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第二讲 ：因数与倍数上
知识精讲
因数与倍数的定义.
因数和倍数的定义：对整数a和,如果a|b,我们就称a是b的因数，b是a的倍数.
在算式中，24是4和6的倍数，4和6是24的因数。根据定义，我们很容易找到一个数的所有因数，例如12:因为,可知12可以被12,3,4,6,12整除，那么它的因数有1,2,3,4,6,12,共6个.
找一个数的因数的方法，可以列乘法算式，从1开始一对一对地找。一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是这个数本身.
找一个数的倍数的方法，用这个数和任意一个自然数(不为0)相乘，所得的乘积就是这个数的倍数。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数就是这个数本身.
从上面“12”的分拆可以看出，因数具有“成对出现”的特征，也就是：最大因数对应最小因数，第二大因数对应第二小因数等。所以在写一个数的所有因数时，可以逐对写出.另外如果计算较大因数不太方便，可以转而计算与其成对的较小因数.
质数与合数的定义.
什么是质数 什么是合数
找出1~20各数的因数并观察它们因数个数的规律，我们会发现有些数只有1和它本身两个因数，比如,,…像这样的只有1和它本身两个因数的数，叫做质数(素数).
还有一些数，除了1和它本身还有其他因数，比如,还有…像这样的除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数.注意：1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4.
题型汇总
题型一：因数与倍数的认识
1．甲数3＝乙数（甲、乙数为非零自然数），乙数是甲数的（ ）。
A．倍数 B．因数
C．既是倍数，也是因数 D．无法确定
【答案】A
【分析】一个整数能被另一个整数整除，则这个数就是另一个数的倍数，另一个数就是这个数的因数。据此可得出答案。
【详解】甲数3＝乙数（甲、乙数为非零自然数），则乙数÷甲数＝3，即乙数能被甲数整除，乙数是甲数的倍数。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查的是因数、倍数的判定，解题的关键是熟练运用因数、倍数的概念，进而得出答案。
2．根据m×6＝n（m、n均为非0自然数），下面说法正确的是（ ）。
A．m是6的因数 B．m是n的倍数 C．n是m的倍数 D．n是6的因数
【答案】C
【分析】如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然数），那么b，c就是a的因数，a就是b，c的倍数。因为m×6＝n（m、n均为非0自然数），所以n是m的倍数，n是6的倍数，m是n的因数，6是n的因数。
【详解】A．由m×6＝n（m、n均为非0自然数），不能说明m是6的因数，A选项错误。
B．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，m是n的因数，B选项错误。
C．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，n是m的倍数，C选项正确。
D．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，n是6的倍数，D选项错误。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
题型二：质数与合数的认识
1．若=2（为大于0的整数），那么一定是（ ）。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
【答案】D
【解析】根据题意可知=2（为大于0的整数），则是2的倍数，那么能整除2，和偶数的概念相符，根据此可以得出答案。
【详解】已知=2（为大于0的整数），所以是偶数，故答案为：D
【点睛】本题考查质数、合数、奇数、偶数的概念，再根据他们的特征进行判断。
2．如果a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】因为41是奇数，只有奇数加偶数和才为奇数，且3、7、a，b均为质数，所以a，b中必有一个是2。假设a＝2，把a＝2代入3a＋7b＝41中求出b＝5，所以a＋b＝7。
【详解】假设a＝2，把a＝2代入3a＋7b＝41中，
3×2＋7b＝41
6＋7b＝41
7b＝35
b＝5
a＋b＝7
故答案为：C。
【点睛】完成本题首先要明白偶数＋奇数＝奇数。
题型三：因数与倍数的应用
1．黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是 。
【答案】64
【分析】根据因数和倍数的意义，a、b、c是不为0的自然数，当a×b＝c时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。如8＝1×8＝2×4，8的因数就有1、8、2、4，共4个。一个数的因数总是成对出现的，因数的个数一般是偶数个；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有1、16、2、8、4共5个，因为16＝4×4＝42，16因数的个数是奇数个。当一个数能表示成某个整数的平方的形式时，它的因数的个数是奇数个。据此解答即可。
【详解】16是这个数的因数，16的因数也一定是这个数的因数。16的因数有1、2、4、8、16共5个。16是这个数的因数，这个数就是16的倍数。当16的倍数中，16×4＝64＝82，64的因数有1、2、4、8、16、32、64，共7个因数。因此这个自然数是64。
