资源简介

单元教学设计
单元基本信息
课程标准模块 选择性必修第一册
使用教材版本 2019人民教育出版社A版
单元名称 3.2双曲线
单元课时数 3
一、单元学习主题分析（体现学习主题的育人价值）
主题名称 3.2双曲线
主题概述 在学面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习双曲线方程，了解双曲线与二次函数的关系，掌握双曲线的基本几何性质，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。
主题学情分析 学生已学习了直线与方程，圆与方程，椭圆与方程等平面解析几何基础内容的情况下，利用研究椭圆所用的坐标法来研究双曲线。
学习条件支持 定长细绳、图钉，黑板、多媒体设备、三角尺
重难点 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质。
二、单元学习目标设计（基于标准、分析教材、结合学情，体现素养导向）
单元学习目标 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质。 3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
三、各课时学习目标（聚焦课时内容，具体、可操作、可检测，学习符合学科要求） 学习目标解析（明确各学习目标达成之后，学生的具体表现和评价方式。）
第1课时 3.2.1双曲线及其标准方程 1.知识目标：掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.能力目标：教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感目标：通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
第2课时 3.2.2双曲线的简单几何性质（第一课） 1.知识目标：（1）掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率；（2）掌握双曲线标准方程中a、b、c、e之间的关系。2.能力目标：通过跟椭圆的几何性质的类比得到双曲线的简单几何性质，培养学生观察、类比分析、逻辑推理、理性思维、数形结合的能力。3.情感目标：通过本节课的探究培养学生类比推理的能力,激发学生的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
第3课时 3.2.2双曲线的简单几何性质（第二课） １．熟悉双曲线的几何性质；2．了解双曲线的简单应用．
四、各课时任务设计及学习活动（指向学习目标，强调学生的活动与体验）
第1课时 3.2.1双曲线及其标准方程 一、问题情境： 做下面一个实验． (1)取一条拉链，拉开一部分． (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 二、探究新知识： 1．双曲线的定义 文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.符号语言||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)焦点定点F1，F2焦距两焦点间的距离
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)点M在双曲线的右支上． 2．双曲线的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c 的关系c2＝a2＋b2
三、例题探析： 【例1】　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． [思路探究]　(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解． (3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解． [解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ① ∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1. ② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1. 法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为－＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 四、课堂练习： 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 D　[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．] 2．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[方程＋＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．] 3．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________． ±6　[若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，解得k＝6； 若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32， 即k＝－6. 综上所述，k的值为6或－6.] 4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________． 4　[在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4.] 5．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程． [解]　因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(，4)或(－，4)， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以解得 所以所求的双曲线的标准方程为－＝1. 五、课堂小结： 让学生做总结。 六、作业：P127习题3.2第1、2题 七、课后反思：
第2课时 3.2.2双曲线的简单几何性质（第一课） 一、问题情境： (1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质． (2)用多媒体展示几组焦点在x轴、y轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美． (3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？ 二、探究新知识： 1．双曲线的几何性质 标准方程－＝1 (a＞0，b＞0)－＝1 (a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝>1渐近线y＝±xy＝±x
思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ [提示]　渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同． 2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝. 三、例题探析： 【例1】　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 四、课堂练习： 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)． [思路探究]　由几何性质求双曲线方程，多是根据题设信息寻找a，b，c，e之间的关系，并通过构造方程获得问题的解(解出a，b或a2，b2的值)． [解]　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1. (2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3. 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (3)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1. 由题意，得 解得a2＝，b2＝4， 所以双曲线的方程为－＝1. 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1. 由题意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去) 综上所得，双曲线的方程为－＝1. 法二：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， 将点(－3,2)代入得λ＝， 所以双曲线方程为－＝，即－＝1. 五、方法总结： 1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)． 2．常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)． 六、课堂小结： 让学生做总结。 七、作业：P127习题3.2第3,4题。 八、课后反思：
第3课时 3.2.2双曲线的简单几何性质（第二课） 一、复习回顾：师生回顾上一节内容。 二、探究1： 1．双曲线的离心率的范围怎样？对双曲线的形状有什么影响？ [提示]　在双曲线方程中，因为a＜c，所以离心率e＝∈(1，＋∞)，它的大小决定了双曲线的开口大小，e越大，开口就越大． 2．双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系？ [提示]　e＝＝＝ 当焦点在x轴上时，渐近线斜率为k，则e＝，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为k，则e＝. 三、例题探析： 【例3】　(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________． (2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值． [思路探究]　(1)利用离心率与的关系，注意要分类讨论焦点的位置． (2)利用条件建立齐次方程求解． (1)或　[当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝. 当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝＝.] (2)[解]　因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2. 四、方法归纳： 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 五、课堂练习： 2．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________． 2＋　[如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2， 不妨令点P的坐标为(2a，－b)， 此时kPF2＝＝， 得到c＝(2＋)a， 即双曲线C的离心率e＝＝2＋. ] 六、探究2： 1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？ [提示]　可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点． 2．过点(0,2)和双曲线－＝1只有一个公共点的直线有几条？ [提示]　四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线． 【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． [思路探究]　直线方程与双曲线方程联立方程组 判断“Δ”与“0”的关系 直线与双曲线的位置关系． [解]　(1)联立方程组 消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点， 则解得－＜k＜，且k≠±1. ∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为 (－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－， x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2|＝· ＝. 又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝， ∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝， 即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±. ∴实数k的值为±或0. 七、方法归纳： 直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． (2)数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． ②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． 提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程． 八、课堂练习： 3．已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． [解]　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1， 由消去y， 整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴x1＋x2＝. ∵A(3，－1)为MN的中点， ∴＝3， 即＝3， 解得k＝－. 当k＝－时， 满足Δ>0，符合题意， ∴所求直线MN的方程为y＝－x＋， 即3x＋4y－5＝0. 法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上， ∴ 两式相减，得＝y－y， ∴＝. ∵点A平分弦MN， ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2. ∴kMN＝＝＝－. 经验证，该直线MN存在． ∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)， 即3x＋4y－5＝0. 九、课堂小结： 1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程． 2．与双曲线有关的其他几何性质 (1)通径：过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，其长度为. (2)焦点三角形：双曲线上的点P与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝. (3)距离：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)右支上任意一点M到左焦点的最小距离为a＋c，到右焦点的最小距离为c－a. (4)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率相等的双曲线系方程为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)． (5)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线系方程为－＝1(－a2＜k＜b2)． 十、作业： 1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 A　[|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.] 2．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　) A．　　B．　　C．　　D． C　[由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.] 3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________． －＝1　[由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1.] 4．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________. 3　[双曲线的左焦点为(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0， 由得8y2－12y＋9＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝. ∴|AB|＝ ＝＝3.] 5．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A，B两点，若点P(4,1)为线段AB的中点，则直线l的方程是________． x－y－3＝0　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，易知k存在且k≠0， 则x－4y＝4，x－4y＝4， 两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)－4(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 又∵点P(4,1)为线段AB的中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2. 代入，得(x1－x2)－(y1－y2)＝0， ∴k＝＝1. 因此直线l的方程是y－1＝1×(x－4)，即x－y－3＝0.] 十一、课后反思：

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