资源简介

第9章 图形的变换
9.1平移
第1课时
本节课《平移》是苏科版初中数学七年级下册第九章第一节第1课时，通过生活实例引入平移的概念，帮助学生在直观感知的基础上理解平移的几何特征．教材结合方格纸操作，引导学生探索平移的性质：平移变换前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等．此外，教材还通过丰富的图形变换实例，帮助学生掌握平移的方向和距离，并能够利用这些性质解决简单的几何问题．
教材在呈现平移内容时，注重与学生已有的知识基础和生活经验相结合．例如，在引入平移概念时，通过扶梯、传送带运输等生活场景，让学生初步感知平移现象．随后，通过画平行线的操作活动，引导学生逐步探索平移的性质，培养学生的观察、分析和动手能力．教材还设计了多样化的练习题，帮助学生巩固平移知识，并通过实际问题的应用，提升学生的空间观念和几何直观能力．
学生在小学阶段已经接触过简单的平移现象，对平移有一定的生活经验和直观感知．此外，学生在初中数学学习中已经掌握了平行线、线段等基本几何知识，为理解平移的性质提供了基础．然而，学生在抽象思维和逻辑推理能力上还不够成熟，对平移的数学定义和性质的理解可能较为肤浅．教师在教学中需要结合学生的认知特点和知识储备，通过直观演示、动手操作和小组讨论等方式，帮助学生深入理解平移的概念和性质，同时培养他们的空间观念和几何直观能力．
1.通过具体实例认识平移，掌握它的性质（平移前后的两个图形重合，对应线段、对应角相等），体会变化中的不变性，进一步发展空间观念.
2.能按照要求作出简单图形平移后的图形，并能应用平移的知识解决数学问题，发展动手操作能力，培养几何直观和审美意识，提高学生解决问题的能力.
3.会运用平移知识进行图案设计，提高学生的创新意识和空间想象能力．
重点：通过具体实例认识平移，掌握它的性质（平移前后的两个图形重合，对应线段、对应角相等）
难点：能按照要求作出简单图形平移后的图形，并能应用平移的知识解决数学问题.
本章引入
平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式．本章将在小学学习的基础上进一步研究这些图形变换的性质和应用．
我们可以通过折纸、剪纸、用方格纸画图、尺规作图等表示图形的变换过程，观察变换前后图形的关系，探索图形变换的性质．
图形的变换有助于我们从运动的角度来研究几何，发现自然界和现实生活中的对称美．图形的变换也是艺术、设计的常用工具．
折纸与剪纸是中国民间传统艺术，其中蕴含着丰富的图形变换知识．
师生活动：教师带领学生回顾图形的运动变换，通过章首语，说明本章的学习对象及其与小学的联系；阐明本章的学习特点，通过操作、观察，利用方格纸等直观工具研究变换的性质；交代图形变换的价值，图形变换不仅是研究几何的有力工具，更具有重要的应用价值．
设计意图：让学生对本章有一个初步的感知，有利于激发学生的学习兴趣，学生在头脑中建立全章的思维导图，形成体系．
情境导入
这些图片中的运动有什么共同的特点呢？
答：都在沿一定方向平行移动一定的距离.
师生活动：教师投影，学生倾听，独立思考并回答．
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为探究平移的概念做好铺垫．
探究新知
活动一：探究平移的概念
　　如图表示的是画平行线的过程，其中哪些图形的位置发生了变化？移动前后的图形有什么关系？
答：三角尺ABC的位置发生了变化.
移动前后的图形形状和大小不发生改变,只有位置发生了变化.
师小结：
平移的概念：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移．
平移的要素：①平移的方向；②平移的距离．
问题：如图，平移△ABC得到△A′B′C′ ，点A、B、C的对应点分别是 .
平移的方向： ；平移的距离： .
答：点A′、B′、C′ 射线BB′的方向，线段BB′（CC′）的长度.
