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第八讲 ：公因数与公倍数
知识精讲
短除法.
公因数就是几个数公共的因数，其中最大的一个称为最大公因数；公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.特别的，1为所有数的公因数.
1、2、3和6都是24和30的公因数，6是最大公因数.可以发现1，2，3和6都是6的因数.
12和18的公倍数有36,72,108,…36是最小公倍数.可以发现36,72,108及其他公倍数都是36的倍数.
通常，我们把两个数a,b的最大公因数记为(a，b)；a，b的最小公倍数记作[a，b].三个数a,b,c的最大公因数记为(a，b，c)；a，b，c的最小公倍数记作[a，b，c].如：14和21的最大公因数是7,记作：；14和21的最小公倍数是42，记作：[14，21]=42.15，10，21的最大公因数是1，记作：；15，10，21的最小公倍数是210，记作[15，10，21]=210.
若两个数互质，那么它们的最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积；若两个数成倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小的那个数，最小公倍数就是较大的那个数.
在现实生活中我们常常会用到几个数的最大公因数和最小公倍数，那么我们怎样来求几个数的最大公因数和最小公倍数呢 除了直接枚举之外，最常用的方法是“短除法”.
分解质因数法.
分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成.
公因数与公倍数的应用.
学习了如何求公因数与公倍数，接下来看一下在实际生活中如何运用公因数与公倍数解决问题.
题型汇总
题型一：短除法求最大公因数与最小公倍数
1．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数．
45和9 24和16
【答案】
45和9的最大公因数是3×3＝9．
45和9的最小公倍数是3×3×5×1＝45．
24和16的最大公因数是2×2×2＝8．
24和16的最小公倍数是2×2×2×3×2＝48．
2．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
36和54 19和57
【答案】
36和54的最大公因数是2×3×3＝18，最小公倍数是2×3×3×2×3＝108．
19和57的最大公因数是19，最小公倍数是19×3＝57．
题型二：分解质因数法求最大公因数与最小公倍数
1．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
6和18
18和24
35和84
【答案】6；18；
6；72；
7；420；
【分析】两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答；同时考查了求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数。
【详解】6和18是倍数关系，最大公因数是6，最小公倍数是18；
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
最大公因数6，最小公倍数72；
35＝5×7
84＝2×2×3×7
最大公因数7，最小公倍数420。
【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的知识点，根据定义仔细解答即可。
2．写出下面每组数的最小公倍数和最大公因数：
20和30 65和39 8和6 7和11 60和12．
【答案】①20=2×2×5
30=2×3×5
最大公约数是2×5=10
最小公倍数是2×2×5×3=60
②65=5×13
39=3×13
最大公因数是13
最小公倍数是3×5×13=195
③8=2×2×2，6=2×3
最大公因数是2
最小公倍数是2×2×2×3=24
④7和11是互质数
最大公因数是1
最小公倍数是7×11=77
⑤60是12的倍数
最大公因数是12
最小公倍数是60．
【详解】试题分析：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．
解：①20=2×2×5
30=2×3×5
最大公约数是2×5=10
最小公倍数是2×2×5×3=60
②65=5×13
39=3×13
最大公因数是13
最小公倍数是3×5×13=195
③8=2×2×2，6=2×3
最大公因数是2
最小公倍数是2×2×2×3=24
④7和11是互质数
最大公因数是1
最小公倍数是7×11=77
⑤60是12的倍数
最大公因数是12
最小公倍数是60．
【点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．
题型三：公因数与公倍数的实际应用
1．淘气和笑笑都很喜欢阅读。淘气每3天去一次图书馆，笑笑每4天去一次图书馆。5月31日他们一起去了图书馆，那么6月份有哪几天他们都去了图书馆？
【答案】6月12日和6月24日
【分析】因为6月份有30天，分别列出3和4的倍数，找出它们在30以内的公倍数，也就是它们间隔多少天两人又同时去图书馆，据此解题即可。
【详解】3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27…
4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28…
所以30以内的3和4的公倍数有12和24，
5月31日＋12天＝6月12日
5月31日＋24天＝6月24日
答：6月份的6月12日、6月24日他们都去了图书馆。
