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第一讲 ：整除特性
知识精讲
整除的概念
如果整数a除以整数,除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a,记作.
如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a.
如果自然数a和b都能被自然数整除，那么它们的和“”或差“”也能被c整除。例如：60能被5整除，40能被5整除，它们的和及差也能被5整除.
尾数判别法
1.能被2,5整除的数的特性：末一位数能被2或5整除.
2.能被4,25整除的数的特性：末两位数能被4或25整除.
3.能被8,125整除的数的特性：末三位数能被8或125整除.
数字求和法
能被3,9整除的数的特性：各位数字之和能被3或9整除.
如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除.对于一个数位较多的数来说，直接用数字求和法比较麻烦，可以用“弃三法”或“弃九法”来计算，即可以先抛弃和为3或9的倍数的数字，再把剩余的数字求和.
多个数的整除特性
我们已经学习了如何利用“整除特性”解决单个数的整除问题.如果涉及多个数的整除问题，我们应该先单独考虑，再找到能同时满足题意的答案，例如：一个数既能被5整除，又能被3整除，可先看满足被5整除的数的特性，确定尾数，再看能被3整除的数的特性.
若一个数能被45整除，由,能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特性即可.
注意若将45拆成,此时15既是15的倍数，又是3的倍数，但是15不是45的倍数，所以需要寻找合适的拆数方法.
题型汇总
题型一：2、5、3的倍数特征
1．一个数个位上是0或5，这个数就是5的倍数吗？一个数个位上是0、2、4、6或8，这个数就是2的倍数吗？举例验证一下。
【答案】是；是；举例见详解
【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
【详解】一个数个位上是0或5，这个数就是5的倍数，如10、15、20、25、135……
一个数个位上是0、2、4、6或8，这个数就是2的倍数，如12、14、16、18、100……
2．文具店运来45块橡皮擦，如果每2块装一盒，能正好装完吗？如果每3块装一盒，能正好装完吗？如果每5块装一盒，能正好装完吗？请说明理由。
【答案】不能；能；能
【分析】45的个位是5，所以它不是2的倍数；4＋5＝9，所以45是3的倍数；45的个位是5，所以45是5的倍数。据此再结合题意，解题即可。
【详解】答：每2块装一盒，不能正好装完；
每3块装一盒，能正好装完；
每5块装一盒，能正好装完。
因为45是3和5的倍数，不是2的倍数。
【点睛】本题考查了2、5、3的倍数特征。个位上是0、2、4、6、8的数，是2的倍数；个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。
题型二：6、9的倍数特征
1．按照得出2、3、5倍数特征的学习经验，探索6的倍数特征。
类别 2的倍数 5的倍数 3的倍数
特征 个位上是0，2，4，6，8的数 个位上是0或5的数 一个数各位上的数的和是3的倍数
举例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141
（1）我的猜想：6的倍数特征是（ ）。
（2）我的验证：用自己喜欢的方式验证你的猜想。
（3）我的结论（ ）。
【答案】见详解
【分析】（1）6＝2×3，6的倍数特征应该与2和3的倍数的特征有关，2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。将2和3的倍数的特征整合后是6的倍数的特征；
（2）举例进行验证即可；
（3）根据验证情况，猜想如果成立，猜想即可以作为结论。
【详解】（1）猜想：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
（2）验证：6、12、18、24、30、36…都是6的倍数。
1＋2＝3、1＋8＝9、2＋4＝6、3＋6＝9
个位数分别是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字的和是3的倍数，猜想成立。
（3）结论：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。。
2．操作。
251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270
271 272 273 274 275 276 277 278 279 280
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290
291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
（1）在表格中用 圈出9的倍数，3的倍数（ ）9的倍数。（填“都是”或“不都是”）。
（2）把上面圈出来的数的各位上的数字相加，你发现了什么？根据你发现的规律，再写两个这样的三位数，这两个数是9的倍数吗？
（3）结合（2）中发现的规律，从下面任选4张数字卡片，组成是9的倍数的四位数，至少写出5个。
【答案】（1）见详解；不都是
（2）当一个数各位上的数之和是9的倍数时，这个数是9的倍数；
783和459都是9的倍数（答案不唯一）