【点睛】本题考查的是因数和倍数的意义，明确这个数是某个整数的平方是解题的关键。
2．144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有 种分法。
【答案】7
【分析】根据题意可知，橘子的总数＝份数×每份的数量，因为份数和每份的数量都是整数，所以将144拆分为2个整数相乘，据此列举出所有可能，再找到符合10~100的范围内的数。
【详解】144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12
符合题意的有：72、48、36、24、18、16、12，共7种分法。
【点睛】解答本题的关键是每份橘子的个数是整数，然后一一列举出所有可能。
题型四：质数与合数的应用
1．有两个质数，它们的和是小于40的奇数，且是5的倍数。这两个质数的积可能是多少？
【答案】6、26或46
【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。
【详解】2＋3＝5
2＋13＝15
2＋23＝25
2×3＝6
2×13＝26
2×23＝46
答：这两个质数的积可能是6、26或46。
【点睛】关键是通过奇数和5的倍数确定这两个质数的和，再确定这两个质数。
2．如果，且a、b、c是不同的质数（b＜c），那么a、b、c各代表多少？写出分析过程。
【答案】a是17；b是2；c是11
【分析】221是a与（b＋c）的积，先将221写成两个数相乘的形式，即221＝13×17，因为b与c的和为奇数，所以b和c一个为奇数一个为偶数，a、b、c是不同的质数，且2是唯一的偶质数，则b和c中有一个数为2，据此求出a、b、c的值。
【详解】分析可知，221＝13×17，b和c中有一个数为2。
当a＝13时，17－2＝15，15不是质数，所以不符合题意；
当a＝17时，13－2＝11，11是质数且b＜c，所以a为17，b为2，c为11。
答：a代表17，b代表2，c代表11。
【点睛】把221分解为两个数相乘的积，再根据b、c之间的关系求出a、b、c的值是解答题目的关键。
跟踪训练
一、选择题
1．小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（ ）元。
A．38元 B．25元 C．100元 D．36元
2．一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（ ）。
A．18 B．19 C．20 D．10
3．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（ ）。
A．10 B．12 C．16 D．28
4．已知都是大于0的自然数），那么下面各种说法，正确的是（ ）。
A．a是倍数 B．b是因数 C．c是因数 D．b，c都是a的因数
5．任意给出三个不同的自然数，其中一定有2个数的和是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
6．小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除．那么，反面上的三个数的平均数是（　　）
A．40 B．39 C．16 D．12
二、填空题
7．一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是( )。
8．某排战士发装备，一共有30套军装，71个水壶和79双军鞋，每个战士拿的一样多，最后一共剩下19件物品没有发出去。那么一共有( )名战士。
9．一个正整数n，若它的所有因数中最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是100，则n的值为( )。
10．“三八”女神节那天，爸爸给妈妈买了一束鲜花，共花93元，其中康乃馨3元/枝，玫瑰5元/枝，狐尾百合10元/枝。这束花中玫瑰的枝数是最大的一位数，狐尾百合的枝数为奇数，康乃馨应为( )枝。
11．一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36米，这块长方形菜地的面积是( )平方米。
12．有两个质数，它们的和是合数，差是质数，并且和是差的6倍，这两个质数是( )和( )。
13．一个运算程序，运算规则如图，如果输入23，那么结果是( )；如果输入了一个数，结果是66，那么这个数是( )。
三、解答题
14．一个长方形的周长是36米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是多少？
15．一个三位质数，各位数字也是质数且互不相同，个位数字等于前两位数字的和，这个质数是多少？
16．一个质数的6倍与另一个质数的6倍的和是180，这两个质数分别是多少？
17．三个不同的质数之和是50，写出这三个质数。
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】如果小明只有1张5元和1张1元的纸币，那么小明一共有（5＋1）元，现在小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，说明小明的总钱数是6的倍数，只要找到是6的倍数的数即可。
【详解】A．38÷6不能整除，所以38不是6的倍数，不符合题意；
B．25÷6不能整除，所以25不是6的倍数，不符合题意；
C．100÷6不能整除，所以100不是6的倍数，不符合题意；
D．36÷6＝6，所以36是6的倍数，符合题意。
因此小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有36元。
