资源简介

第九章 图形的变化
9.3旋转
9.3.3 中心对称与中心对称图形
本节课是苏科版初中数学七年级下册第九章第三节第三课时，是本章的最后一项内容．本课教材通过丰富的活动，引导学生探究中心对称及中心对称图形的性质，从而培养学生的观察能力、操作能力和推理能力.与轴对称学习路径类似，本课也是先学习中心对称，再研究中心对称图形.前者是两个图形之间的关系，后者虽然是一个图形，但可以看作两个图形(一个图形的两个部分). 中心对称的基本性质不仅可用于判断两个图形是否成中心对称，也给出了作一个图形的中心对称图形的方法.本课在轴对称及旋转一课的的基础上进行学习，在学习过程中，结合旋转及轴对称知识，引导学生注意中心对称是一种特殊的旋转，具有旋转变换的所有性质，如对应图形可以重合，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，增强知识的系统性，帮助学生构建知识体系.
本课第一个讨论环节内容本身是开放的，但在教材中，给出对应点与对称中心的关系及中心对称区别于旋转的特殊性质两个方面的结论，在教学中需要注意把控讨论方向. 第二个环节意在为后续八年级利用中心对称的视角研究平行四边形做铺垫，不对平行四边形进行严格定义，基于小学阶段已经了解的简单的性质，这里只要求和中心对称建立直观联系，不要求学生给出解释和论证.
尝试环节中，要求学生应用所学知识通过一组对应点找到已知的中心对称图形对称中心(对应点连线段的中点)以及已知对称中心确定任意一点的对应点，在操作中发展学生图形空间观念及综合运用知识解决问题的能力.
学生在学习本节课时，已具备一定的知识基础和学习能力．学生在小学已初步接触中心对称及平行四边形中心对称图形，了解一些相关的简单性质. 在本章中，学生已经掌握了轴对称及旋转的相关知识，对对称性及旋转的性质有一定的认识.但由于中心对称与轴对称在概念和性质上有较大的区别，学生在理解和掌握上可能会有一定的难度.因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知差异，针对不同学生的学习情况，采取合适的教学策略，引导学生逐步理解和掌握中心对称的概念和性质.
1.通过具体实例认识中心对称和中心对称图形，明确它们之间的区别与联系，培养了几何直观.
2.探索中心对称的性质，并会画已知图形关于某点成中心对称图形，进一步培养学生解决问题的能力.
3.经历观察、操作、思考、讨论等数学活动，发展学生图形空间观念及综合运用知识解决问题的能力.
重点：了解中心对称是特殊的旋转，探索并理解中心对称的性质；了解中心对称图形，探索中心对称图形的性质.
难点：理解中心对称与旋转的关系，理解中心对称与中心对称图形的的区别与联系.
情境导入
双棒螺旋星系是棒旋星系的一种特殊形态，星系中的核球向外成对数螺旋在星系盘内延展，其中心存在一根或两根由恒星聚集而成横越过星系中心的明亮短棒.从短棒末端涌现出旋臂，向外伸展 . 这根短棒进一步分裂为两部分，形成双棒螺旋结构，这种螺旋结构使得星系的核心区域显得更为复杂和有趣.
类似的螺旋结构的图案还广泛出在现实生活中，如中国传统双鱼剪纸窗花等，其中存在除了轴对称以外的另一种对称.观察下图，你有什么发现
答：将其中一条鱼(一个星系)绕某点旋转180°可以与另一条鱼(一个星系)重合.
答：绕某点旋转180°.
师生活动：教师展示情境，学生独立思考，举手回答．
设计意图：通过对宇宙星系及身边窗花图片的观察，引导学生对中心对称产生初步直观的认识，为后续在感悟的基础上揭示中心对称的概念做铺垫.
探究新知
活动一：认识中心对称
师小结：
一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的, 则称这两个图形成中心对称这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点.
师提示：1.中心对称是对于两个图形而言的，它表示的是两个图形之间的对称关系；
2.中心对称是旋转的一种特殊情形, 具有旋转变换的所有性质.
由于中心对称是特殊的旋转，所以具有旋转的所有性质.例如，成中心对称的两个图形可以重合，对应边相等，对应角也相等.
如图，△ABC绕点O旋转180°后得到△A'B'C',△ABC 与△A'B'C'关于点O成中心对称, 点O是对称中心,点A关于点O 的对称点是A',A'B'是AB 的对应线段,∠B'A'C'是∠BAC的对应角.
师追问：你还能找出其他对应点、线段或对应角吗？
答：点B关于点O 的对称点是B', 点C关于点O 的对称点是C',
C'B'是CB 的对应线段, A'C'是AC的对应线段,
∠B'C'A'是∠BCA的对应角,∠A'B'C'是∠ABC的对应角.
（师根据学生情况可以继续追问哪些是相等线段及相等的角）
师生活动：学生独立思考，举手回答，教师归纳总结．
设计意图：通过对具体实例的观察、思考，引导学生感悟中心对称，在感悟的基础上揭示中心对称的概念. 引导学生将新知识与旋转变化建立知识间的关联，更好地理解新概念及其特殊性,并借助旋转的性质为认识中心对称的特殊性质做铺垫.
活动二：探究中心对称的性质
讨论：如图，连接点B,B',观察AA',BB',CC',你能发现什么特征
答：对应点与旋转中心连线所成的角都等于180°,三个点共线. A A ' , B B ' , C'C'都过点O，O是它们的中点.
师小结：
成中心对称的两个图形中,对应点的连线段经过对称中心, 且被对称中心平分.
问题：在图中,画△ABC关于点C对称的三角形.
答：解：如图，延长AC到点A',使CA'=CA.点A'即为点A的对称点.
