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第四讲 ：长方体和正方体（一）
知识精讲
长方体和正方体的表面积
我们来学习一下长方体、正方体的表面积计算方法.
在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面.在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加；也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个(些)面的面积.知识点二：用三视图法求表面积
利用三视图求物体表面积
相信同学们对长方体和正方体的表面积公式都很熟悉，但是对于较复杂的立体图形，往往我们并不能直接应用公式进行计算，这个时候又该怎么办呢
在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察.角度不同，看到的形状就会不同.比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图.并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形的面积是相等的，所以对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很
方便地计算出表面积.
题型汇总
题型一：图形计算
1．图形计算。
（1）计算各长方体前面的面积。
（2）计算各长方体右侧面的面积。
（3）计算各长方体上面的面积。
【答案】（1）8cm2；4cm2
（2）6cm2；6cm2
（3）12cm2；6cm2
【分析】（1）长方体前面的面积＝长×高；
（2）长方体右侧面的面积＝宽×高；
（3）长方体上面的面积＝长×宽，据此列式计算。
【详解】（1）4×2＝8（cm2）
2×2＝4（cm2）
各长方体前面的面积是8cm2、4cm2。
（2）3×2＝6（cm2）
3×2＝6（cm2）
各长方体右侧面的面积是6cm2、6cm2。
（3）4×3＝12（cm2）
2×3＝6（cm2）
各长方体上面的面积是12cm2、6cm2。
2．计算下面图形的表面积。
【答案】248m2；13.5cm2
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。
【详解】（10×4＋10×6＋4×6）×2
＝（40＋60＋24）×2
＝124×2
＝248（m2）
1.5×1.5×6＝13.5（cm2）
长方体表面积是248m2，正方体表面积是13.5cm2。
题型二：表面积的实际应用
1．学校要粉刷教室。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，门窗的面积是11.4平方米。需要粉刷的面积是多少？如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这个教室需要多少涂料费？
【答案】120.6平方米；723.6元
【分析】长方体教室长为8米，宽为6米，高3米，教室粉刷需要粉刷除了底面一个面外的5个面，再减去门窗面积，即粉刷面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽门窗面积，据此可得出粉刷面积；粉刷面积×6，即可得出涂料费用。
【详解】教室需要粉刷面积为：
（平方米）
需要涂料费用：（元）
答：教室需要粉刷面积是120.6平方米，需要涂料费723.6元。
2．有一个棱长10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积是多少？
【答案】400平方厘米
【分析】“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”因为包装盒的上下面不贴，所以只计算正方体包装盒4个面的面积即可，据此解答。
【详解】10×10×4＝400（平方厘米）
答：这张商标纸的面积是400平方厘米。
题型三：表面积的复杂应用
1．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
【答案】256平方厘米
【分析】由长方体的高增加4厘米后变成了正方体可知，原长方体的长和宽相等。（如下图）表面积比原来增加128平方厘米，增加部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形的面积和。用128÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷4求出长方体的长（或宽）；再用长方体的长（或宽）减去4厘米求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积求出原长方体的表面积。
【详解】长（或宽）：128÷4÷4
＝32÷4
＝8（厘米）
高：8－4＝4（厘米）
表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2
＝（64＋32＋32）×2
＝128×2
＝256（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是256平方厘米。
【点睛】一个长方体高增加一段，增加的表面积是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。
2．一间长方体仓库的长为8米，宽为6米，高为3.5米。仓库装有一扇门，门的宽为1米，高为2米。现在要给仓库离地面1米高以下的四壁都贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少？
【答案】27平方米
【分析】本题不仅数据较多，题意也稍显复杂。主要是这句话“离地面1米高以下的四壁都贴上瓷砖”，既然是“四壁”，就是没有天花板和地面上、下两个面的面积；而且贴瓷砖的部分只有1米高，但门却有2米高，那么就不需要减去整个门的面积，而是把1米高、1米宽那部分门的面积减去。
【详解】（8×1＋6×1）×2－1×1
＝14×2－1
＝27（平方米）
答：贴瓷砖部分的面积是27平方米。
