资源简介

7.3　定义、命题、定理（第1课时）
　　1．了解定义的概念、命题的概念与构成，会将命题改写成“如果……那么……”的形式．
　　2．了解真命题与假命题的概念，会根据所学知识判断命题的真假．
　　定义、命题的概念及分析命题的题设和结论．
　　定义、命题的概念及分析命题的题设和结论．
新课导入
【问题】1．请同学们读出下列语句，你能发现什么？
　　（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
2．已知|a|＝|b|，判断下面哪个说法正确．
　　（1）a＝b；
　　（2）a＝－b；
　　（3）a＝b或a＝－b．
　　【师生活动】学生独立回答，教师纠错．
【答案】1．这些都是对数学对象进行的清晰、明确的描述．
2．最后一个说法正确．
　　【设计意图】通过观察之前对数学对象的描述，引入“定义”这一概念；通过一道简单的判断题，启发学生在后面探究命题时往“判断”上思考．
新知探究
一、探究学习
【探究】前面我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，例如：
　　（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
【新知】这样的描述称为数学对象的定义，一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断．
【思考】请同学们读出下列语句，你能发现什么？
　　（1）如果两个角都是直角，那么这两个角相等；
　　（2）对顶角相等；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
　　（5）两直线平行，同旁内角互补．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答，教师补充．
　　【答案】这些都是可以判断正确与否的陈述语句．容易判断，第4个语句是错误的，其他语句都是正确的．
【设计意图】从学生已知的知识入手，让学生观察思考，为下面探究命题的概念做准备．
【问题】你知道在数学中，这些语句称之为什么吗？
　　【新知】像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．
　　【设计意图】给出命题与真假命题的概念，让学生更容易理解和记忆．
　　【思考】下面的命题能改写成“如果……那么……”的形式吗？试一试．
　　（1）同位角相等，两直线平行；
　　（2）两直线平行，同旁内角互补．
　　【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．
　　【答案】（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
　　（2）如果两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截而成的同旁内角互补．
　　【新知】数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式．这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
　　【设计意图】通过改写命题的形式，明确命题的题设和结论．
　　【问题】把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式．
　　【师生活动】学生思考，教师提示：有些命题的题设和结论不明显，需要经过分析才能找出题设和结论．
　　【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
　　【设计意图】通过改写题设和结论不明显的命题的形式，进一步掌握找出命题的题设和结论的方法．
　　【问题】下列语句是命题吗？
　　（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
　　（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
　　（3）如果n是奇数，那么n＋1是偶数；
　　（4）你喜欢数学吗？
　　【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．
　　【答案】（1）（2）（3）是可以判断正确与否的陈述语句，是命题．
　　（4）没有对事情作出判断，不是命题．
　　【设计意图】通过判断，巩固学生对命题的概念的理解．
　　【思考】下列命题中的题设成立时，结论一定成立吗？
　　（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
　　（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
　　（3）如果n是奇数，那么n＋1是偶数．
　　【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．
　　【答案】（1）（3）题设成立时，结论一定成立．
　　（2）题设成立时，不能保证结论一定成立．
　　【新知】由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的．
