资源简介

21.1 一元二次方程
教学设计
教学主体分析与设计
1、内容
一元二次方程及其相关概念。
2、内容解析
本节内容属于“数与代数”部分，方程是讨论数量之间相等关系的有利数学工具。一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对一元二次方程的学习有着重要的实际意义。学生已学过一元一次方程和二元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程和二元一次方程的过程，具备了学习一元二次方程的基本技能。本节知识不仅是前面知识的延续和深化，也是今后学习二次函数等知识的基础。因此研究一元二次方程在整个初中数学学习中有着承上启下的作用。
3、学情分析
一元二次方程是学生学习的第四个方程知识,首先在初一学习了一元一次方程,接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习,八年级分式的教学,使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式,分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现“次” 的提升。学生必然存在着疑问,为什么有些背景列得的方程是一次的呢 教学中要直面学生的疑问,显化学生的疑问,启发学生自己解释疑问,才能避免“灌输”, 体现知识存在的必要性,增强学好的信念。培养建模思想,进-步提升数学符号语言的应用能力,让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式,对九年级学生是必须的,也是适可的。
教学目标分析
1、目标
（1）探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。
（2）在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。
（3）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。
2、目标解析
目标（1）的具体要求是：能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程的意义。
目标（2）的具体要求是：初步感知一元二次方程数学模型的建模过程，从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立一元二次方程表示数学问题中的数量关系，感悟数学应用的普遍性。
目标（3）的具体要求是：有意识地应用一元二次方程解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。能感悟现实生活中蕴含着大量的与数量有关的问题，可以用数学的方法予以解决，养成理论联系实际的习惯，发展实践能力。
教学重难点分析
基于本节课内容的地位和作用，制定的教学重点为：掌握一元二次方程的概念及一般形式，会将一元二次方程化为一般形式。
学生掌握一元二次方程的特点，归纳出一元二次方程的一般形式。它与前面学过的一元一次方程、二元一次方程有着联系也有着区别，为渗透类比思想、分类讨论的数学思想提供了良好的素材。本节以生活中的实际题为背景，引出一元二次方程的概念，增强学生的建模能力。
基于以上学情的分析，制定教学难点：从实际问题中抽象出一元二次方程；正确识别一般形式中的“项”及“系数”。
教法、学法分析
1、教法:由于学生将实际问题转化为数学方程的能力有限，所以，采用了“问题情境一启发类比观察一自主合作探究”为主线的教学方法，借助多媒体辅助教学，指导学生通过直观形象的观察，从具体的问题情景中转为数学问题，建立数学方程，从而突破难点。让学生自主探究和合作获取知识。
2、学法:学生通过老师的提问启发思考，观察类比，让学生积极参与课堂教学，经历自主探索和合作交流的学习过程，充分调动学生非智力因素，使学生产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。
教学用具
多媒体平台及多媒体课件。
教学过程
教学过程 设计意图
一、复习旧知，以旧引新 【问题1】你能说说什么叫方程吗？ 【问题2】什么是一元一次方程？它的一般形式是什么样的？ 设置问题情境，激发学生的兴趣，让学生回顾方程的知识，为一元二次方程的学习做好铺垫。
二、创设情景，提出问题 【问题1】有一块矩形铁皮，长100 cm,宽50 cm,在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2那么铁皮各角应切去多大的正方形 学生活动:独立思考，尝试解决问题。 教师活动:教师启发学生设未知数、列方程。设切去的正方形的边长为xcm,经整理得到方程x2-75x+350=0，由此方程可以得出所切正方形的尺寸。 【问题2】要组织-一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛 教师活动:教师引导学生思考并回答以下几个问题： (1)全部比赛共有 场: (2)若设应邀请x个队参赛，则每个队要与其他 个队各赛1场，全部比赛共有 场; (3)由此，我们可以列方程 ，化简得 。 学生活动:根据题意填空，回答问题。 由实际问题入手，设置问题情境，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型。
三、师生互动,探究新知 教师活动:教师引导学生思考并回答以下几个问题： (1)上面两个方程整理后含有几个未知数 (2)按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几次 (3)有等号吗 还是与多项式一样只是式子 学生活动:学生先自主探索,再讨论,分析、总结并交流. 师生共同小结:(1)都只含一个未知数x; (2)它们的最高次数都是2次; (3)都有等号,是等式; (4)类比一元-次方程定义，可以给这样的方程定义为一元二次方程. 通过指向性明确的问题引导学生思考，点明主题，提高学生课堂探究的效率。