师小结：平移前后的两图形中，原图形上的某一点到它对应点的方向就是平移的方向，任意一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离.
师生活动：教师带领学生回顾画平行线的过程，学生倾听，小组交流，学生自主归纳平移的定义，找到平移的要素.
设计意图：回顾三角板的“平行移动”过程理解平移的定义，平移描述的是两个图形之间的关系，其中一个是由另一个“平行移动”得到的，所以它们只是位置不同，其他几何量都不变．引导学生感悟平移的定义推导出平移要素.
活动二：探究平移前后对应线段、对应角的关系
如图，平移△ABC得到△A′B′C′ ，点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′，
对应线段： ,
∠对应角： .(A′B′与AB，A′C′与AC，B′C′与BC，∠B′A′C′与∠BAC，∠A′B′C′与∠ABC，∠A′C′B′与∠ACB.）
思考：对应线段、对应角之间有什么关系呢？
师小结：由平移的定义可知：平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等.
因为平移△ABC得到△A′B′C′，所以A′B′=AB，A′C′=AC，B′C′=BC，∠B′A′C′=∠BAC，∠A′B′C′=∠ABC，∠A′C′B′=∠ACB.
　　讨论：在下图中，哪些三角形可以由△ABC平移得到 写出平移前后的对应点、对应边与对应角.
答：
解：△DAE可以由△ABC平移得到，对应点：点D和点A，点A和点B，点E和点C；对应边：DA和AB，AE和BC，DE和AC；对应角：∠DAE和∠ABC，∠AED和∠BCA，∠EDA和∠CAB.
△FGA可以由△ABC平移得到，对应点：点F和点A，点G和点B，点A和点C；对应边：FG和AB，GA和BC，FA和AC；对应角：∠FGA和∠ABC，∠GAF和∠BCA， ∠AFG和∠CAB.
师小结：书写对应边、对应角时，一般把对应点写在对应的位置上.、
师生活动：教师投影演示平移过程，学生观察思考，完成填空，然后师生互动交流，由平移的定义可知：平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等．
设计意图：引导学生感悟平移的定义是推导平移的性质最为基本的依据，不能仅凭观察得到平移性质，平移的性质反映的是平移运动的共性，其中由“两个图形可以重合”实际上可以推出“对应线段相等，对应角相等”的性质，此性质可作为后续相关推理的依据．通过讨论的活动，让学生加深对“对应线段相等，对应角相等”的理解.
应用新知
例1 如图，画出将线段AB向右平移5个单位长度后的图形．
答：(1)分别画出点A，B向右平移5个单位长度后的点A'，B'，(2)连接A'B'，线段A'B'即为所求.
师小结：要画出一条线段平移后的对应线段，只需画出两个端点的对应点，连接这两个对应点就得到对应线段.
师生活动：学生先独立思考，完成画图，再小组交流讨论，师生校对答案．
设计意图：本题的网格为作图提供脚手架，也有助于分析各种变换的基本性质.
例2 在图中，沿AA'方向平移△ABC，使点A移动到点A'的位置，画出平移后的△A'B'C'，并讨论对应点连线段AA'，BB'，CC'之间的关系．
师适当提示解题的关键是找到三个顶点的对应点.
答：如图，△A'B'C'即为所求. AA' = BB' =CC'， AA'∥BB'∥CC'.
师生活动：学生先独立思考，完成画图，再小组交流讨论，师生校对答案．
师总结：平移作图的一般步骤：
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)；
(3)移：过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图顺次连接个各关键点的对应点．
设计意图：本题是方格纸中的三角形平移，与上题的线段平移结合，通过根据要求在网格中作出简单图形平移后的图形，认识到图形的平移本质是图形关键点的平移，并能总结平移作图的一般步骤．
课堂练习
　　1.图中哪些图形可以由其他图形平移得到 写出平移前后的两个对应图形.
　　解：图中②表示的三角形是由①表示的三角形平移得到的；图中④表示的三角形是由③表示的三角形平移得到的；图中②④组合的图形可由①③组合的图形平移得到的.
