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第七讲 ：位值原理
知识精讲
位值原理的概念
在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的.比如一个数由1,2,3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1,2,3能组成很多数，例如213,321,123…但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123.
从这个例子可以看出，一个数的大小由数位和数位上的数字共同决定，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；.
那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，这就是位值原理.
例如：,,这种叫做“完全拆分”;
有的时候，为了分析问题方便，我们并不将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，叫做“不完全拆分”，
例如：,.
通常我们在使用位值原理的过程中，要利用字母来表示数，所以同学们一定要熟练掌握这种表示方法，并能利用位值原理将字母表示的数展开，找到等量关系，从而解决问题.
题型汇总
题型一：完全拆分
1．四位数满足，则 。
【答案】1814
【分析】根据位值原则，，，，将这四个数按照位值原则加起来得出的和是2014，根据加法的算法，可以得出a只能是1；，则b只能是8；，c只能是1；最后的d是4。
【详解】
＝
＝
＝2014
1111＋888＋11＋4＝2014
则
【点睛】同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，537表示5个百，3个十，7个一，即537＝5×100＋3×10＋7。
2．，各表示一个两位数，若＋＝139，则x＋y＋z＋w＝( )。
【答案】
【分析】和的个位为9，不会发生进位，y＋w＝9，十位明显进位x＋z＝13，所以x＋y＋z＋w＝22
【详解】由“＋＝139”可得：y＋w＝9、x＋z＝13；
x＋y＋z＋w
＝13＋9
＝22
所以，，各表示一个两位数，若＋＝139，则x＋y＋z＋w＝22。
【点睛】要明确，和的个数是9，不可能发生进位，得出“y＋w＝9”，是解答此题的关键。
题型二：在两位数中加入一个数的问题
1．如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是 ．
【答案】45
【详解】解：设原来数为，这样后来的数为，根据题意可得：
100a+b=9×（10a+b）
化简得，5a=4b
所以a=4，b=5，
因此原来的两位数为45．
故答案为45．
【点睛】解答此题的关键是利用十进制计数法把数字展开，进一步根据数字特点分析解答．
2．有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
【答案】
【分析】根据“有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414”这一等量关系，列方程并解方程即可。
【详解】设两位数为x，则有：
（10x＋1）－（100＋x）＝414
9x－99＝414
9x＝513
x＝57
答：原来的两位数是57。
【点睛】根据位值原理，找出本题中的等量关系，是解答此题的关键。
题型三：交换数位上的数
1．一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差。
【答案】297
【分析】个位是7，明显a大于c，所以10＋c－a＝7，a－c＝3，据此列方程并解方程可得：他们的差为297。
【详解】设原三位数是100a十10b＋ c，则新三位数则是100c＋ 106＋ a；
则：100c＋ 10b＋a－（100a＋ 10b＋c）＝100（c－a）－（c－a）＝ 99（c－a）；
新三位数与原三位数的差的个位数字是7，
c－ a＝ 3，
差为：99×3 ＝ 297；
答：它们的差是297。
【点睛】此题考查了数的十进制的应用问题.此题难度较大，注意掌握三位数的表示方法是解此题的关键。首先设原三位数是100a＋ 10b＋c ，新三位数则是100c ＋ 106 ＋ a ，把他们相减，化简后再根据个位数的值求解即可。
2．一个三位数，个位数字比十位数字大1，个位数字比百位数字大3．把百位上的数字与个位上的数字交换位置后得到一个新数，新数与原数的和为787，原数是多少？
【答案】245
【详解】令原数为，新数为，列式：+=787．因为c-a=3，而c最大是9，
a最大是6，由于c+a不会是17，只能是c+a=7，可见c=5，a=2．又已知c-b=1，所以b=4，原数是245．