（3）2457、2475、2547、2574、2745、2754等（答案不唯一）
【分析】（1）逐行逐列用数字除以9，能整除，则这个数是9的倍数。据此圈出所有9的倍数。数字各个数位上的数字和是3的倍数，则这个数是3的倍数，据此判断是3的倍数的数是否都是9的倍数，据此解答。
（2）当一个数各位上的数之和是9的倍数时，这个数是9的倍数。据此写出两个符合该特征的数，并用9去除，看能否整除，进而验证9的倍数的特征。
（3）任意挑选四个数，使它们的和是9的倍数，再将四个数排列成四位数即可，当四个数中有0时，在组成四位数时，0不能在千位，据此解答。
【详解】
（1）
根据3的倍数特征，如255、258等等是3的倍数，但不是9的倍数；如252、270（画圈的）等等是3的倍数，也是9的倍数，所以3的倍数不都是9的倍数。
（2）2＋5＋2＝9、2＋6＋1＝9、2＋7＋0＝9、2＋7＋9＝18、2＋8＋8＝18、2＋9＋7＝18。9和18都是9的倍数。
发现：当一个数各位上的数之和是9的倍数时，这个数是9的倍数。
如7＋8＋3＝18，18÷9＝2，得到其中一个三位数783，783÷9＝87，783是9的倍数；
如4＋5＋9＝18，18÷9＝2，得到其中一个三位数459，459÷9＝51，459是9的倍数。
783和459都是9的倍数。（答案不唯一）
（3）因为4＋5＋2＋7＝18，18都是9的倍数，所以选中4、5、2、7四张卡片。组成的四位数有2457、2475、2547、2574、2745、2754等。（答案不唯一）
题型三：4、8、25的整除特性
1．用1～9这九个数字组成三个三位数（每个数字都要用），每个数都是4的倍数。这三个三位数中最小的一个最大是( )。
【答案】584
【分析】能够被4整除的数，其后两位可以被4整除，三个数都是4的倍数，个位必然都是偶数。当个位是2或6时，十位是奇数，当个位是4或8时，十位是偶数。因为1～9中只有4个偶数，所以三个数中有两个的个位分别是2和6，另一个的后两位是84或48。
【详解】因为三个数的百位都是奇数，所以最小的三位数的百位最大是5，（另两个分别是9和7）。9已被百位占用，十位最大的是8，所以三个三位数中最小的一个最大是584。
注：另两个三位数可以是912，736或932，716或916，732或936，712。
【点睛】本题考查的是4的整除特征，4和25是通过末两位进行判断的。
2．在□里填上适当的数字，使得六位数□678□□能被8、9和25整除．
【答案】667800
【详解】☆解法一：根据8、9和25整除的数的特征很容易解出此题．
这个六位数能被25整除，根据能被25整除的数的特征知，六位数的末两位数可能是00、25、50、75；该数又能被8整除，所以这个六位数的末三位数应能被8整除，而在800、825、850、875中只有800满足条件，所以这个六位数的个位、十位都是0；又因为这个六位数能被9整除，所以这个六位数的各位数字之和（不妨设首位为x）为：x+6+7+8=21+x
能被9整除，可推出x只能为6，所以这个六位数为667800．
☆解法二：根据数的整除性质：如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除．因为8×25=200，而且8与25互质，8×25=200，所求的六位数能被200整除，所以个位、十位都应该是0．然后由这六位数能被9整除，和解法一一样的方法可知这个六位数为667800．
题型四：多个数的整除特性
1．在六位数的三个方框里分别填入数字，使得该数能被15整除，这样的六位数中最小的是 。
【答案】302010
【分析】，要使得这个数能被15整除，那么这个数可以被3和5分别整除，分别考虑3和5的整除特征即可。
【详解】设这个数是；
若，那么能被3整除，此时和都取0是最小的；
并且是符合要求的最小的六位数。
【点睛】本题考查的是数的整除，对于一些没有学过的数，可以考虑进行分拆。
2．123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是 .
【答案】0
【详解】因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.
所以,这个数的个位上的数最小是0.
跟踪训练
一、选择题
1．在下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）
A．7.2和9 B．7和14 C．10和0.1 D．60和12
2．有5张卡片上面的数字分别是0，4，5，6，7，从中抽出3张组成所有三位数中能被4整除的有（　　）
A．11 B．12 C．10 D．15
3．一个三位数是25□，在□填入（ ）时，既是2的倍数，又是3的倍数．
A．3 B．4 C．0 D．8
二、填空题
4．若9位数20082008能够被3整除，则里的数是 。
5．六位自然数，能被12整除，末两位数有( )种情况。
6．从1，3，5，7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的有( )个。
7．有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是 .
8．一个五位数7□35△，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么□代表的数字是( )，△代表的数字是( )．
9．已知一个三位数能被45整除,它的各位上的数字都不相同.这样的三位数有 个.
10．要使6位数15 6能够被36整除而且所得的商最大, 内应填 .