故答案为：D
【点睛】此题考查了倍数的应用，明确总钱数是6的倍数是解决本题的关键。
2．D
【分析】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此20应该是这个数的2倍，据此解答。
【详解】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。
20÷2＝10
这个数是10。
故答案为：D
【点睛】考查一个数因数和倍数的特征。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3．D
【分析】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完全数”的规律。
【详解】A．10的因数有：1、10、2、5。
1＋2＋5＝8
10不是“完全数”。
B．12的因数有：1、12、2、6、3、4
1＋2＋3＋4＋6＝16
12不是“完全数”。
C．16的因数有：1、16、2、8、4
1＋2＋4＋8＝15
16不是“完全数”。
D．28的因数有：1、28、2、14、4、7
1＋2＋4＋7＋14＝28
28是“完全数”。
故答案为：D
【点睛】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。
4．D
【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，因数和倍数是相互依存的，我们只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
b，c都是a的因数，a是b，c的倍数。
故答案为：D
【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。
5．B
【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1；
（2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；
（3）由两个数和的奇偶性可知，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，据此分析。
【详解】由自然数的分类可知，自然数中不是奇数就是偶数，任意给出三个不同的自然数，一定有两个自然数同为奇数或者同为偶数，那么其中一定有2个数的和是偶数，如：2、4、8中没有2个数的和是奇数，也没有2个数的和是质数，但有2个数的和是偶数；0、2、3中没有2个数的和是合数，但有2个数的和是偶数。
故答案为：B
【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的意义，并灵活运用和差的奇偶性是解答题目的关键。
6．D
【详解】设49的反面为a，则其余反面的数为a+（49﹣40）＝a+9、a+（49﹣28）＝a+21；
因为a、a+9、a+21均为质数，所以a＝2；
[2+（2+9）+（2+21）]÷3＝12
故选D．
7．15
【分析】
根据因数和倍数的定义可知，只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。据此可知，一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是（3×5＝15）。
【详解】根据分析可知，
3×5＝15
一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是15。
【点睛】正确理解因数和倍数的意义，是解答此题的关键。
8．23
【分析】30套军装、71个水壶、79双军鞋，总共180件物品，最后一共剩下19件物品没有发出去，那么发出去了161件物品，由于每个战士拿的一样多，那么161是总人数的倍数。
【详解】
161的因数有1，7，23，161；
（1）当有7名战士时，
30÷7＝4（套）……2（套）
71÷7＝10（个）……1（个）
79÷7＝11（双）……2（双）
因为2＋1＋2＝5（件），5≠19，
所以有7名战士不符合题意．
（2）当有23名战士时，
30÷23＝1（套）……7（套）
71÷23＝3（个）……2（个）
79÷23＝3（双）……10（双）
因为7＋2＋10＝19（件），
所以一共有23名战士，每名战士分得1套军装，3个水壶和3双军鞋．
综上，可得一共有23名战士．
答：一共有23名战士．
【点睛】本题在求解过程中用到了整体的思想，总共用去的物品数量一定是总人数的倍数。
9．75
【分析】一个数最小的因数是它本身，最大是它本身，则由题意可知，这一个数的最小的两个因数分别是1和4－1＝3；进而可知最大的一个因数是第二大因数的3倍，由此求出最大的两个因数，进而得出这个正整数即可。
【详解】100÷（3＋1）
＝100÷4
＝25；
100－25＝75；
所以最大的两个因数是25和75；
所以这个正整数就是75。
【点睛】解答的关键是先求出最小的两个因数，进而明确最大的因数和第二大因数之间的关系。
10．6
【分析】单价×数量＝总价，这束鲜花的总钱数93元，是个奇数，玫瑰的枝数是最大的一位数，即9枝，玫瑰单价5元，是奇数，奇数×奇数＝奇数，总钱数－玫瑰钱数＝偶数；狐尾百合单价10元，是偶数，枝数为奇数，偶数×奇数＝偶数，狐尾百合钱数是偶数；康乃馨单价是奇数，总价应为偶数，所以康乃馨枝数为偶数，据此再根据3的倍数的特征推算出康乃馨的枝数。
【详解】最大的一位数是9。
93－9×5
＝93－45
＝48（元）
狐尾百合的枝数为奇数，只能是1枝或3枝。康乃馨3元/枝，康乃馨的钱数是3的倍数。
48－10×1