　　【设计意图】通过区别题设成立时，结论是否成立，来确定命题正确与否，从而判断命题真假．
二、典例分析
　　【例1】将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题．
　　（1）内错角相等；
　　（2）等边三角形的三个内角都是60°．
　　【答案】解：（1）改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题．
　　（2）改写为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个内角都是60°；是真命题．
　　【思考】判断一个命题是真命题还是假命题，首先要怎么做？
　　【答案】找出命题的题设和结论．
　　【归纳】判断一个命题是不是真命题，首先找出此命题的题设和结论，然后看题设成立时结论是否一定成立，如果结论一定成立，此命题就是真命题，否则，就是假命题．
　　【设计意图】检验学生对判断真假命题的步骤的掌握情况．
　　【例2】判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，你能举出一个例子说明它是假命题吗？
　　（1）两个锐角的和是锐角；
　　（2）邻补角是互补的角．
　　【答案】解：（1）假命题．例子：一个锐角为50°，另一个锐角为60°，它们的和为110°的角，为钝角；
　　（2）真命题．
　　【归纳】对于真命题，题设成立时，结论无一例外，总是正确的；而假命题就不能保证总是正确的．
　　【设计意图】通过该例向学生说明，真命题无一例外，总是正确的．
　　【例3】判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
　　（1）画线段AB＝2 cm；
　　（2）分数一定是有理数；
　　（3）两个锐角互余．
　　【答案】解：（1）不是命题；
　　（2）是命题，改写为：如果一个数是分数，那么它一定是有理数；是真命题；
　　（3）是命题，改写为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余；是假命题．
　　【总结】命题是能判断真假的陈述性语句，祈使句、疑问句等都不是命题．
　　【设计意图】结合命题的判断和真假命题的辨别，让学生更加深入理解命题一般是什么样的语句．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第23页练习第1～3题．7.3　定义、命题、定理（第2课时）
　　1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据．
　　2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据．
　　3．掌握利用反例来判断一个命题错误的方法．
　　理解证明的必要性和证明的过程步步有根据．
　　理解什么是证明，填写一些证明的关键步骤和根据．
新课导入
　　【问题】说出两个我们学过的基本事实．
　　【师生活动】学生独立回答，教师引导补充．
　　【答案】如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等．
　　【问题】说出两个经过推理得到的真命题．
　　【师生活动】学生思考，教师补充，并回顾是经过怎样的推理得到的．
　　【答案】“对顶角相等”．
　　推理过程如下：
　　因为∠2与∠3互补，∠4与∠3互补（邻补角的定义），
　　所以∠2＝∠4（同角的补角相等）．
　　“内错角相等，两直线平行”．
　　推理过程如下：
　　因为∠2＝∠3，而∠3＝∠1，
　　所以∠1＝∠2，即同位角相等．
　　从而a∥b．
　　【设计意图】从学生已知的真命题出发，为下文探究定理的概念做准备．
新知探究
一、探究学习
　　【新知】一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理．定理也可以作为继续推理的依据．
　　【问题】推理过程又称为什么呢？
　　【师生活动】教师引导，学生思考．
　　【新知】在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明．
　　【问题】推理和证明有区别吗？（先不作答，带着疑问继续探究．）
　　【设计意图】由已经过推理证实的真命题引出定理和证明的概念，让学生更容易理解和记忆，最后给出的问题又能引导学生在后面的学习探究中深入思考推理和证明的本质．
　　【思考】判断下列命题正确与否．
　　命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
　　【分析】题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条．
　　结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
画出图形如下：
　　已知：如图，直线b∥c，a⊥b．
　　求证：a⊥c．
　　分析：
　　【问题】在下面证明命题的过程中，尝试把推理的根据填到括号内．
　　证明：∵a⊥b（已知），
　　∴∠1＝90°（垂直的定义）．
　　又b∥c（__________），
　　∴∠1＝∠2（________________________）．
　　∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）．