　　2.在图中画出线段AB 向左平移4个单位长度后得到的线段A'B'；再画出线段A'B'向上平移3个单位长度后得到的线段A″B″.
　　
　　解：A'B'、A″B″如图所示.
　　
限时训练
　1.下列图形中，不能通过基本图形平移得到的是( )
如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AD=CF=BE，AB∥DE；②∠ACB=∠DEF；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长.其中说法正确的有（ ）
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④
3.如图，将正方形ABCD沿BD方向平移得到正方形A′B′C′D′，已知B′D=3 cm，A和A′之间的距离为2cm，则B′D′= cm.
答：1.C. 2.B . 3.5.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
运用平移的相关知识进行图案设计.
本节课教学以“平移”的概念为教学核心，通过多种教学手段引导学生理解平移的定义、性质以及在方格纸中作图，要求学生能够准确描述平移的特征，如“平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等”，并且能够在简单的几何图形中识别平移的方向和距离．学生在学习上的难点是平移的方向和距离存在模糊之处，在描述平移过程时，常常混淆方向的表述，或者不能准确测量平移的距离，故而在教学设计中增加了针对性的练习，帮助学生进一步巩固平移的特征．
为了让学生更好地理解平移，本课的教学设计采用了多媒体演示、动手操作画图和小组讨论等多种教学方法．多媒体演示直观地展示了平移的过程，帮助学生快速建立起平移的视觉印象．在方格纸上画图就是让学生通过动手操作，亲身体验平移的特征，这种操作方式极大地激发了学生的学习兴趣，课堂氛围活跃，学生参与度高．小组讨论环节，学生在讨论中积极发言，这不仅拓展了学生的思维，还深入思考平移的原理和应用．
部分学生在解决复杂的平移问题时存在困难，尤其是在作图部分，这可能是因为他们在课堂上对平移的理解还停留在直观层面，缺乏对平移性质的深入思考和系统总结，在教学中，要更加关注学生的学习需求，优化教学方法，提高教学质量，让学生在数学学习中不断进步.第9章 图形的变换
9.1平移
第2课时 平移的基本性质
本节课是苏科版初中数学七年级下册第九章第一节的第二课时，教材首先通过图形的平移操作，引导学生观察平移前后图形的位置变化和形状、大小关系，总结出：“平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)且相等”．本节课还设计了丰富的例题和练习，帮助学生巩固对平移基本性质的理解和应用．
学生在上节课已经学移的概念，对平移有一定的感知．此外，学生在初中数学学习中已经掌握了平行线、线段等基本几何知识，为理解平移的基本性质提供了基础．然而，学生对图形变换的理解还处于初步阶段，尤其是对平移的性质：平移前后的两个图形中，两组对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等，需要通过直观演示和动手操作来加深理解．教师在教学中需要结合学生的认知特点和知识储备，通过直观演示、动手操作和小组讨论等方式，帮助学生深入理解平移的性质，同时培养他们的空间观念和几何直观能力．
1.通过具体实例，探索平移的基本性质，体会变化中的不变性，进一步发展空间观念．
2.能按照要求作出简单图形平移后的图形，并能应用平移的性质解决数学问题，发展动手操作能力，提高学生解决问题的能力．3.能用直尺、圆规或三角板作一个简单图形平移后的图形，发展学生的几何直观．
3.鼓励学生运用平移的性质等相关知识进行图案设计等创造性活动，提高学生的创新意识和空间想象能力．
重点：通过具体实例，探索平移的基本性质，体会变化中的不变性，进一步发展空间观念.
难点：能按照要求作出简单图形平移后的图形，并能应用平移的性质解决数学问题．
情境导入
如图，沿AA'的方向平移△ABC，使点A移动到点A'的位置，得到△A'B'C'．图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？
答：A'B'=AB、A'C'=AC、C'B'=CB、
∠B'A'C'=∠BAC、∠B'=∠B、∠C'=∠C.