＝48－10
＝38（元）
38不是3的倍数，狐尾百合不可能是1枝。
48－10×3
＝48－30
＝18（元）
18是3的倍数，狐尾百合有3枝，则：
18÷3＝6（枝）
康乃馨应为6枝。
【点睛】关键是理解奇数和偶数的运算性质，掌握3的倍数的特征。
11．65/77
【分析】长方形的周长是36米，根据周长公式，可知，长＋宽＝周长÷2＝18米，即长和宽的和为18。已知长和宽都是以米为单位的质数，可以通过列举法，求出长和宽，再根据面积公式求解。
【详解】长＋宽＝36÷2＝18（米）
18以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17。
满足和是18的有：5和13、7和11。
所以有以下两种情况：
一种是：长13米，宽5米，面积为13×5＝65（平方米）；
另一种是：长11米，宽7米，面积为11×7＝77（平方米）。
【点睛】本题主要考查长方形的面积，关键要根据周长计算出长和宽，注意多种答案。
12． 5 7
【分析】设其中一个数为a，另一个数为b，根据题干描述列式a＋b＝6（a－b），化简出a和b的关系，代入数据验证，从而找到这两个质数。
【详解】设其中一个数为a，另一个数为b，则
a＋b＝6（a－b）
a＋b－6a＋6b＝0
7b－5a＝0
5a＝7b
a＝b
因为这两个数为自然数，所以b只能是5的整倍数，又因为两个数都是质数，然后代数验证即可，当b＝5时，a＝7，则5＋7＝12，12是合数，7－5＝2，2是质数，而且12÷2＝6，符合题意，所以这两个质数是5和7。
【点睛】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
13． 531 32
【分析】23是一个质数，所以运行的算法为；
由于只知道结果是66，所以让和这两个算式都等于66，再分别计算出A，看A是否符合各自运算程序的条件，即，，8是合数，不符合相对应的运算程序的条件“A是质数”；，，32是合数，符合相对应的运算程序的条件“A是合数”，所以这个数是32。
【详解】232＋2＝23×23＋2＝529＋2＝531
解：设这个数为x，由题意得：
x2＋2＝66
x2＝64
x＝8
8是合数，不符合题意。
解：设这个数为y，由题意得：
2y＋2＝66
2y＝64
y＝32
32是合数，符合题意。
【点睛】首先判断所输入的数是质数还是合数，然后依照程序的规则计算出结果即可；因为只知道结果为66，并不知道输入的原数是质数还是合数，故要依据规则列两个方程，解答后再做判断。
14．65平方米；77平方米
【分析】根据长方形的周长求出长与宽的和，在长方形中长大于宽且长和宽是两个不同的质数据此求出所有符合条件的长与宽，最后利用“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的面积，据此解答。
【详解】长与宽的和：36÷2＝18（米）
情况一：当宽为2米时，
长：18－2＝16（米）
因为16不是质数，所以不符合题意。
情况二：当宽为3米时，
长：18－3＝15（米）
因为15不是质数，所以不符合题意。
情况三：当宽为5米时，
长：18－5＝13（米）
因为5和13都是质数，所以符合题意。
面积：5×13＝65（平方米）
情况四：当宽为7米时，
长：18－7＝11（米）
因为7和11都是质数，所以符合题意。
面积7×11＝77（平方米）
由上可知，长方形的面积可能是65平方米和77平方米。
答：这个长方形的面积可能是65平方米和77平方米。
【点睛】掌握长方形的周长和面积计算公式并熟记100以内质数表是解答题目的关键。
15．257
【分析】由于这是个三位质数，各位数字都不相同，并且个位数字等于前两位数字的和，首先根据已知条件及质数的性质确定个位数：由于各位数字都不相同，个数是前两个数的和，所以首先排除1和0，也不可能是3和9（如果是3和9则各位上的数相加的和能被3和9整除，这个数也能被3和9整除）；由于这个数三位是质数，则个位数一定不是偶数，也不是5，如是5则能被5整除，所以个位数只能是7，然后据此结合条件即能得出这个三位数是哪些。
【详解】由于各位数字都不相同，个数是前两个数的和，所以首先排除1和0，也不可能是3和9；由于这个数是质数，则个位数一定不是偶数，也不是5；所以个位数只能是7；
根据各位数字都不相同，且个位数等于前两个数字的和这点，有6个这样的数：167、257、347、437、527和617；这六个数中，437和527不是质数，所个三位数可能是：167、257、347和617，由于1和4不是质数，所以这个三位数是257。
【点睛】此题主要考查了质数与合数，关键是根据已知条件及质数的性质确定个位数是多少。
16．11和19，或13和17，或23和7
【分析】一个质数的6倍与另一个质数的6倍的和是180，所以两个质数的和是180÷6＝ 30，再通过两个质数的和为30，找到满足条件的两个质数即可。
【详解】两个质数的和为：180÷6＝30
所以两个质数为：11和19，或13和17，或23和7
答：这两个质数分别是11和19，或13和17，或23和7。
【点睛】本题考查质数，解答本题的关键是找到两个质数的和。
17．2、5、43或2、7、41或2、11、37或2、17、31或2、19、29
【分析】只有1和它本身两个因数的数，叫质数。
【详解】50＝2＋5＋43
50＝2＋7＋41
50＝2＋11＋37
50＝2＋17＋31
50＝2＋19＋29
答：这三个质数可能是2、5、43或2、7、41或2、11、37或2、17、31或2、19、29。
【点睛】本题考查了质数，质数只有2个因数，合数至少有3个因数。
答案第1页，共2页
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