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第九讲 ：分数大小比较与分数推断
知识精讲
通分子、通分母.
我们知道分数的意义是：把“1”平均分成若干份，这样的一份或几份可以用分数来表示.由此易知：
如果两个分数分母相同，分子越大分数越大.
如果两个分数分子相同，分母越大分数越小.
如果两个分数分子和分母都不同，我们应该怎么比较它们的大小呢 最常用的方法是利用分数的基本性质把它们化成分母相同或分子相同的分数.
交叉相乘法.
比较和的大小，可以先把它们通分，变成分母相同的分数：和
然后再比较分子的大小：,所以
因为最后比较的是两个乘积，因此这个方法也被称为“交叉相乘法”.要比较两个分数，只需要将这两个分数的分子分别与另一个分数的分母相乘，比较两个乘积的大小.分子所在的乘积大，则分数就大.例如比较和的大小，因为,的分子所在的乘积大，所以.
简单推断分数.
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变.利用这个性质，我们可以把一个分数化成和它相等，但分子、分母都更小的分数.这个过程叫约分.例如.也可以把一个分数化成和它相等，但分子、分母都更大的分数.这个过程叫扩分.例如.
复杂推断分数 .
一个分数的分子、分母若同时加上(或减去)同一个数时，分子与分母的差不变；一个分数的分子若加上(或减去)某个数，同时分母减去(或加上)这个数时，分子与分母的和不变.利用“差不变”与“和不变”这一特性可以解决很多分数变化的问题.
题型汇总
题型一：分数大小比较
1．比较和的大小，下列方法不正确的是（ ）。
A．，，
B．，，
C．从特例开始寻找规律：
D．，，，
【答案】B
【分析】分数大小的比较方法有通分、作差、找规律等方法，逐项分析选项解答即可。
【详解】A．采用通分的方法，根据分数的基本性质将和的分母统一成12×13，然后比较分子，分母相同分子小的那个分数小，因此＜，此方法正确。
B．，，等式的变形错误，此方法错误。
C．利用找规律的方法，当分子比分母小1时，分子分母越大，这个分数就越大，因此＜，此方法正确。
D．与1进行比较，比1小，比1小，，即与1更接近，因此，此方法正确。
故答案为：B
2．和是两个不等于0的自然数，而且。对于〇，〇中应填（ ）。
A． B． C．无法比较
【答案】A
【分析】可以先将和进行计算，发现结果的分子都是7。比较两个分数的大小时，如果分子相同，则分母大的那个分数反而小。
【详解】，
，分子相同，分母大的那个分数反而小
因此
所以＞
故答案为：A
题型二：复杂分数大小比较
1．比较大小。
( )。
【答案】＞
【分析】先将化成，将化成，只需要比较两个算式中减数的大小（减数大的，差反而小，减数小的差反而大）。
由于两个数的分母比大，通分会导致计算量大，可以将分子变得相同，即根据分数的基本性质，将分子乘1.5，则分母也要乘1.5，最后只需要比较分母，分母大的反而小。反小的反而大。
【详解】
由于88888889×1.5＞99999994，则
所以＞。
【点睛】当两个分数的分子和分母数量比较大的时候，可以将分数转化为减法算式，这样比较大小比较容易。
2．比较、、、的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下与哪个更大。
【答案】
【分析】观察这几个分数是真分数，且他们分子和分母，都相差1，且分数值与1接近，则都与1作差，即、、、，然后比较、、、的大小，同分子分数，分母越大分数反而越小，最后找出规律即可。
【详解】
因为
所以
规律：分子分母相差1的真分数，分母越大，分数值越大；
因为121＜345，则，即更大。
题型三：简单分数推断
1．一个分数的分子扩大到原来的3倍，分母乘2，分数值是，原来这个分数是( )。
【答案】
【分析】根据题意可知，是原来分数的分子乘3、分母乘2后得到的，先把化成假分数，运用倒推法，的分子除以3、分母除以2，即可求出原来的分数。
【详解】＝
＝
原来这个分数是。
2．把的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，则分母要加上( )。
【答案】15
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；根据分数的基本性质，把的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，则分母也要扩大到原来的4倍，也就是将分母乘5，结果分母变为20，分母比原来增加了（20－5）。
【详解】5×4－5
＝20－5
＝15
把的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，则分母要加上15。
题型四：复杂分数推断
1．一个分数，分母比分子大15，它的分数值是，这个分数是多少？