师生活动：教师投影，学生独立思考，在学案纸上完成作图．
设计意图：通过学生互助共同复习平移的性质（平移前后两个图形可以重合，对应线段相等，对应角相等），为探究平移的基本性质做好铺垫．
探究新知
活动一：探究平移基本性质
如图，沿AA'的方向平移△ABC，使点A移动到点A'的位置，得到△A'B'C'．请你分别连接BB'，CC'．线段BB'，CC'与AA'有怎样的位置关系？
答：对应点的平移方向都与AA'相同，所以BB'∥AA'，CC'∥AA'．
师追问：再多取几组对应点连接，这些线段还具备这种关系吗？
答：除了平行，还可能在同一直线上．
师继续追问：线段BB'，CC'与AA'有怎样的数量关系？
答：BB'=CC'=AA'．
师继续追问：再多取几组对应点连接，这些线段还具备这种关系吗？
答：相等，因为任意一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离.
师生活动：教师带领学生动手操作，学生独立思考后，小组交流，学生自主归纳平移性质中的位置关系，学生代表回答．
设计意图：要得到平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)，两组对应点的连线段相等，重点是把平移的方向化归为平行线段，平移的距离化归为平行线段的长度，为用尺规作平移图形做准备．
活动二：探究平移的基本性质
一般地，图形的平移具有如下性质：
平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)且相等．
师小结：平移的性质包括两种关系：
(1)位置关系：平行(或在同一条直线上)；(2)数量关系：相等．
师生活动：教师带领学生动手操作，学生独立思考后，小组交流，学生自主归纳平移基本性质学生代表回答．
设计意图：引导学生归纳总结平移的基本性质，有助于学生更好掌握平移的基本性质.．
应用新知
例1 如图，在长方形ABCD中，点P在边AB上，连接DP，平移△APD，得到△BP'C．
(1)写出△APD平移后的对应顶点、对应线段和对应角；
(2)写出图中与PP'相等的线段、与∠APD相等的角．
答：(1)点A，P，D的对应点分别为B，P'，C；AP，PD，DA的对应线段分别为BP'，P'C，CB；∠A，∠APD，∠ADP的对应角分别为∠CBP'，∠BP'C，∠BCP'．
(2)与PP'相等的线段：PP'＝AB＝DC；与∠APD相等的角：∠APD＝∠BP'C＝∠CDP.　
师生活动：学生独立思考，一问一答，如遇到困难，建议小组讨论．
设计意图：在理解本题的题意时，要具体阐明平移△APD得到△BP'C的过程，边读句边画图，并用对应点描述平移的方向和距离，如平移的方向是点A到点B的方向，平移的距离是线段 AB 的长度．
例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．平移四边形ABCD得到四边形A'B'C'D'．你能找到哪些平行且相等的线段？画出来并用图中的字母表示．
答：依据平移的定义，平行且相等的线段有：AD与A′D′，BC与B′C′，AB与A′B′，DC与D′C′；
依据平移的基本性质，平行且相等的线段有：AA′与BB′、CC′、DD′．
师小结：寻找平行且相等的线段需要分类讨论，既不重复，又不遗漏．
师生活动：教师带领学生读题并分析，结合动态演示，学生独立思考后，学生代表回答．
设计意图：引导学生分类讨论平移的性质: (1)AA'与BB'平行且相等的依据是平移的基本性质; (2)DC与 D'C'平行且相等的依据是平移的定义，加上方格纸的目的是方便学生观察，根据学情，也可以移除方格纸，让学生连接对应点后再讨论．
例3 在图中，平移线段AB，使点A移到点A'的位置，
画出平移后的线段．
(2)设D为线段AB的中点，线段AB平移到A'B'后，点D的对应点是哪一个点？
答：(1)如图，连接AA'，过点B画BB'∥AA'，并使得BB'＝AA'，连接A'B'．线段A'B'即为所求.