类似地,找到点B关于点C的对称点B',顺次连接点A', B',C.△A'B'C即为所求.
师生活动：学生独立思考，小组讨论，代表发言，教师归纳总结．
设计意图：在对图形的观察、思考的基础上，引导学生积极讨论，自主发现中心对称的性质，提升学生对中心对称的性质的应用能力.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
活动三：认识中心对称图形
在下图中，连接AB',BA',得到四边形 ABA'B',将四边形ABA'B'绕点C旋转180°,你有什么发现
答：将四边形ABA'B'绕点C旋转180°后能够与其自身重合.
思考：你还见过哪些具有这种特征的图案或图形
旋转后的图形与原图形重合（就是其本身）,长方形、正方形、平行四边形、圆形、太极图、双鱼图……（言之有理即可）.
师小结：
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形就是其本身,那么这个图形叫作中心对称图形， 这个点就是它的对称中心.
尝试：图中的三个图形均为中心对称图形,请完成下列操作:
(1)分别找出它们的对称中心;
(2)分别在各个图形上任取一点,找出它的对称点.
师适当的引导学生：对称点的连线经过对称中心, 且被对称中心平分.
答：（1）它们的对称中心为点O,如图所示.
（答案不唯一）
师小结：确定对称中心的方法：
连接两对对应点，这两条线段（不在同一直线上）的交点即为对称中心；
连接任意一对对应点，取这条线段的中点，此中点即对称中心.
师生活动：学生独立思考，举手回答，教师归纳总结．
设计意图：在成中心对称的两个三角形的基础上生成新图形，从而引出新概念中心对称图形，并根据中心对称的性质发现中心对称图形的概念.在此基础上引导学生根据性质，尝试寻找对称中心及对称点，发展学生灵活应用知识解决问题的能力．
活动四：中心对称与中心对称图形的区别与联系
问题：中心对称与中心对称图形的区别与联系是什么
答：
师生活动：学生先小组讨论，汇报交流，师引导学生总结．
设计意图：通过归纳总计中心对称与中心对称图形的区别与联系，让学生明确概念之间的关系，提高学生归纳总结以及语言表达能力.
应用新知
例1 如图,画四边形ABCD关于点O对称的四边形.
答：解：连接AO,延长AO到点A',使A'O= AO,点A'即为点A的对称点,类似地,找到点B, C, D关于点O的对称点B', C', D',顺次连接点A', B',C', D'.四边形A'B'C'D'即为所求.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生对中心对称的性质的应用能力及动手操作能力．
课堂练习
1. 如图,在△ABC中,O是AC的中点,画出△ABC关于点 O对称的△A'B'C'.
2. 线段是中心对称图形吗 如果是,找到它的对称中心.
3. 如图,四边形①,②,③,④的顶点都在格点上,直线x,y是网格线,指出图形①,②,③,④中每两个图形之间的对称关系.
答：1. 连接BO,延长BO到点B',使BO'= BO,点B'为点B的对称点，
点A '为点A的对称点,点C为点C '的对称点,连接C'B',A'B',△A'B'C'即为所求.
2.是，对称中心是线段的中点.
3.解：图①与②、④与③关于直线y成轴对称；
图①与④、②与③关于直线x成轴对称；
图①与③、②与④关于点O成中心对称.
限时训练
1. 在我国传统的房屋建筑中，窗棂是门窗重要的组成部分，它们不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值．下列关于窗棂的图案中，不是中心对称图形的是（　　）
2．下面的几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．线段 B．圆 C．平行四边形 D．正五边形
3．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 　 　个．
4. 如图，方格纸中有三个点A、B、C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上，且四边形的顶点在方格的顶点上.
(1)在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;
(2)在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;
(3)在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
5. 如图，已知△A1B1O1是由△ABO旋转得到的，
（1）画出旋转中心M；
（2）先将△ABO沿直线x翻折，再沿直线y翻折得到△A2B2O2，画出△A2B2O2并观察△ABO 与△A2B2O2的位置关系；
（3）在横线下方添加一个点P，使A，B，O，P四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形．
答：1.C;
2.D;
3. 故答案为2;
4. ；
5. (1)解：旋转中心M如图所示.
(2) △△A2B2O2如图所示，△ABO 与△A2B2O2关于点O中心对称
(3) 点P的位置如图所示.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，是农耕文化的特色艺术.农村的生活地理环境、农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的汉族民俗情趣和艺术特色.请结合所学中心对称的相关知识，创作一张富有本土特色的窗花.
对于中心对称的概念，应引导学生理解两个方面：首先，中心对称是对于两个图形而言的，它表示的是两个图形之间的对称关系；其次，中心对称是旋转的一种特殊情形.在探索中心对称的基本性质时，教学中要注意引导学生从两个层次进行探索：先探索成中心对称的两个点与对称中心的关系，并用操作来确认；其次探索成中心对称的两个图形不仅具有旋转的一切性质，而且还具有特殊的性质——对应点连线段经过对称中心，且被对称中心平分.
在中心对称图形概念的教学中，要帮助学生理解：中心对称图形有一个对称中心，把这个图形绕对称中心旋转180°，旋转后得到的图形能够与原来的图形重合；中心对称图形是对一个图形而言的，中心对称性是一个图形具有的性质.在例题教学中，教材安排的例题是利用中心对称的性质画图.虽然教材给出了画图的方法，但要在弄清画法道理的基础上再画图，要引导学生自己对问题进行分析和思考，提高学生分析问题的能力.最后，通过思维导图和快速回顾的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，协助学生构建知识体系，力争全体学生能系统掌握对称的联系与区别、旋转与中心对称的关联.

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