【答案】
【分析】本题考查的知识点是用“抓不变量”的方法，利用份数知识解答分数问题。先求出分子和分母的份数差8-3=5，然后用数量差15除以份数差15÷（8-3）=3就是一份量；接着用还原法或逆推法计算出原来分数的值：==
【详解】15÷（8-3）=3 ==
答：这个分数是。
2．一个分数的分子和分母相加的和是49，如果把分母、分子都减去2，得到的分数可以约成，原来的这个分数是( )。
【答案】
【分析】根据题意，把分母、分子都减去2，则分数的分子与分母的和变成49－2－2＝45；得到的分数可以约成，1＋4＝5，因为45÷5＝9，即分数的分子和分母同时除以9后得到的最简分数是；运用倒推法，的分子、分母先同时乘9，再同时加上2，即是原来的分数。
【详解】49－2－2＝45
45÷（1＋4）
＝45÷5
＝9
＝
＝
原来的这个分数是。
跟踪训练
一、选择题
1．把的分子加上14，要使分数的大小不变，分母应该（ ）。
A．加上14 B．乘3 C．加上24 D．乘4
2．如果，那么（ ）里可填的自然数有（ ）个。
A．4 B．5 C．无数
3．把的分子乘4，要使分数的大小不变，分母应（ ）。
A．乘6 B．加6 C．乘4
4．下面每组数中，不相等的两个分数是（ ）。
A．和 B．和 C．和 D．和
5．下面是甲、乙、丙、丁四位同学在比较和的大小时不同的思考过程，其中错误的是（ ）。
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
6．在，，，，中最小的数是 。
7．一个最简分数，如果分子加9，分数就等于2，如果分母减2，分数就等于1，原分数是( )。
8．在 里填上自然数( )，能使式子成立。
9．一个最简分数，如果分母减1，化简后得，如果分子加4，化简后得，这个最简分数是( )。
10．有一个分数，约分后等于；若分子、分母加上同一个数后，再约分成为；若分子、分母各减去比前面加数大1的数后，约分成为。这个原分数约分前是 。
三、解答题
11．在0＜＜0.5中，□中最小能填几？最大呢？（填入的数字为自然数）
12．一个分数，分子与分母的和是23，如果分子加上7，整个分数就等于1。这个分数原来是多少？
13．一个分数的分子与分母之和是26，分母增加4后得到一个新分数，把这个分数化为最简分数是，求原来的分数。
14．的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？
15．一个分数的分母比它的分子大11，如果它的分母是它分子的3.75倍，那么这个分数等于多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】根据分数的基本性质可知，分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（（0除外），分数的大小不变。的分子加上14，变成了21，相当于乘（21÷7＝3），所以分母也要乘3，据此解答。
【详解】由分析可得，分母应该乘3，即变成8×3＝24。
A．分母加上14，变成8＋14＝22，不符合题意；
B．分母乘3，变成8×3＝24，符合题意；
C．分母加上24，变成8＋24＝32，不符合题意；
D．分母乘4，变成8×4＝32，不符合题意。
故答案为：B
2．A
【分析】同分子分数比较大小，分母越大分数越小；想让中间的分数小于大于，则括号内填写的自然数必须在2到7之间。
【详解】2到7之间的自然数有3、4、5、6，共4个数字。
故答案为：A
3．C
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
【详解】3×4－3
＝12－3
＝9
把的分子乘4，要使分数的大小不变，分母应乘4或加9。
故答案为：C
4．C
【分析】运用分数的基本性质，把各选项中的两个分数化成同分母或同分子的分数进行比较，找出不相等的两个分数即可。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
【详解】A．＝＝，＝，所以＝，不符合题意；
B．＝＝，＝＝，＝，所以＝，不符合题意；
C．＝＝，≠，所以≠，符合题意；
D．＝＝，所以＝，不符合题意。
故答案为：C
5．C
【分析】甲：根据异分母分数比较大小的方法，先通分成分母相同的分数，之后再根据同分母分数比较大小的方法，分母相同，分子越大，分数越大，甲的思考过程正确；
乙：把两个同样的直条按照分数的意义平均分成不同的份数，平均分成3份，取1份，平均分成5份取2份，之后看取的份数越大，则表示分数越大，乙的思考过程正确；
丙：其中的1份是相同的，由于两个直条的整体长度不相同，所以没办法比较，这种方法错误；
丁：丁也是把一个整体按照分数的意义平均分成若干份，之后看取的份数大小，和乙的思路一样，所以丁的思考过程正确。据此即可选择。