题型四：多位数问题
1．一个六位数，个位数字是2，如果把2移到最高位，那么原数就是新数的3倍．求原来的六位数．
【答案】857142
【详解】解：设原来的六位数的前5个数为X，
则原数为:X×10+2=10X+2
新数为:2×100000+X=200000+X
可得方程：10X+2=(200000+X)×3
10X+2=600000+3X
7X=599998
X=85714
则原数=10X+2=10×85714+2=857142
答:原来的六位数为857142．
2．有一个六位数乘3后变成，求这个六位数．
【答案】142857
【详解】解：设，则有六位数和，有，解得，所以原六位数是142857．本题的巧妙之处在于始终没有分开，所以我们把它看作一个整体．
跟踪训练
一、填空题
1．一个两位数，已知，且是质数，则 。
2．已知是一个三位数，改变其数位的顺序后又可得到五个新的三位数、、、、，这五个新的三位数的和为3194，则表示的三位数是 。
3．一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，原来的两位数是 。
4．在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若，那么中应填 。
5．一个三位数abc与它的反序数的和等于888，这样的三位数有 个。
6．三位数比三位数小99，若彼此不同，则最大是 。
二、解答题
7．如果，那么等于几？
8．试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差一定能被9整除。
9．如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。
10．有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。
11．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？
12．一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行驶，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．47
【分析】根据位值定理，，，则＝27，化简后得出b－a＝3，找出符合条件的数质数即可。
【详解】
即
即b－a＝3
b＝9时，a＝6，（合数）
b＝8时，a＝5，（合数）
b＝7时，a＝4，（质数）
b＝6时，a＝3，（合数）
b＝5时，a＝2，（合数）
b＝4时，a＝1，（合数）
则
2．358
【分析】根据位置原理，，，……即a在百位上出现两次，为200个a，在十位上出现2次，为2个十，在个位上也出现了2次，为2个一，相加得出有222个a；同理有222个b，222个c，再根据乘法的分配律提出222。即这六个数的和为222（a＋b＋c），也就是5个新数的和＋。222×（a＋b＋c）＝3194＋，因为3194÷222＝14……86，222×（a＋b＋c）要比3194大，则a＋b＋c的和要比14大，所以a＋b＋c的和至少是15，分情况讨论得出这三位数是多少，再将三位数的数字相加和是否与假设符合，符合则是这个三位数，不符合则不是。
【详解】222×（a＋b＋c）＝3194＋
3194÷222＝14……86
a＋b＋c的和至少是15，
①当a＋b＋c＝15时，
222×15＝3194＋
1＋3＋6＝10，与条件矛盾，不符合；
②当a＋b＋c＝16时，
3＋5＋8＝16，与条件符合；
③当a＋b＋c＝17时，
5＋8＋0＝13，与条件矛盾，不符合；
④当a＋b＋c＝18时，
8＋0＋2＝10，与条件矛盾，不符合；
⑤当a＋b＋c＝19时，
222×19－3194
＝4218－3194
＝1024
当a＋b＋c大于或等于19时，
＞1000
与条件矛盾，不符合；
所以表示的三位数是358。
【点睛】本题可根据位值原理进行分析，再通过估算大概判断三个数字之和，然后进行尝试，分情况讨论解答即可。
3．
【分析】根据“一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，”这一等量关系列方程，并解方程即可。
【详解】设这个两位数是，则100a＋b＝8（10a＋b）－1，化为20a＋1＝7b，方程的数字解只有a＝1，b＝3，原来的两位数是13。
【点睛】注意a是1至9之间的自然数，b是0至9之间的自然数。
4．2
【分析】根据题意，，可得：a≥d，由差的个位为7可知，被减数个位上的d要向十位上的c借一位，则10＋d－a＝7，即a－d＝3，又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b＝c，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即，因此内应填入2。
