过本章的学习，学生将进一步理解和掌握“大”数和“小”数的相关知识，提高数学运算能力和问题解决能力．
本课教材通过创设实际问题情境，如与人体的相关数据、与地球有关的相关数据等，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而感受生活中的“大”数和“小”数，激发他们的学习兴趣．在探索“大”数和“小”数的过程中，学生需要利用相关幂的运算进行操作，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，不仅让学生感受生活中的“大”数和“小”数，而且还注重了学生数学素养的全面提升．
学生已经学习了整个第七章的内容，已具备一定的知识基础和学习能力．掌握了同底数幂的乘除运算，为学生运用生活中的“大”数和“小”数解决实际问题提供了知识支撑．
1.掌握“大”数与“小”数的运算规则，包括加、减、乘、除等基本运算，提高运算能力 .
2.能够解决与“大”数与“小”数相关的实际问题，培养学生解决问题的能力.
3.激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生的数学素养. 培养学生的认真、细致的学习态度，以及以及勇于探索、敢于创新的精神.
重点： 掌握“大”数与“小”数的运算规则，包括加、减、乘、除等基本运算，提高运算能力 .
难点：能够解决与“大”数与“小”数相关的实际问题，培养学生解决问题的能力.
情境导入。
问题：从下列图片中你能发现哪些“大”数？
答：像4.96×1012、3兆、60亿等都属于生活中的“大”数；
问题：从下列图片中你能发现哪些“小”数？
答：像50μm，3.4nm，2nm等都属于生活中的“小”数."小"数一般指的是数值较小的数。
涉及单位换算：1兆=1012； 1亿=108； 1nm=10-9m； 1μm=10-6m
师生活动： 教师呈现图片，引导学生用数学的眼光观察这几幅图片，感知生活中的数学，同时感受与身体相关的一些数据，梳理本章所学的幂的相关计算和单位换算.
设计意图：让学生从这些图片中感知“大”数和“小”数.给学生提供了探索的空间、营造了活动的氛围、激发了活动的兴趣,让学生感受数学在不同领域的生活中都有着很重要的作用，从而激发学生的求知欲。
探究新知
活动一 与人体相关的“大”数和“小”数
细胞中DNA（脱氧核糖核酸）分子的直径只有2×10-7cm.人体由约40万亿到60万亿个细胞构成，不同类型的细胞具有特定功能.每2.54平方厘米的人体皮肤上约有3200万个细胞，人体皮肤不断进行细胞新陈代谢,每天有约5000万个皮肤细胞脱落.按平均重量计算,这些脱落的皮肤细胞每天大约重10克.
问题:根据上述材料你能发现哪些“小”数，你能计算出一个皮肤细胞的重量吗？
答：2×10-7cm是一个“小”数，
10÷（5000×104）=2×10-7（克）.
答：一个皮肤细胞的重量为2×10-7克.
小结：人体中细胞中DNA分子直径和一个皮肤细胞的重量都是“小”数.
问题：成人大脑约有1.4×1010个细胞，婴儿的脑细胞以每分钟约2.0×105个的惊人速度递增，一般到8岁可达到成人脑细胞数量.一年约有5.256×105min，你能估测出儿童7岁时大脑的脑细胞数量吗？
答：解：2.0×105×5.256×105×7=7.3584×1011（个）
答：儿童7岁时大脑的脑细胞数量约为7.3584×1011个.
问题：正常成年人在安静状态下，每分钟心跳约60~100次；心脏每天跳动大约10万次，射出的血大约7600升（也有说法认为心脏每天要输送7.6万升血液），一生中心脏大约要跳动20亿~30亿次，送大约5亿升血液.人体血液总量约占体重的7%~8%，一个成年人体内约有4.5升血液.在人体血液中红细胞直径约为7.7×10-4cm，每立方毫米血液里约有5×106个红细胞.你能估计一个成人体内约有多少个红细胞？
答：1L=1000000mm3=106mm3
4.5×106×5×106=2.25×1013 （个）
答：一个成人体内约有2.25×1013 个红细胞.
师小结：用科学计数法可以表示“大”数和“小”数.
师生活动：教师呈现与人体有关的材料，让学生阅读材料，尝试解决问题1、问题2和问题3,让学生感受与人体有关中的“大”数和“小”数。同时也是引导学生回顾和复习幂的运算及用科学记数法表示一个“大”数和“小”数的方法.