11．在947后面添上三个不同的数字，组成一个被2、3、5同时整除的最小的六位数，这个数是 。
三、解答题
12．下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？
13．有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289。其中能被9整除的有哪些？
14．在自然数1～100中，能被或中任一个整除的数有多少个？
15．从0、7、5、3四个数字中选三个数字组成一个三位数，使组成的数能同时被2、3和5整除．这样的三位数有几个？
16．四位数能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？
参考答案
1．D
【详解】60÷12=5
故答案为D
2．D
【分析】利用被4整除的特征：当一个数的末两位能被4整除，这个数就能被4整除，由此特征分类讨论即可解决问题．
【详解】解：能被4整除，那么最后两位数能被4整除（因为100的倍数都能被4整除），
这样，最后两位只能是：04，40，56，60，64、76六种．
当最后两位数为04时：百位在5，6，7选一个，三种；
当最后两位数40时：百位在5，6，7选一个，三种；
当最后两位数56时：百位在4，7选一个，两种；
当最后两位数为60时：百位在4，5，7选一个，三种（因为百位数不为0）；
当最后两位数为64时：百位在5，7选一个，两种（因为百位数不为0）；
当最后两位数76时：百位在5，4选一个，两种；
所以共有3+3+2+3+2+2=15种．
故选D．
3．D
【详解】2和3倍数的特征：个位是偶数，并且各个数位之和要是3的倍数，答案上只有8合适．
4．1/4/7
【分析】能够被3整除的数各位数字之和是3的倍数，，□中填入1、4、7，可以得到212427，是3的倍数。
【详解】根据题目知：20＋□是3的倍数，所以里填1或4或7。
【点睛】本题考查的是3的整除特征，类似的，能够被9整除的数各位数字之和是9的倍数。
5．8
【分析】采用试除法求解，假设后两位是最大情况，取99，用108299除以12，求出余数，用108299减去余数，得到最大值，再依次减去12，得到其它符合要求的数，但要注意不能小于108200。
【详解】试除法：108299÷12＝9024……11
99－11＝88、88－12＝76、76－12＝64、64－12＝52、52－12＝40、40－12＝28、28－12＝16、16－12＝4共8种情况。
【点睛】本题考查的是数的整除，也可以假设是108200，先求出最小的，再求出其它符合要求的数。
6．
【分析】一个数能被3整除，它的各位数之和就能够被3整除，先选出3个和是3的倍数的三个数，然后再考虑如何排列。
【详解】从1，3，5，7中任选3个数可以是1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7；
其中能被3整除的有：1，3，5和3，5，7；
共能组成3×2×1×2＝12个数。
【点睛】本题考查的是数论中的计数问题，可以分成两步考虑，先把数选出来，再考虑如何排列。
7．118
【详解】符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.
所以,所求的和是39+79=118.
8． 0、3、6或9 0
【详解】7□35△，能同时被2、5整除，则△=0；7+□+3+5=15+□是3的倍数，则□=0或□=3或□=6或□=9．
9．15
【详解】因为这个三位数是5的倍数,故它的末位应该为5或0.
若它的末位为0,因这个三位数又是9的倍数.故百位与十位有9种可能:
18,27,…,90.即这样的三位数有9个.
若它的末位为5,同样,因为这个三位数是9的倍数.故它的前两位数字之和为4或13.这时有如下9种可能:13,31,40,49,58,67,76,85,94.即这样三位数也有9个.
各位数字各不同，所以排除585，855，900三个
故这样的三位数一共有9+9-3=15(个).
10．987
【详解】为使商最大,则被除数也应最大,故千位上可填入9;又被除数是4的倍数,故十位应填入1,3,5,7,9.此时对应的百位数应填入5,3,1,8,6.故三个方框中的数为987.
11．947130
【分析】能被2整除的数的特征：末位是0、2、4、6、8；能被5整除的数的特征末位是0或者5；能被3整除的数的特征，这个数各位上的数之和是3的倍数。
【详解】因为被2、5同时整除，所以这个六位数末位一定是0，结合题干这个六位数最小，且添上的是三个不同的数字，所以可以确定百位上最小为1。又能被3整除，而9＋4＋7＋1＋0＝21，比21大且能被3整除的数位24，所以十位上为24－21＝3，因此这个六位数为947130。
12．48，7836，4100；75，650，4100
【分析】若一个数的末两位数能被4或25整除，则这个数就一定能被4或25整除。
【详解】答：其中能被4整除的有：48，7836，4100；
能被25整除的有：75，650，4100。
【点睛】牢记被4或25整除的数的特征。
13．189，72457821，333666
【分析】能被9整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被9整除，那么它必能被9整除。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＝15，不能被9整除；
1＋8＋9＝18，能被9整除；
7＋2＋4＋5＋7＋8＋2＋1＝36，能被9整除；
3＋3＋3＋6＋6＋6＝27，能被9整除；
5＋4＋2＋8＋9＝28，不能被9整除；
答：其中能被9整除的有189，72457821，333666。
【点睛】牢记能被9整除的数的特征。
14．个
【分析】先分别求出能被3整除的数的个数，能被5整除的数的个数，以及能被3和5同时整除的数的个数，然后按照容斥问题求解。
【详解】
（个）
答：能被3或5中任一个整除的数有 47个。
【点睛】本题考查的是二元容斥问题，这里需要注意能被3或5同时整除与能被3和5同时整除的区别。
15．两个：570或750
【详解】根据能被2、3、5整除的数的特征，确定出所组成的三位数要能同时被2、3、5整除，这个三位数的个位数字必须是0．现在一共有四个数字，这个三位数的十位和百位上的数字只能从7、5、3三个数字中选取，且每位上数字的和要能被3整除．故一共有两个：570或750．
16．a＝1，b＝6
【分析】18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.
【详解】要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.
再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.
如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；
如果b=2，只有a=5，此数是7542；
如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；
如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；
如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.
因此其中最小数是7146.此时a＝1，b＝6．

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