　　∴a⊥c（_________________）．
　　【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．
　　【答案】已知　　两直线平行，同位角相等　　垂直的定义
　　【新知】证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．
【归纳】推理和证明是有区别的，推理是证明过程中的组成部分．
　　命题1正确．
　　【设计意图】通过证明该定理，了解逻辑推理的形式．
　　【思考】判断下列命题正确与否．
　　命题2：相等的角是对顶角．
　　【分析】题设：两个角相等．
　　结论：这两个角互为对顶角．
　　对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4
　　位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线．
　　【答案】反例：
　　OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．
　　反例：
　　∠1＝∠2，但∠1与∠2不是对顶角．
　　【归纳】命题2错误．
　　【师生活动】教师追问：正确的命题需要通过推理才能作出判断，那么，怎么判断一个命题是错误的呢？小组讨论，然后学生代表回答．
　　【新知】判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
二、典例分析
　　【例1】在下面的括号内，填上推理的依据．
　　已知：如图，∠A＋∠B＝180°．
求证：∠C＋∠D＝180°．
　　证明：∵∠A＋∠B＝180°，
　　∴AD∥BC（__________________________）．
　　∴∠C＋∠D＝180°（__________________________）．
　　【答案】同旁内角互补，两直线平行　　两直线平行，同旁内角互补
　　【归纳】注明的理由主要是依据的性质、定理、基本事实等，而“已知”式的理由可以不注明．
　　【设计意图】检验学生对证明的步骤以及推理的根据的掌握情况．
　　【例2】命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．
　　【答案】解：不是，反例如图所示，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2．
　　【归纳】举反例是判断一个命题错误的常用方法，举反例的问题在生活中也常用到．
　　【设计意图】检验学生对通过举反例判断一个命题错误的方法的掌握情况．
课堂小结
课后任务
完成教材第24页练习第1题．7.3　定义、命题、定理（第3课时）
1．回顾与相交线和平行线有关的概念和定理，加深记忆．
2．能够熟练运用角的性质及平行线的判定与性质解决相关问题．
有关概念和定理的回顾．
综合运用相交线和平行线的相关知识解决问题．
知识回顾
【设计意图】帮助学生梳理所学的知识，寻找重点内容之间的内在联系，建立知识体系．
新知探究
一、探究学习
【例1】如图，直线AB，CD相交于点O．EO⊥AB，∠3＝∠FOD，∠l＝27°，求∠2，∠3的度数．
【师生活动】教师引导学生对图形进行分析，找出各个角之间的关系，利用垂直和邻补角的性质求解．
【答案】解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝∠1＋∠2＝90°．
又∵∠1＝27°，∴∠2＝90°－∠1＝90°－27°＝63°．
又∵∠1＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°－27°＝153°．
又∵∠3＝∠FOD，∴∠3＝∠AOD＝76.5°．
∴∠2＝63°，∠3＝76.5°．
【归纳】垂直是两条直线间的位置关系，一个角为90°是数量关系，垂直的定义建立起了两条直线垂直(位置关系)与一个角的度数为90°(数量关系)之间的联系．
【例2】如图，AB交CD于点O，OE⊥AB．
（1）若∠EOD＝20°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC∠BOC＝12，求∠EOD的度数．
【师生活动】教师引导：在涉及角度比例关系时，要选择合适的对象作为未知数．
【答案】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，即∠DOE＋∠BOD＝90°．
（1）∵∠EOD＝20°，∴∠BOD＝90°－20°＝70°．
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝70°．
（2）由∠AOC∠BOC＝12，可设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．
由补角的定义可知∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，解得x＝60°．
∴∠BOD＝∠AOC＝60°．
∴∠EOD＝90°－60°＝30°．
【归纳】解决相交线所成角的思路．
（1）有两直线相交时，分清对顶角和邻补角，考虑对顶角、邻补角的性质．
（2）有垂直时，考虑直角、互为余角的关系．