【详解】由分析可知：
丙的思考过程错误。
故答案为：C
6．
【分析】本题分母比较复杂，可利用分数的基本性质，将分数转化为分子相同的分数，再比较大小；分子相同，分母较大的分数比较小，分母较小的分数比较大；据此解答。
【详解】＝
＝
＝
＝
＞＞＞＞
＞＞＞＞
所以最小的数为。
【点睛】本题考查了分数比较大小的方法，此题将分数转化为分子相同的分数比较大小更简便。
7．
【分析】设原分数的分子为x，如果分母减2，分数就等于1，根据分子÷分母＝分数值，可知分母＝分子＋2，即分母用表示；此时再根据分子加9，分数就等于2，知分子＋9＝分母×2，据此列出方程，求出x的值，最后求出这个原分数即可。
【详解】解：设原分数的分子为x，则分母为。
分母：
所以这个最简分数是。
【点睛】本题考查列方程解决问题、分数与除法的关系，解答本题的关键是找到分子与分母的数量关系。
8．9或10或11
【分析】根据分数大小比较的方法可知，分子相同的分数要看分母，分母小时这个分数比较大；先把和化成分子相同的分数，再根据这两个分数大小关系确定□的取值范围；
同样的方法，把和也化成分子相同的分数，根据两个分数的大小关系可以进一步确定□的取值范围，并得到最后答案。
【详解】，，要使，35＞□×3，□中为小于12大于0的自然数；
，，要使，□×5＞42，□中为大于8的自然数；
□取值是9，10，11
9．
【分析】从“如果分母减1，化简后得”可知：分母比分子的3倍还多1。设这个最简分数的分子是，则分母是3＋1；从“如果分子加4，化简后得”可得等式：分母＝（分子＋4）×2，根据等式列方程，求出的值，即这个最简分数的分子，再用分子×3＋1就求出分母。据此解答。
【详解】解：设这个最简分数的分子是，则分母是3＋1。
3＋1＝（＋4）×2
3＋1＝2＋4×2
3＋1＝2＋8
3＋1－1＝2＋8－1
3＝2＋7
3－2＝2＋7－2
＝7
7×3＋1
＝21＋1
＝22
这个最简分数是。
【点睛】将最简分数转化成分子分母的倍数关系，利用这个关系列方程是解此题的关键。
10．
【分析】根据分数的意义，可知分数的两次变化，分子和分母的差不变，据此可知，这个差是（11－8）、（9－5）的最小公倍数，也就是3和4的最小公倍数，即12，所以差（3－2）份就是12，也就是1份是12，据此可知2份是24，3份是36，这个原分数是。
【详解】11－8＝3
9－5＝4
3×4＝12
＝
这个原分数约分前是。
【点睛】本题考查了约分的灵活应用，明确分子和分母的差不变是解答本题的关键。
11．1 7
【详解】把0＜＜0.5变形成0＜＜去思考．
12．
【分析】根据题意，如果分子加上7，整个分数就等于1，说明分子加上7后与分母相等，即原来分数的分子比分母少7；又已知原来分数的分子与分母的和是23；
根据和差问题的公式：（和＋差）÷2＝较大数，由此求出分母；再用分母减去7，求出分子，据此得出这个分数。
【详解】分母：
（23＋7）÷2
＝30÷2
＝15
分子：15－7＝8
分数：
答：这个分数原来是。
【点睛】由“如果分子加上7，整个分数就等于1”得出“原来分数的分子比分母少7”是解题的关键，再利用和差问题的解题方法解答。
13．
【分析】一个分数的分子与分母之和是26，分母增加4后得到一个新分数，新分数的分子与分母的和是（26＋4），最简分数是，说明分母是分子的5倍，分子与分母的和÷（倍数＋1）＝一份数，即新分数的分子，新分数的分子×5＝新分数的分母，新分数的分母－4＝原分数的分母，据此确定原来的分数。
【详解】（26＋4）÷（5＋1）
＝30÷6
＝5
5×5＝25
25－4＝21
答：原来的分数是。
【点睛】关键是理解分数的意义，掌握和倍问题的解题方法。
14．2
【分析】的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分后是，根据分数的性质，把的分子分母同时扩大相同的倍数，且分子分母的值不超过23和30，则有下面几种：、、 、 、，可以发现原来的分数分子分母同时减去2符合题意。
【详解】根据分数的基本性质：
======
可以发现23-2=21；30-28=2
答：同时减去的这个数是2。
【点睛】解答本题的关键是利用分数的基本性质找出所有数，然后进行观察比较才能得出答案。
15．
【分析】根据差倍问题的解题思路，分母是它分子的3.75倍，分母比分子多3.75－1倍，多了11，用11÷对应倍数，求出一份数，是分子，分子＋11是分母，据此分析。
【详解】11÷（3.75－1）
＝11÷2.75
＝4
4＋11＝15
答：这个分数等于。
【点睛】关键是找到分子与分母差的对应倍数，先求出一份数。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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