设计意图：每一个材料匹配一个问题，让学生更容易消化和吸收。问题1中涉及的是一个“小”数，问题2中涉及的是一个“大”数，问题3设计的是“大”数与“小”数的综合，让学生对“大”数和“小”数加深印象后，再进行综合训练，具有一定的梯度.
活动二 与地球相关的“大”数和“小”数
问题：我们生活的地球已有大约46亿年的历史，它的部分信息如下表，
你能讲表格补充完整吗（用科学记数法表示）？
答：地球的体积为.14×=1.083×1021（m3）
陆地面积：5.1×1014×0.29=1.479×1014（m2）
海洋面积：5.1×1014×0.71=3.621×1014（m2）
地球的密度为5.976×1024÷（1.083×1021）=5.518g/cm3。
师生活动：体积计算，教师演示，学生倾听，后面几个小问，学生模仿，类比完成，师生互动交流．尤其是平均密度计算，需要特别注意。
设计意图：借助幂的运算和科学记数法，引导学生进行复杂问题的计算，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
课堂练习
1. 水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子.一个氢原子的质量约为1.674×10-27kg，一个氧原子的质量约为2.657×10-26kg，一个水分子的质量大约是多少（单位：kg）？
答：∵一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子.
∴一个水分子的质量： 2×1.674×10-27+2.657×10-26≈2.9918×10-26(kg).
答：一个水分子的质量大约是2.9918×10-26kg.
变式：100g的水中会有多少个水分子呢？
答：100×10-3÷（2.9918×10-26）≈3.342×1024（个）
答：100g的水中约有3.342×1024个水分子.
2. 地球的半径约为6.37×103km，太阳的半径约为6.96×105km，恒星HR237的半径约为太阳的1800倍.
(1)太阳体积约是地球的多少倍？
(2)恒星HR237的体积约是太阳的多少倍？
答：（1）：
π×÷÷π÷≈1.305×106.
答：太阳体积约是地球的1.305×106倍.
18003=5832000000=5.832×109.
答：恒星HR237的体积约是太阳的5.832×109倍.
　　【限时训练】
　　1.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000005克．
（1）用科学记数法表示上述两个数据．
（2）一个鸡蛋的质量大约是50克，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等？
答：(1)0.021=2.1×10-2; 0.000005=5×10-6.
大约50÷（5×10-6）=107（只）
答：107只蜂卵的质量和这个鸡蛋的质量相等.
2.生物芯片是20世纪80年代末在生命科学领域中迅速发展起来的一项高新技术，通俗地说就是在一块指甲大小的芯片上集成大量晶体管，构成一个微型的生物化学分析系统，以实现对生物样品准确、迅速、大信息量的检测，已知一块边长1.03cm×1.03cm的某种芯片上集成了1.53×1010个晶体管，求每个晶体管所占的面积．
答：每个晶体管所占的面积为：1.03×1.03÷（1.53×1010）=6.94×10-11 cm2.
3.距离太阳系最近的恒星是比邻星，它距地球约4.25光年，光在真空中的速度为3×108m/s,光在真空中穿行1年的距离称为1光年.如果一个探测器以6.4×104km/h的平均速度飞往比邻星，那么大约需要多少年？
答：因为1m/s=3.6km/h.
所以1光年=3×108×3.6×365×24km=9.4608×1012km
因为速度为6.4×104km/h，
9.4608×1012÷（6.4×104）÷24÷365≈1.6875×104（年）
答：大约需要1.6875×104年。
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.让学生再次感受生活中的大数和小数.
归纳总结
设计意图：通过小结让学生进一步感受生活中的“大”数和“小”数.
实践作业
寻找生活中的“大”数和“小”数，记录下来和同学进行分享.
学生对“大”数与“小”数的幂运算存在理解差异，部分学生在计算大数幂时较为熟练，但在处理小数幂或分数幂时却频繁出错，这反映出学生对幂运算的本质理解不够深入，在今后教学中，应加强学生对幂运算基本概念和运算规律的掌握，通过更多实例练习，特别是涉及小数和分数幂的题目，来提升学生的运算能力和对幂运算的全面理解.

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