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第八章 实数 章末复习
　　1．了解算术平方根、平方根和立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．
　　2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根．
　　3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化．
　　4．能用有理数估计一个无理数的大致范围，累积一些数学思想方法．
　　平方根、立方根的计算，实数运算，估计无理数的取值范围．
　　平方根、立方根的计算，实数运算，估计无理数的取值范围．
复习导入
本章我们学方根和立方根，并通过开平方、开立方运算认识了一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展．在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算．
本章中，我们通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作用．实数与数轴上的点是一一对应的，因此，我们可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？
2．回顾平方根与立方根的概念，乘方运算与开方运算有什么关系？
3．无理数和有理数的区别是什么？
4．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有什么关系？
【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识点，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．
要点复习
考点一　平方根、立方根、算术平方根的意义
　　【例1】下列说法中错误的是（　　）．
　　A．0没有平方根 B．的算术平方根是
　　C．任何实数都有立方根 D．(－9)2的平方根是±9
【师生活动】小组讨论得出答案，教师给出正确答案并引导学生归纳知识点．
　　【答案】A
　　【解析】选项A：0的平方根是0，所以说法错误；
　　选项B：因为152＝225，所以＝15，15的算术平方根是，所以说法正确；
　　选项C：任何实数都有立方根，说法正确；
　　选项D：(－9)2＝81，因为(±9)2＝81，所以(－9)2的平方根是±9，说法正确．
　　【归纳】如何求一个数的平（立）方根？
　　求一个数的平（立）方根，一般分为两步：
　　（1）对待求数进行整理，确定被开方数；
　　（2）确定哪个数的平（立）方等于这个数，如果能找到那个数，就直接写出平（立）方根；如果找不到那个数，就用根号表示平（立）方根．
【设计意图】考查学生对平方根、立方根、算术平方根的理解和掌握情况．
【跟踪训练1】已知某数的平方根是a＋3及2a－12，求这个数．
　　【分析】由题意可知，a＋3与2a－12互为相反数，则它们的和为0．
　　【答案】解：根据题意可得，a＋3＋2a－12＝0，解得a＝3．
　　∴a＋3＝6，2a－12＝－6．∴这个数是36．
　　【跟踪训练2】求下列各式的值：
　　（1）－； （2）－．
　　【答案】解：（1）－＝－4；（2）－＝－0.6．
考点二　实数的分类
　　【例2】实数－7.5，，4，，－π，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a－b的值为（　　）．
　　A．2 B．3 C．4 D．5
【师生活动】学生作答，教师纠正并讲解知识点．
　　【答案】B
　　【解析】有理数包括：－7.5，4，，，．无理数包括：，－π．
　　所以a＝5，b＝2．所以a－b＝3．
　　【归纳】解决实数分类问题时应注意以下三点：
　　（1）0既不是正实数也不是负实数．
　　（2）对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，再根据它的最终结果进行分类．不要看到带根号的数，就认为它是无理数．
　　（3）π是无理数，所以一般化简后含有π的数也是无理数．
【设计意图】让学生掌握解决实数分类问题应注意的知识点．
　　【跟踪训练3】把下列各数填入相应的集合内．
　　－7，0.32，，，0，，，0.010 010 001…（相邻两个1之间依次多1个0），，．
　　（1）有理数集合：｛ …｝；
　　（2）无理数集合：｛ …｝；
　　（3）正实数集合：｛ …｝；
　　（4）实数集合：｛ …｝．
　　【答案】解：（1）有理数集合：－7，0.32，，，0，…；
　　（2）无理数集合：，，0.010 010 001…（相邻两个1之间依次多1个0），，，…；
　　（3）正实数集合：0.32，，，，，0.010 010 001…（相邻两个1之间依次多1个0），，…；
　　（4）实数集合：－7，0.32，，，0，，，0.010 010 001…（相邻两个1之间依次多1个0），，，…．
考点三　数轴与实数的大小比较
　　【例3】实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）．
　　A．|a|＞|b| B．|ac|＝ac C．b＜d D．c＋d＞0
【师生活动】小组讨论得出答案，教师给出正确答案并引导学生归纳知识点．
　　【答案】B
　　【解析】从a，b，c，d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1．
　　选项A：|a|＞|b|，正确；选项B：a，c异号，则|ac|＝－ac，故错误；
　　选项C：b＜d，正确；选项D：d＞c＞1，则c＋d＞0，故正确．
【设计意图】通过例3的讲解与练习，检验学生利用数轴比较实数大小的能力．
　　【跟踪训练4】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若－a＜c＜b，则实数c的值可能是（　　）．
　　A． B．0 C．1 D．3
　　【分析】根据数轴得出－2＜a＜－1＜4＜b，据此解答即可．
　　【答案】D
　　【解析】据数轴可得－2＜a＜－1＜4＜b＜5．
　　∵－a＜c＜b，即1＜c＜5，∴实数c的值可能是3．
　　【跟踪训练5】下列整数中，与10－最接近的是（　　）．
　　A．4 B．5 C．6 D．7
　　【答案】C
　　【解析】∵9＜13＜16，∴3＜＜4．∴与最接近的是4．
　　∴与10－最接近的是6．
考点四　实数的性质与运算
　　【例4】下列说法中，不正确的是（　　）．
　　A．－的相反数是－ B．－的绝对值是－
　　C．的立方根是2 D．－3的倒数是－
　　【答案】A
　　【解析】－的相反数是－，故选项A不正确；
　　－的绝对值是－，故选项B正确；
　　＝8，所以的立方根是2，故选项C正确；
　　－3的倒数是－，故选项D正确．
　　【归纳】你能总结一下与实数有关的常用性质吗？
　　（1）a与b互为倒数ab＝1．
　　（2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．
　　（3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|．
【设计意图】考查学生对实数性质与运算的理解和掌握情况．
　　【跟踪训练6】计算：
　　（1）；
　　（2）．
　　【答案】解：（1）
　　＝3－(2＋)＋(4－)－3
　　＝3－2－＋2－－3
　　＝(3－2＋2－3)－
　　＝－；
　　（2）
　　＝5－3＋－(2－)
　　＝5－3＋－2＋
　　＝5－5＋
　　＝．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第61页复习题8第1～8题．

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