【点睛】此题考查用求公倍数的方法解决生活中的实际问题，注意结合题目的实际，在特定范围内求公倍数。
2．甲、乙、丙三人定期去图书馆，甲每8天（中间空7天，下同）去一次，乙每6天、丙每4天各去一次，在2月份的最后一天，三人刚好都去了图书馆。那么从3月1日到12月31日，甲、乙、丙三人中有人去图书馆的日子有多少天？
【答案】102天
【分析】甲每8天去一次，丙每4天各去一次，因此甲去图书馆的日子丙肯定去图书馆，所以直接计算丙去图书馆的日子，不用考虑甲的次数；然后计算乙去图书馆的天数，最后算总天数的时候要注意减去乙、丙共去的天数即可。
【详解】总天数：31＋30＋31＋30＋31＋31＋30＋31＋30＋31＝306（天）
306÷4＝76（天）……2（天）
306÷6＝51（天）
[4，6]＝12
306÷12＝25（天）……6（天）
76＋51－25
＝127－25
＝102（天）
答：甲、乙、丙三人中有人去图书馆的日子有102天。
题型四：公因数与公倍数中的植树问题
1．长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？
【答案】根
【分析】根据题意，画出涂色示意图如下；由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点。而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得一个短木棍，故4厘米的短木棍共有：（根）。
【详解】画出涂色示意图如下：
可知，每（5×6）厘米里可以锯2个4厘米的短木棍；
100÷30＝3（个）……10（厘米）
剩下的10厘米还可以锯出1个4厘米长的短木棍。
2×3＋1＝7（根）
答：长度是4厘米的短木棍有7根。
【点睛】由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点，这是解题的关键。画涂色示意图发现，这是一个周期为5与6最小公倍数的周期问题。
2．在一根长100厘米的木棍上，从左到右每隔6厘米染上一个红点，同时从右到左每隔5厘米也染上一个红点，然后在红点处把木棍逐段锯开，那么长度为2厘米的短木棍有多少根？
【答案】6根
【分析】因为100能被5整除，所以从右到左每隔5厘米染上一个红点也可以看作是自左至右每隔5厘米染上一个红点，于是我们可以看作是从同一端点开始染色，6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，染两次红色，这样染色就会出现循环，每一周期的长度是30厘米；100÷30＝…3（个）……10（米），共有3个周期余10米，每一周期中有2段长度为2厘米的木棍，如第1周期中，6×2﹣5×2＝2（厘米），5×4﹣6×3＝2（厘米）；剩余10厘米中两个红点之间的长度都不是2厘米，所以锯开后长度2厘米的短木棍共有2×3＝6（根）；据此即可解答。
【详解】100÷30＝…3（个）……10（米）
2×3＝6（根）
答：长度为2厘米的短木棍有6根。
【点睛】解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易。
跟踪训练
一、选择题
1．36是2和18的（ ）。
A．公倍数 B．公因数 C．最小公倍数 D．最大公因数
2．一个比20小的偶数，它有因数3，又是4的倍数（ ）。
A．12 B．16 C．15 D．18
3．多功能教室长12米，宽8米，计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且恰好铺满，方砖的边长可以是（ ）。
A．70厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．90厘米
4．一筐鸡蛋，2个2个地数、3个3个地数、4个4个地数、5个5个地数，都正好数完而没有剩余，这筐鸡蛋最少有( )个．
A．30 B．60 C．120 D．90
5．甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（ ）
A．6月12日 B．6月13日 C．6月24日 D．6月25日
二、填空题
6．两个数的最大公因数是18，这两个数的公因数有( )。
7．12和18的最小公倍数与最大公因数的差是 。
8．甲、乙两数的最大公因数是8，甲＞乙，但甲不是乙的倍数。若甲＋乙＝80，那么甲、乙的差是 。
9．两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，如果其中一个数是24，则另一个数是( )．
10．m、n是非零自然数，如果m=n+1,那么m和n的最小公倍数是( )，如果m=7n，那么m和7的最大公因数是( )．
三、计算题
11．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数．
24和16 32 和63 35和28
四、解答题
12．五（1）班的学生人数比40人多，比60人少，每7人一小组正好分完，每8人一小组也正好分完，五（1）班有多少人？
13．淘气和笑笑都很喜欢阅读。淘气每3天去一次图书馆，笑笑每4天去一次图书馆。5月31日他们一起去了图书馆，那么6月份有哪几天他们都去了图书馆？
14．朱老师拿了一摞练习本，如果平均分给第一小组的5个同学，可以正好分完；如果平均分给第二小组的8个同学，也可以正好分完。这摞练习本至少有多少本？
15．已知自然数、满足以下两个性质：⑴ 、不互素；⑵、的最大公约数与最小公倍数之和为35．那么+的最小值是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】36＝2×18，36是2的倍数、也是18的倍数，所以36是2和18的公倍数，据此解答即可。
【详解】因为，所以36是2和18的公倍数。
故答案为：
【点睛】本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系。