【点睛】易错点有2个：①误以为需要减掉整个门的面积；②贴瓷砖部分高只有1米，而不是仓库的高3.5米。所以要多读几遍题，充分理解题意后再动手计算。
题型四：通过三视图求表面积
1．如图：将19个边长为的小正方形叠成一个立体图形，求这个图形的表面积。
【答案】54平方厘米
【分析】正面和背面各有10个小正方形，上面和下面各有9个小正方形，左边和右边各有8个小正方形，据此列式解答。
【详解】1×1＝1（平方厘米）
1×10×2＋1×9×2＋1×8×2
＝20＋18＋16
＝54（平方厘米）
答：这个图形的表面积是54平方厘米。
【点睛】本题考查了组合体的表面积，根据从不同方向观察几何体的方法，每个面分别看有多少个小正方形即可。
2．用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
【答案】46平方厘米
【分析】（1）不管叠多高，上下两面的表面积都是3×3＝9个面；
（2）再看前后左右四个面，都是2×3＋1＝7个面。
【详解】1×1×（9×2＋7×4）
＝1×（18＋28）
＝46（平方厘米）
答：该图形的表面积是46平方厘米。
【点睛】此题也可通过数图形解答。我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1平方厘米，则表面积就是46平方厘米。
跟踪训练
一、选择题
1．一个正方体的棱长扩大到原来的10倍，则这个正方体的表面积扩大原来的（ ）倍。
A．10 B．100 C．1000 D．不能确定
2．由10个棱长为的小正方体拼成的几何体，如果从前面看到的形状是，那么从上面看到的图形面积最大是（ ）。
A．7 B．8 C．9 D．10
3．一个长方体的长a厘米，宽b厘米，高c厘米。如果它的高增加4厘米，那么表面积比原来增加（ ）平方厘米。
A． B． C．8ab D．
4．一个长方体的底面是面积为的正方形，它的侧面展开图也正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（ ）。
A． B． C． D．
5．艺术馆工人将若干个完全相同的正方体模型堆放于墙角，露在外面的面积最大的是（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题
6．张叔叔准备用角铁焊接一个棱长6dm的正方体框架，并在各个面上钉上铁皮，做这个正方体至少需要角铁( )dm，至少需要铁皮( )dm2。
7．小杨买了一个长方体的玻璃鱼缸，从外面量，长是1m，宽是6dm，高是5dm。他不小心把前面的玻璃打碎了，修理时需要配上的玻璃面积是( )。
8．挖一个长8米，宽6米，深2米的长方体水池，这个水池的占地面积是( )平方米。
9．如图是一个长方体纸盒的后面和左面。这个纸盒上面的面积是( )平方分米。
10．一个长方体，如果高增加3cm，就变成一个正方体，这个正方体的表面积比原来长方体的表面积增加了60cm2。原来长方体的表面积是( )cm2。
三、计算题
11．求下面图形的表面积。
四、解答题
12．工人师傅用木板制作一个长方体种植箱，种植箱的长、宽、高如下图所示，制作这个种植箱需要多少平方分米木板？
13．一个长方体纸箱，要在纸箱的四周贴上商标（上、下面不贴），商标纸的面积是多少平方分米？
14．一间教室的长是9m，宽是6m，高是3.5m，门窗的面积是21.5m2，要粉刷教室的四壁和屋顶，求粉刷的面积是多少平方米？如果每平方米需要8元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？
15．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？
16．红红送给妈妈一个生日礼物，用正方体纸盒包装。（如下图）
（1）用丝带包扎这个礼品盒，接头处长35厘米。包扎这个礼品盒一共需要彩带多少厘米？
（2）做这个正方体包装盒，至少需要多少平方厘米纸板？
（3）红红送给妈妈的礼物是一个生日蛋糕，蛋糕规格如下图。你认为红红买的是哪种规格蛋糕？请说明理由。
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】假设正方体原来的棱长是1厘米，扩大到原来的10倍，就是10厘米，根据正方体的表面积公式，分别代入数据计算原来的正方体的表面积和扩大后的正方体的表面积，再用除法计算即可得解。
【详解】假设正方体原来的棱长是1厘米
（厘米）
原来的表面积：（平方厘米）
扩大后的表面积：
（平方厘米）
一个正方体的棱长扩大到原来的10倍，则这个正方体的表面积扩大原来的100倍。
故答案为：B
2．B
【分析】
根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，求出小正方体一个面的面积；从前面看到的形状是，这个几何体有2层，上层至少需要2个小正方体，所以从上面最多能看到10－2＝8个小正方形，据此求出从上面看到的图形面积最大。
【详解】根据分析可知，看到的图像面积最大是：
（10－2）×（1×1）
＝8×1
＝8（cm2）
从上面看到的图形面积最大的是8cm2。
故答案为：B
3．B
【分析】长方体的高增加4厘米后，增加的表面积实际上是一个长方体长a厘米，宽b厘米，高为4厘米的四个侧面的面积，即两个长为a厘米，宽为4厘米的长方形和两个长为b厘米，宽为4厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出表面积增加了多少平方厘米，据此解答。
【详解】由分析得：
a×4×2＋b×4×2＝（8a＋8b）平方厘米
即表面积比原来增加（8a＋8b）平方厘米。
故答案为：B
4．D
【分析】这个长方体的底面是正方形，且面积是9cm2，据此求出正方形的边长，它的侧面展开图也正好是一个正方形，即长方体的底面周长与高相等；
那么长方体的侧面展开图，就是由4个完全相同的小长方形组成的一个大正方形，每个小长方形的宽就等于底面正方形的边长3cm，则3×4表示4个小长方形的宽之和，也就是长方体侧面展开图的底面周长，最后根据长方体的侧面积＝底面周长×高计算出长方体的侧面积。
【详解】3×3＝9
所以长方体的底面正方形的边长是3cm；
3×4×（3×4）
＝12×12
＝144（cm2）
