资源简介

第九章 图形的变换
9.3旋转
9.3.2 旋转的基本性质
本节课是苏科版初中数学七年级下册第九章第三节第二课时的内容，它是在学生学习了旋转的基本概念及其初步应用的基础上进行的，深入探讨了旋转的基本性质及其在图形变换中的应用.这些内容既是对前面所学知识的巩固、深化和发展，又是为后续学习更复杂的几何变换（如中心对称、相似变换）奠定了基础，因此本节课具有承前启后的重要作用.
本课通过创设问题情境，如“旋转前后的图形还有具备哪些性质？”引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入旋转的基本性质.这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解旋转的现实意义，激发他们的学习兴趣.在探索旋转性质的过程中，学生需要观察、分析和归纳旋转图形的特征，这有助于培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力.
本节课不仅传授了重要的几何知识，更注重学生数学素养的全面提升.通过实际问题的引入和探索，学生不仅能够掌握旋转的基本性质，还能学会如何将数学知识应用于解决实际问题，从而提升他们的数学应用能力和创新思维.同时，旋转作为几何变换的重要内容，为学生今后学习更复杂的几何知识奠定了坚实的基础。通过本节课的学习，学生能够进一步理解几何变换的本质，为后续学习图形的综合变换提供重要的知识储备.
学生在学习旋转的基本性质时，已具备一定的知识基础和学习能力。因为学生已经学习了旋转的基本概念，掌握了旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），并能够初步运用这些知识解决简单问题.此外，学生在前面几何内容的学习中，已经积累了一定的几何直观能力和空间想象能力，能够通过观察和分析图形的特征，理解几何变换的本质.这些知识为学习旋转的基本性质提供了重要的支撑.
1.理解并掌握旋转的基本性质，并能应用其解决简单的旋转问题，培养了几何直观，提高学生解决问题的能力.
2.能够利用旋转的基本性质画出简单的平面图形旋转后的图形，培养几何直观和空间观念
3.通过解决实际问题，体会数学的应用价值，培养用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的能力.
重点：能够利用旋转的基本性质画出简单的平面图形旋转后的图形.
难点：理解并掌握旋转的基本性质，并能应用其解决简单的旋转问题
情境导入
课件出示动图：（师可以适当的引导学生说说图中有哪些相等的线段和角）
师小结：旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等，除此之外，旋转还具备哪些性质呢？
师生活动：独立思考，学生代表讲述，学生倾听.
设计意图：通过复习上节课的内容，自然的引出本节课的主题，激发学生的学习兴趣和探究旋转其他性质的欲望.
探究新知
活动一：探究旋转的基本性质
在正方形ABCD中，点E在边CD上，△AED绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AFB.
问题：AD与AB，AE与AF的数量关系？
答：AD=AB，AE=AF即对应点到旋转中心的距离关系.
问题：∠BAD与∠FAE的数量关系？
答：∠BAD=∠FAE，即旋转角相等
问题3：将△ABC绕点O顺时针转某个角度得到△A'B'C'，上述结论还成立吗？
答：成立.
AO=A'O,BO=B'O,CO=C'O；∠AOA'=∠BOB'=∠COC'.
师小结：旋转的基本性质：
旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角.
师生活动：同伴互相说一说，学生代表讲述，学生倾听，教师板书.
设计意图：通过3个问题，引导学生从具体实例出发，深入探究旋转的基本性质,帮助学生理解旋转前后对应点到旋转中心的距离关系以及旋转角的性质，培养观察能力、归纳总结能力和几何直观能力.同时，通过探索旋转的基本性质，为后续学习更复杂的几何变换（如中心对称、旋转作图）奠定理论基础，激发学生的学习兴趣和探究欲望.
活动二：利用旋转的基本性质画图
问题：在图中，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．
作法：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAD，使得∠BAD=60°.
在射线AD上取点B′，使得AB′=AB．
线段A′B′即为所求.
问题：在图中，画出线段AB绕点O按逆时针方向旋转60°后的图形 .
作法：
(1)连接OA、OB；
(2)分别将AO、BO分别绕点O逆时针旋转60°得到射线OC、OD；
(3)在射线OC、OD上分别截OA'=OA,OB'=OB；
(4)连接A'B'，则A'B'即为所求.
讨论：将一条线段绕其一个端点旋转60°，连接对应点可以得到怎样的图形呢？ 旋转90°呢
△ABB'是等边三角形． △ABB'是等腰直角三角形．
思考：如果都是逆时针旋转，得到的三角形的形状会变吗？
答：不变
师小结：无论是逆时针还是顺时针旋转，得到三角形的形状是不变的.