2．A
【分析】根据偶数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，又因为它有因数3，又是4的倍数，首先找出20以内3、4的倍数，进而找出的它们的公倍数，解答即可。
【详解】20以内3的倍数有：3、6、9、12、15、18；
20以内4的倍数有：4、8、12、16、20；
所以20以内既有因数3，又是4的倍数的数是12。
故答案为：A
【点睛】此题考查的目的是理解倍数、公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数的方法。
3．B
【分析】如果都用整块的方砖，且恰好铺满，应先找到12和8的公因数，它们的公因数应该是方砖边长的倍数。
【详解】12和8的公因数有1、2、4，所以边长的若干倍是1米、2米、4米即100厘米、200厘米、400厘米，当边长是80厘米时，400能被80整除，400÷80＝5，也就是都使用整块的方砖，且恰好铺满。
故答案为：B
【点睛】本题还可以先统一单位，然后用长、宽同时除以每一个选项，如果没有余数，就是所求答案。
4．B
【详解】略
5．B
【分析】根据题意，是求3、4、6的最小公倍数，就是求4、6的最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数，然后进行推算日期即可．此题属于求最小公倍数问题，求3个数的最小公倍数，利用分解质因数的方法，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数．
【详解】解：把4、6分解质因数：
4=2×2；
6=2×3；
~4、6的最小公倍数是：2×2×3=12；
他们再过12天同去少年宫；
1+12=13（日），即6月13日．
故选B．
6．1，2，3，6，9，18
【分析】根据公因数的意义可知两个数的公因数即为最大公因数18的因数，只要找出18的因数即可。
【详解】18的因数：1、2、3、6、9、18。
【点睛】此题主要考查学生对最大公因数的理解与认识。
7．30
【分析】用质因数分解法求最大公因数： 全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。
用质因数分解法求最小公倍数的方法： 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
先分别求出12和18的最小公倍数与最大公因数，用最小公倍数减最大公因数即可解答。
【详解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6
2×3×2×3＝6×6＝36
36－6＝30
12和18的最小公倍数与最大公因数的差是30。
8．32
【分析】甲、乙两数的最大公因数是8，则甲是8的倍数，乙也是8的倍数。可以设甲是8，乙是8，且m和n互质。再根据8m＋8n＝80，得出m和n的和是10，找出和是10的两个自然数，且这两个数互质，就是m和n的值，再乘8得出甲乙两个数的值，最后相减即可。
【详解】设甲是8，乙是8（，互质）
甲＋乙＝8＋8＝80
＋＝10
10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5，只有3＋7符合条件。
所以甲＝8×3＝24
乙＝8×7＝56
56－24＝32
则甲、乙的差是32。
9．36
【详解】略
10． mn 7
【详解】略
11．8和48 32和64 7和140
【详解】略
12．56人
【分析】先求出7、8的最小公倍数，再找到7、8的公倍数在40人到60人以内的最多的数即为所求。
【详解】7、8是一组互质数，所以它们的最小公倍数是7×8＝56
答：五（1）班有56人。
【点睛】此题考查了公倍数问题，解答该题关键是会求两个数的最小公倍数，并用它解决实际问题。
13．6月12日和6月24日
【分析】因为6月份有30天，分别列出3和4的倍数，找出它们在30以内的公倍数，也就是它们间隔多少天两人又同时去图书馆，据此解题即可。
【详解】3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27…
4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28…
所以30以内的3和4的公倍数有12和24，
5月31日＋12天＝6月12日
5月31日＋24天＝6月24日
答：6月份的6月12日、6月24日他们都去了图书馆。
【点睛】此题考查用求公倍数的方法解决生活中的实际问题，注意结合题目的实际，在特定范围内求公倍数。
14．40本
【详解】5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40……
8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64……
5和8共同的倍数中最小的是40。
答：这摞练习本至少有40本。
15．25
【详解】因为、的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数．它们的最大公约数可能是5和7（因为两数不互质，所以不为1）．如果、的最大公约数是5，则、的最小公倍数是30，此时有=10、=15或=5、=30；如果、地最大公约数是7，则、的最小公倍数是28，此时有=7、=28．
所以＋的最小值为．
【点睛】、的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数．充分应用最大公约数与最小公倍数的关系，并分类讨论多种可能性，考察推理思维的周密性和严谨性，最终找到最小值．
答案第1页，共2页
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