三、归纳新知,形成概念 教师活动:出示相关概念。 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程，一般地，任何一个关于x的一元二次方程,经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。 教师活动:教师强调a≠0,并提出以下问题。 观察、思考: (1)x2-8x-1=0; (2)7x2+5x-2.2=0; (3)4x2-81=0; (4)x2+2x=0. 上述一元二次方程有哪些不同点和相同点 学生活动:学生交流回答。 不同点:方程左边的项数不同，项中的系数不同， 相同点:每个一元二次方程都能整理化成ax2+bx+c=0的形式。 教师活动:教师提出并板书有关项及系数的概念。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数；bx:是-次项，b是一次项系数;c是常数项。 本节课的主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念。
四、运用新知，理解概念 例1 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。 解:去括号,得 3x2- 3x=5x+10. 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式: 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数是3,一次项系数是-8，常数项是-10。 教师活动:引导学生分析例题,指出要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式,因为各项名称都是在方程为一般形式的前提下定义的。 学生活动:学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数。 教师活动:在学生指出各项系数的环节中,分析可能出现的问题(比如系数的符号问题)。 通过例题进一步巩固一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
五、课堂练习，深化概念 1、将下列方程化成一元二次方程的般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项: (1)5x2-1+4x=4x; (2)(3x-2)(x+1)=8x-3. 教师活动:组织学生练习，教师辅导，并选取两名学生拍照上传解答过程，对于重点问题进行强化、点明方法，总结解题关键，即先把一元二次方程化成一般形式，再确定各项系数，同时引导学生关注易错点即系数的符号，特别地，练习第(1)题的一般形式为5x2-1 =0,所以一次项系数是0， 对于共性的问题，进行及时补充说明,对于好的做法及时加以鼓励表扬。 学生活动:学生独立完成练习后，集体交流评价，体会方法，形成规律。 让学生在练习过程中，进一步理解并掌握本节课的知识与枝能。
例2 当m= 时，关于x的方程(m+1)x2+3x-1=0是一元二次方程。 学生活动:学生独立思考，尝试自主解决， 教师活动:请一位学生回答解题思路，订正答案，并与学生一同小结例2 的解题关键是依据一元二次方程的定义，一元二次方程中二次项系数不为0。 【变式训练】当m 时，关于x的方程是一元二次方程。 学生活动:学生独立思考，尝试自主解决。 教师活动:这个问题容易忽略二次项系数m+ 1≠0，只注重二次项的未知数的次数是2。 由一元二次方程的定义可知，当这两个条件同时满足时，此方程才是一元二次方程。因此必须满足,所以m=1。 通过例题及变式训练让学生进一步深化学生对一元二次方程相关概念的理解，促进知识向能力的转化。
六、课堂小结，布置作业 1.课堂小结: (1)本节课你学习了哪些知识 (2)本节课你掌握了哪些数学方法 (3)本节课你最大的体验是什么 2布置作业: （1）必做题：教科书第4页习题21.1第1、2题. （2）选做题：求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程。 通过学生在问题的引导下自主小结，可以很好的将知识系统化。通过分层布置作业，让学生在课后进一步对知识进行巩固，提升综合能力。
七、教学反思
本节课是第二十一章的起始课，也是一节概念教学课，概念课很容易让学生觉得枯燥无味，我在这节课的设计及教学中以一元二次方程的相关概念的讲解及练习为载体，以提升学生的思维分析能力为主线，以学生原有的认知为基础，重视过程教学，从而发展学生的科学精神和创新意识，培养他们获取知识、运用知识以及运用数学语言进行交流的能力。教学过程中，强调自主学习，注重交流合作，让师生交流、生生交流合作贯穿在整堂课中，使学生们在自主探索的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创造的能力。
我在教学中紧紧抓住本节知识的本质与现象，鼓励学生用自己的语言阐述自己的看法，学生在对源于实际背景的数量关系、方程进行分析比较后，抽象概括出它们的一般结构，从而形成一元二次方程的概念，并在辩析与应用中进一步理解概念，在知识的获取过程中，始终交织着旧知与新知、相同与不同的对立与统一,这些都触动着学生对数学学习的情感。也很好的落实了通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养这一情感态度与价值观目标。

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