(2)点D的对应点是线段A'B'的中点．
师生活动：学生先独立思考，尝试完成画图，学生代表展示，师生校对答案．
师总结：(1)任意一对等长的平行线段都可以看作平移的结果．(2)图形上的每一个点都可以在对应图形上找到唯一的对应点．
平移作图的一般步骤：
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图顺次连接对应点．
设计意图：本题强化变换中对“对应点”的理解:图形上的每一个点都可以在对应图形上找到唯一的对应点: 目前只要求讨论一些特殊的对应点，如除线段中点外，还可以确定三等分点、四等分点的对应点.归纳总结平移作图的一般步骤.
例4 如图，将周长为8cm的三角形ABC沿BC方向向右平移3cm，得到三角形A'B'C'，求四边形AA'C'B的周长.
解：由平移的性质可知，A'C'=AC，AA'=BB'=3cm，B'C'=BC，
因为△ABC的周长为8cm，所以AB+BC+AC=8(cm)，
所以四边形AA'C'B的周长为AB+BC'+A'C'+A'A=AB+BB'+B'C'+A'C'+A'A=8+6=14(cm)，
答:四边形AA'C'B的周长为14cm.
师生活动：学生先独立思考，尝试完成画图，学生代表展示，师生校对答案．
设计意图：运用平移的性质解决数学问题，进一步提高分析问题和解决问题的能力
课堂练习
1.如图，平移四边形ABCD，得到四边形A'B'C'D'．你能找到哪些平行且相等的线段？画出来并用图中的字母表示．
答：1.AD与A′D′，BC与B′C′，AD与A′D′，BC与B′C′；
AA′与BB′、CC′、DD′．
2.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，平移△ABE，使点B移到点C的位置，画出平移后的图形，并写出相等的线段和相等的角．
答：画出平移后的图形△DCF,如图所示.相等的线段：AD＝BC＝EF，AB＝DC，AE＝DF，BE＝CF，相等的角：∠B＝∠DCF＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，∠AEB＝∠DAE＝∠ADF＝∠AEF＝∠F，∠BAE＝∠CDF．
限时训练
1.如图，将△ABC 沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF，则下列的结论：①AD=CF；②AC∥DF ；③∠ABC=∠DEF；④∠DAE=∠AEB．其中，正确的有( )
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②
2.如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移动到点A′，画出平移后的四边形．
3.如图，在△ABC中，BC＝8 cm．将△ABC沿BC向右平移，得到△DEF（点E在线段BC上），若要使AD＝3CE成立，则平移的距离是（　）
A．4 cm　　 B．5 cm C．6 cm 　D．7 cm
答：1.A .
2.如图，连接AA'，过点B画BB'∥AA'，并使得BB'＝AA'，同理作CC'，DD'，连接A'B' ，B'C'，C'D'，D'A'则四边形A'B'C'D'即为所求．
3.C
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
平移作为几何变换的基础内容，对于学生空间观念的培养具有关键作用.在教学过程中，通过多媒体演示平移的动态过程，让学生直观地感受到平移前后的两个图形两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)且相等，这种直观的演示方式极大地激发了学生的学习兴趣，使他们能够迅速抓住平移的本质特征．
教学方法上，采用小组合作探究的方式，让学生自主探索平移的基本性质，学生们在小组讨论中积极发言，互相启发，通过动手操作和交流分享，得出了平移的基本性质．这种方式不仅培养了学生的合作意识和探究能力，还增强了他们对知识的理解和记忆．在组织小组合作时，需要明确任务分工和要求，加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能积极参与到学习过程中，真正发挥小组合作的优势．
教学评价方面，要注重对学生学习过程的评价，及时给予学生反馈和鼓励．当学生在课堂上回答问题正确时，给予肯定和表扬，增强他们的自信心；当学生遇到困难时，要耐心地引导他们思考，帮助他们找到解决问题的方法．通过这样的评价方式，学生的学习积极性得到了充分调动，课堂氛围也更加活跃．

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