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第一章
§1.6　一元二次方程、
不等式
数学
大
一
轮
复
习
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集 _______________ _____________ _____
{x|xx2}
R
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.
(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
×
×
√
×
2.(2024·保山模拟)已知不等式x2－3x＋2≤0的解集为A，不等式<0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，
由(x－2)(x－1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
3.若关于x的不等式－x2＋ax－7≤0恒成立，则a的取值范围为
A.(－)
B.
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－∞，－]∪[，＋∞)
√
由题意得Δ＝a2－4××(－7)≤0，
解得－≤a≤.
因此，实数a的取值范围是.
4.若关于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为　　　.
－3
根据题意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0的两根为3和4，
故有解得m＝－3.
避免三种失误
(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.
(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
(3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是 .
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(多选)下列选项中，正确的是
A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
求解一元二次不等式
√
√
题型一
命题点1　不含参的不等式
由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤
x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1例2　解关于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0.
命题点2　含参的不等式
原不等式可化为(ax－4)(x－1)<0，
所以当a＝0时，解得x>1；
当0当a＝4时，不等式无解；
当a>4时，解得当a<0时，不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1，
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝4时，不等式的解集为 ；
当a>4时，不等式的解集为；
当a<0时，不等式的解集为.
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
思维升华
跟踪训练1　解关于x的不等式：
(1)>1；
因为>1 －1>0 >0 >0 <0
(3x－1)(2x＋1)<0 －所以原不等式的解集为.
(2)x2－ax－2a2>0.
不等式x2－ax－2a2>0可化为(x－2a)(x＋a)>0，
当2a<－a，即a<0时，解得x<2a或x>－a；
当2a＝－a，即a＝0时，解得x≠0，
当2a>－a，即a>0时，解得x<－a或x>2a.
综上所述，当a<0时，
解集为(－∞，2a)∪(－a，＋∞)；
当a＝0时，解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a>0时，解集为(－∞，－a)∪(2a，＋∞).
例3　(1)(多选)(2024·龙岩模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－3，1)，则下列结论正确的是
A.b<0且c>0
B.9a－3b＋c<0
C.关于x的不等式ax－b<0的解集是(2，＋∞)
D.关于x的不等式ax2－bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)
√
三个二次之间的关系
题型二
√
√
对于A项，由题意可知，a<0，－3和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可得－3＋1＝－，－3×1＝，所以b＝2a<0，c＝－3a>0，故A项正确；
对于B项，因为－3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以9a－3b＋c＝0，故B项错误；
对于C项，由A项知ax－b<0，即ax－2a<0，即a(x－2)<0，因为a<0，解得x>2，故C项正确；
对于D项，不等式ax2－bx＋c<0即ax2－2ax－3a<0，化简得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，故D项正确.
(2)已知关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0有两正根x1，x2，则的最小值为　　　　.
18
依题意有
解得k≥6，
∴＝(x1＋x2)2－2x1x2＝k2－2(k＋3)＝(k－1)2－7，
∵k≥6，∴当k＝6时，()min＝18.
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
思维升华
跟踪训练2　(1)若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，则不等式cx2－2x＋a≤0的解集是
A. B.
C.[－2，3] D.[－3，2]
√
因为不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，
所以－是方程ax2＋2x＋c＝0的两个实数根，
由
故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，
解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所求不等式的解集是[－2，3].
(2)(2025·连云港模拟)已知方程x2－2ax＋a2－4＝0的一个实根小于2，另一个实根大于2，则实数a的取值范围为　　　　.
(0，4)
设f(x)＝x2－2ax＋a2－4，
因为方程x2－2ax＋a2－4＝0的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足f(2)＝a2－4a<0，解得0即实数a的取值范围为(0，4).
例4　(1)若对于一切实数x，不等式mx2－3mx－2<0恒成立，求m的取值范围；
一元二次不等式恒成立问题
题型三
要使mx2－3mx－2<0恒成立，
若m＝0，显然－2<0恒成立，满足题意；
若m≠0，则解得－综上，m的取值范围是.
(2)当x∈(0，4)时，不等式x2＋mx＋4>0恒成立，求m的取值范围.