（3）有两条直线被第三条直线所截时，注意同位角、内错角、同旁内角的应用．
【例3】如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N是位于公路AB两侧的两所学校．若汽车在公路上行驶时会对学校教学造成影响，则当汽车行驶到何处时，分别对两学校教学影响最大？在图上标出．
【师生活动】教师引导学生对题目进行分析，找到对学校影响最大的点，知道可以利用垂线段最短来解决．
【答案】解：如图，汽车行驶到点C时对学校M影响最大，行驶到点D时对学校N影响最大．
【归纳】在利用“垂线段最短”的性质来解决问题时，要注意区分它与“两点之间，线段最短”的区别，它们的要求是不一样的．
【例4】如图，在用数字标出的八个角中，请辨别同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些．
【师生活动】教师引导学生对图形进行分析，从题图中分离出如下三个基本图形：
找到每个图形中的截线与被截直线，便能根据角的位置关系做出判断．
【答案】解：∠1与∠7为同位角，∠2与∠8为同位角，∠4与∠6为同位角；
∠3与∠4为内错角，∠1与∠5为内错角，∠2与∠6为内错角，∠4与∠8为内错角；
∠1与∠6为同旁内角，∠2与∠5为同旁内角，∠2与∠4为同旁内角，∠4与∠5为同旁内角．
【归纳】分离法辨别复杂图形中的“三线八角”．
要在一个复杂的图形中确定“三线八角”，先在复杂的图形中分离出“三线”．一般是从相邻的两个顶点处的角入手，其中两个角的公共边或在同一直线上的边所在的直线是截线，另一边所在的直线是被截直线，然后根据角的位置关系来进一步判断．
【设计意图】例1～例4主要是通过相交线有关知识，进行几何问题中有关角的计算．
【例5】如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？
【师生活动】学生独立解决，组内交流纠错．
【答案】解：a与c平行．理由如下：
∵∠1与∠2是内错角，且∠1＝∠2，
∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．
∵∠3与∠4是同旁内角，且∠3＋∠4＝180°，
∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．
∴a∥c(平行于同一条直线的两条直线平行)．
【归纳】平行线判定的五种方法：
（1）同一平面内，不相交的两条直线互相平行；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）内错角相等，两直线平行；
（5）同旁内角互补，两直线平行．
【设计意图】对平行线的判定方法进行系统复习，让学生进一步巩固对这些方法的理解．
【例6】工人师傅把一个如图所示的零件进行加工，首先把材料弯成了一个45°的锐角，然后准备在A处进行第二次弯折加工，若要保证弯折后的部分与BC保持平行，则弯折处的角度应是___________．
【师生活动】学生以组为单位，对图形进行分析，知道解决该题分两种情况：第一种情况就是被弯过来的部分与BC在AB的同一侧，且平行，如图①，此时弯折处的角度为135°(利用同旁内角互补，两直线平行)；第二种情况是被弯过来的部分与BC分别在AB的两侧，但也是平行的，如图②，此时弯折处的角度为45°(利用内错角相等，两直线平行)．
【答案】45°或135°
【归纳】用平行线的判定方法解决实际问题的两个步骤：
第1步：将实际问题转化为数学问题；
第2步：借助于平行线的判定方法加以判定，进而解决问题．
【例7】如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝______．
【师生活动】教师带领学生对图形进行分析，找到各个角之间的关系．
∵∠2＝∠MEN，∠1＝∠2＝40°，∴∠l＝∠MEN．
∴AB∥CD．∴∠3＋∠BMN＝180°，∠EMB＋∠MEN＝180°．
又∵MN平分∠EMB，
∴∠BMN＝(180°－∠MEN)＝×(180°－40°)＝70°，
∴∠3＝180°－∠BMN＝180°－70°＝110°．
【答案】110°
【归纳】解决此类问题的途径是由角的关系找出平行线，再由平行线的性质得到角相等或互补，从而结合角的有关性质进行角度的有关计算．
【例8】如图，已知FC∥AB，FC∥DE，∠α∠D∠B＝234，分别求∠α，∠D，∠B的大小．
【师生活动】学生独立解决，教师巡视纠错．
【答案】解：由题意可设∠α＝2x，∠D＝3x，∠B＝4x．
∵FC∥AB，FC∥DE，
∴∠2＋∠B＝180°，∠l＋∠D＝180°．
∴∠2＝180°－∠B＝180°－4x，
∠l＝180°－∠D＝180°－3x．
又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°，
∴(180°－3x)＋(180°－4x)＋2x＝180°，
解得x＝36°．
∴∠α＝2x＝72°，∠D＝3x＝108°，∠B＝4x＝144°．
【归纳】解决这类问题，不仅要掌握图形的性质，还要善于进行等量代换，把未知量和已知量逐步联系起来，当解决问题的过程比较复杂时，思路要清晰，语言表达要严谨．
【设计意图】解决此类问题涉及到了方程思想，解题过程中要注意正确分析题意，合理利用已知信息，设方程解未知数．
课堂小结
课后任务
完成教材第25页习题7.3第4题．

展开更多......

收起↑