【详解】由题意知，a≥d，由差的个位为7可知，被减数个位上的d要向十位上的c借一位，则10＋d－a＝7，即a－d＝3，又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b＝c，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即，因此内应填入2。
【点睛】是根据位值原理，熟练掌握整数的减法计算方法，是解答此题的关键。
5．
【分析】根据题意，显然、都没有发生进位，所以、，则，、的情况有1＋7、2＋6、3＋5、4＋4、5＋3、6＋2、7＋1这7种。所以这样的三位数有7种。
【详解】由题意， c ＋ a不可能出现进位的情况，所以c＋a＝8 ，那么c＝ 1，a＝ 7；c＝2，a＝6；c＝3， a＝ 5；c＝4，a＝ 4；c＝ 5，a＝ 3；c＝6， a＝2；c＝ 7，a＝ 1；共7种情况。
【点睛】因为三位数abc与它的反序数的和等于888，由题意可知c ＋ a不可能出现进位的情况，c＋a＝ 8，分别讨论即可。
6．879
【分析】由题意，，有，要最大，如果，那么，与为三位数矛盾；如果，那么，剩下最大取7，所以最大是879
【详解】，数与数的十位同为b，所以没有进位，即a＝c＋9；如要最大，百位数要为9，则c＝0，与为三位数矛盾；如果a＝8，那么c＝9，剩下b最大取7，所以最大是879。
【点睛】完成此类题目要根据题意对可能的情况进行逐个验证进行筛选以得出正确答案。
7．
【分析】根据“”，展开整理得：；再根据由于位值的性质，每个数位上的数值在0 ～9之间，得出，。
【详解】由“”可得：
得：，；
所以，等于15；
答：等于15。
【点睛】由于位值的性质，每个数位上的数值在0 ～9之间，是解答此题的关键。
8．见详解
【分析】设这个两位数是（），交换位置后是，根据位值原理将展开，然后进行判断。
【详解】
一定能被9整除。
【点睛】本题考查的是位值原理，0~9这10个数字所处的数位不同，其所表示的含义也不同。
9．13717；6
【分析】根据题意，设这个数码为x，则有：（10x＋3）－x＝123450＋A，解得，9x＝123447＋A，右边是9的倍数，根据被9整除的数字的特点知道，A＝6，故：x＝13717。
【详解】设这个数是x；
则把这个数码3加在自然数的右端就变成了10x＋3；
12345A＝123450＋A；
所以： 10x＋3－x＝123450＋A
得： 9x＝123447＋A
因为A＝0，1，2，3，4， 5，6，7，8，9中的一个且x是自然数。
为了使123447＋ A能被9整除
得A＝6，即x＝13717；
答：这个数是13717； A的数值为6。
【点睛】熟练掌握9个倍数特征，是解答此题的关键。
10．
【分析】根据“有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999”，设未知数，列方程并解方程，即可解题。
【详解】设三位数为x，则有：
（6000＋x）＋（10x＋6）＝9999
11x＝9999－6006
11x＝3993
x＝363
答：原来的三位数是363。
【点睛】正确理解题意，找出等量关系，是解答此题的关键。
11．675
【分析】这题是数字问题，根据“新数比原数小108”可以列出等量关系式：“原数＝新数＋108”，设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x，则原三位数可表示为（10x＋5），新三位数可表示为（5×100＋x）．
【详解】解：设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x．
10x＋5＝5×100＋x＋108
10x－x＝500＋108－5
9x＝603
x＝67
10×67＋5＝675
答：原三位数是675．
12．11
【分析】本题考查位值原则，把题目所涉及的数字均用代数式表示出来，然后根据数量关系列式求解。
【详解】设第一个两位数为10a＋b；第二个为10b＋a；第三个为100a＋b；
由题意：（100a＋b）－（10b＋a）＝（ 10b＋a）－（10a＋b）；
化简可以推得b＝6a，
又0≤a，b≤9，得a＝1，b＝6；
即每小时走61－16＝45（公里）；
（601－106）÷45＝11（小时）；
答：再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【点睛】本题关键在于列出数量关系式后，通过解不定方程，确定长题目的数据，再进行求解。
答案第1页，共2页
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