旋转作图的基本步骤：
(1)定：明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
(2)找：找出原图的关键点;
(3)作：作出关键点的对应点；
(4)连：连接对应点画出新图形;
(5)写：写出结论.
对应点的作法：
①连接图形的每一个关键点与旋转中心；
②把连线绕旋转中心，按旋转方向旋转
相同的角度（作旋转角）；
③在作得的角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各关键点的对应点.
师生活动：独立思考，学生代表讲述，学生倾听.
设计意图：让学生掌握旋转作图的基本方法，培养几何直观能力、空间想象能力和问题解决能力.同时，为后续学习更复杂的几何变换奠定基础.这一设计旨在帮助学生将数学知识应用于实际问题，提升数学素养和作图技能.
应用新知
例1 如图，把△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△AB'C'，已知∠BAC=50°，求∠CAB'，∠BAC'的大小.
解：根据题意，点B，C的对应点分别为B'，C'，
所以∠BAB'=60°.
因为∠CAB'=∠BAB'－∠BAC，∠BAC=50°，
所以 ∠CAB'=60°－50°=10°.
因为 ∠BAC'=∠BAB'+∠B'AC'，∠B'AC'=∠BAC=50°，
所以 ∠BAC'=60°+50°=110°.
师生活动：学生独立完成后，教师指定学生讲解，全班集体交流.
设计意图：通过例题讲解，掌握旋转的性质并能利用其解决数学问题，培养空间想象能力和逻辑推理能力，并提高他们的数学表达能力.
课堂练习
如图，△ABC是由△DEF经过旋转得到的.
(1)写出两个三角形的对应点、对应边和对应角;
(2)写出相等的线段和相等的角.
2. 如图，在方格纸中先把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1;再把△A1B1C1按同样方式旋转，得到△A2B2C2;把△A2B2C2按同样方式旋转，得到△A3B3C3.画出所有的三角形，它们所围成的是什么图形
答案：
1.解：(1)对应点：点D和点A，点F和点C，点E和点B.
对应边：DE和AB，FE和BC，DF和AC.
对应角：∠FDE和∠CAB，∠DFE和∠ACB，∠FED和∠CBA
相等线段：DE=AB，FE=BC，DF=AC，OD=OA，OF=OC，OE=OB.
相等的角：∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠ACB，∠FED=∠CBA，
∠DOA=∠FOC=∠EOB，∠DOF=∠AOC，∠FOE=∠COB.
2.解：所有的三角形如图所示，它们所围成的图形是一个大正方形内含一个小正方形.
限时训练
1.如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，已知AB=4 cm，BB′=1 cm，则A′B的长度是( )
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
2.如图，△OAB绕点O顺时针旋转得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°．则∠AOB的度数是（　　）
A．85° B．60° C．55° D．40°
3.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( 　)
A．55° B．60° C. 65° D．70°
（第2题） （第3题）
4.如图，△ABC 绕点C旋转后，顶点A的对应点为点D．试确定顶点B对应点的位置以及旋转后的三角形．
答案：1. C
C
C
解：(1)如图，连接CD；
(2)以CB为一边，作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射线CE 上截取线段CF，使得CF＝CB，点F即为点B的对应点；
(4)连接 DF，CF，则△DFC 即为旋转后的三角形．
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
用纸片或模型模拟旋转现象
如用纸片剪出一个三角形，绕一个固定点按不同角度旋转，观察旋转前后图形
的位置和形状变化,理解旋转的基本性质.
本课时通过引入问题——“旋转还有哪些特殊的性质呢？”来引导学生深入思考旋转的基本性质.这种创设性问题的设计有助于学生从实际问题中抽象出数学概念，激发他们的学习兴趣，同时培养他们自主探究和解决问题的能力.
通过复习之前的知识来引入新知识，帮助学生理解旋转的基本性质，包括旋转前后图形的形状和大小不变、对应点到旋转中心的距离相等、对应线段之间的夹角等于旋转角度等.教学中，鼓励学生通过观察和讨论，自主推导出这些性质，从而加深他们对知识的理解.
本课时的问题以及例题，帮助学生掌握如何利用旋转的性质进行图形变换和解决实际问题。教学中，更多地让学生自己尝试解决问题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高他们的独立思考和空间想象能力。
通过思维导图和快速回顾的方式，帮助学生系统地梳理本节课的知识点.例如，旋转的基本性质？旋转的作图方法有哪些步骤？注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况.教学中，追寻数学本质，力争全体学生正确理解旋转性质的形成过程，并规范使用旋转的作图方法.

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