故答案为：D
5．A
【分析】分别求出每个选项中的图形露在外面的正方形的个数，然后比较解答即可。
【详解】
A．有11个面露在外面；
B．有10个面露在外面；
C．有10个面露在外面；
D．有10个面露在外面；
11＞10，露在外面的面积最大的是。
故答案为：A
6． 72 216
【分析】求需要角铁的长度，就是求正方体框架的棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出需要角钢的长度；求需要铁皮的面积，就是求正方体框架的表面积，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。
【详解】6×12＝72（dm）
6×6×6
＝36×6
＝216（dm2）
张叔叔准备用角铁焊接一个棱长6dm的正方体框架，并在各个面上钉上铁皮，做这个正方体至少需要角铁72dm，至少需要铁皮216dm2。
7．50
【分析】长方体玻璃鱼缸的前面是一个长为1m，宽为5dm的长方形，所以按照长方形面积＝长×宽计算即可。
【详解】1m＝10dm
10×5＝50（）
所以修理时需要配上的玻璃面积是50。
8．48
【分析】求水池的占地面积也就是求这个长方体的底面的面积，根据长方形的面积公式：s＝ab，把数据代入公式解答即可。
【详解】8×6＝48（平方米）
这个水池的占地面积是48平方米。
9．45
【分析】观察可知，这个长方体的长是9分米，宽是5分米，高是6分米，纸盒上面的长方形相邻的两条边是9分米和5分米，这两条边分别就是这个长方形的长和宽，根据长方形的面积＝长×宽，据此解答。
【详解】（平方分米）
这个纸盒上面的面积是45平方分米。
10．90
【分析】根据题意，长方体的高增加3cm，表面积增加了60cm2，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；增加的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是3cm，长是原来长方体的长或宽，用增加的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上3cm，即是原来长方体的高；
然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原来长方体的表面积。
【详解】原长方体的长、宽：
60÷4÷3
＝15÷3
＝5（cm）
原长方体的高：
5－3＝2（cm）
原长方体的表面积：
（5×5＋5×2＋5×2）×2
＝（25＋10＋10）×2
＝45×2
＝90（cm2）
原来长方体的表面积是90cm2。
11．1.5平方分米
【分析】图中正方体，棱长为0.5分米，正方体表面积＝棱长×棱长×6，运用小数乘法计算得出答案。
【详解】0.5×0.5×6
＝0.25×6
＝1.5（平方分米）
图形的表面积为1.5平方分米。
12．324平方分米
【分析】长方体种植箱没有上面，所以制作这个种植箱需木板的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2。
【详解】13×4＋（13×8＋4×8）×2
＝13×4＋（104＋32）×2
＝13×4＋136×2
＝52＋272
＝324（平方分米）
答：制作这个种植箱需要324平方分米木板。
13．7.92平方分米
【分析】在长方体纸箱的四周贴上商标纸（上下面不贴），就是求它的侧面积，根据侧面积＝（长×高＋宽×高）×2解答即可。
【详解】（2.5×1.2＋0.8×1.2）×2
＝（3＋0.96）×2
＝3.96×2
＝7.92（平方分米）
答：商标纸的面积是7.92平方分米。
14．137.5平方米；1100元
【分析】要计算教室需要粉刷的面积，需要分别计算出屋顶和四壁的面积，然后再减去门窗的面积。屋顶的面积为长乘宽，四壁的面积为两个长乘高的面加上两个宽乘高的面。计算出总面积后，乘每平方米的涂料费就能得出总花费。
【详解】屋顶面积：9×6＝54（平方米）
四壁面积：
前后两个面（长乘高）：2×9×3.5＝63（平方米）
左右两个面（宽乘高）：2×6×3.5＝42（平方米）
总面积：54＋63＋42＝159（平方米）
粉刷面积：159－21.5＝137.5（平方米）
花费：137.5×8＝1100（元）
答：粉刷的面积是137.5平方米，粉刷这个教室需要花费1100元。
15．53.7平方分米
【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长1分米，宽3厘米的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。
【详解】3×3×6＝54（平方分米）
3厘米＝0.3分米
1×0.3＝0.3（平方分米）
54－0.3＝53.7（平方分米）
答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。
16．（1）275厘米
（2）5400平方厘米
（30）A；理由见详解
【分析】（1）根据题意，用丝带包扎棱长为30厘米的正方体礼品盒，观察图形可知，包扎这个礼品盒至少需要丝带的长度＝8条棱长＋打结用的长度，据此解答。
（2）求做这个正方体包装盒，至少需要纸板的面积，就是求正方体的表面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解。
（3）蛋糕的长、宽、高要比正方体包装盒的棱长小，才能放进去；把A、B两种蛋糕的长、宽、高与正方体的棱长进行比较，据此解答。
【详解】（1）30×8＋35
＝240＋35
＝275（厘米）
答：包扎这个礼品盒一共需要彩带275厘米。
（2）30×30×6
＝900×6
＝5400（平方厘米）
答：至少需要5400平方厘米纸板。
（3）A：20＜30，25＜30，26＜30；
B：30＝30，32＞30，5＜30；
答：红红买的是A规格蛋糕。因为蛋糕需放进盒子里，所以蛋糕的长、宽、高要比正方体纸盒的棱长小，A规格蛋糕符合要求，而B规格蛋糕中32＞30，不能放进盒子里。
答案第1页，共2页
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