当x∈(0，4)时，x2＋mx＋4>0恒成立，
即－m<恒成立，
又＝x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
∴－m<4，即m>－4，
∴m的取值范围是(－4，＋∞).
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
思维升华
跟踪训练3　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈[－1，1]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围；
由题意得，f(x)<－m＋5在[－1，1]上恒成立，
即m(x2－x＋1)<6在[－1，1]上恒成立，
∵x2－x＋1＝≥对一切实数恒成立，
∴m<在[－1，1]上恒成立，
∵函数y＝x2－x＋1在上单调递增，∴ymax＝1＋1＋1＝3，
∴在[－1，1]上的最小值为2，
∴m<2.
故m的取值范围为(－∞，2).
(2)若对于m∈[－2，2]，f(x)<－m＋5恒成立，求x的取值范围.
∵mx2－mx－1<－m＋5对于m∈[－2，2]恒成立，
∴m(x2－x＋1)－6<0对于m∈[－2，2]恒成立，
∴
解得－1故x的取值范围为(－1，2).
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课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B B D BCD ABD (1，3]
题号 8 11 12 答案 (－2，3) AD 1
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答案
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(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x－3，f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3，
∴不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}.
(2)f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，
则二次函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1，
∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
∵f(3)＝3a－3，f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，转化为f(3)≥0，
∴3a－3≥0，解得a≥1，
故实数a的取值范围为[1，＋∞).
9.
答案
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(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
所以
解得
10.
答案
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(2)由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m＝2时，不等式解集为 ；
当m<2时，不等式解集为{x|m10.
一、单项选择题
1.(2025·威海模拟)设集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B等于
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(－2，0] D.(－1，0]
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知识过关
答案
由题意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1√
2.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是
A.{a|－1≤a<2} B.{a|－1C.{a|－11
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当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1综上，－1故a的取值范围为{a|－1答案
√
3.关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一个根小于－1，另一个根大于1，则a的取值范围是
A.(－2，1) B.(－2，0)
C.(0，1) D.(－2，－1)
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答案
√
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答案
设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
由题意知
即
所以－24.当x∈(－1，1)时，不等式2kx2－kx－<0恒成立，则k的取值范围是
A.(－3，0) B.[－3，0)
C. D.
√
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答案
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答案
当k＝0时，满足不等式恒成立；
当k≠0时，令f(x)＝2kx2－kx－，则f(x)<0在(－1，1)上恒成立，
函数f(x)图象的对称轴为x＝，
当k>0时，f(x)在上单调递增，
则有解得01
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答案
当k<0时，f(x)在上单调递减，
则有f <0，解得－3综上可知，k的取值范围是.
二、多项选择题
5.对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为
A.R B.(－1，a)
C.(a，－1) D.(－∞，－1)∪(a，＋∞)
√
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答案
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√
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答案
根据题意，易知a≠0.
当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为
(－∞，－1)∪(a，＋∞).
当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为 ；
若－1若a<－1，则不等式的解集为(a，－1).
6.已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1A.x1＋x2＋2＝0 B.x1x2＋3<0
C.<4 D.x1<－3，x2>1
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答案
√
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答案
因为关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1所以a<0，且x1，x2是方程ax2＋2ax＋2－3a＝0的两根，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，
所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，B正确；
又因为＝2>4，故C错误；
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答案
作出y＝a(x－1)(x＋3)和y＝－2的图象，则x1，x2为
两函数图象交点的横坐标，
由图象可知x1<－3，x2>1，故D正确.
三、填空题
7.不等式≥3的解集是　　　　.
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答案
(1，3]
由题设－3＝≥0，则解得x∈(1，3].
8.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3，4).那么原不等式的解集为　　　　　　.
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答案
(－2，3)
依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，
即x2－x－6<0，解得－2所以原不等式的解集为(－2，3).
四、解答题
9.已知函数f(x)＝ax2－2ax－3.
(1)若a＝1，求不等式f(x)≥0的解集；
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答案
当a＝1时，f(x)＝x2－2x－3，
f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，
∴不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}.
(2)已知a>0，且f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，求a的取值范围.
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答案
f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，
则二次函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1，
∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
∵f(3)＝3a－3，
f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，转化为f(3)≥0，
∴3a－3≥0，解得a≥1，
故实数a的取值范围为[1，＋∞).
10.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
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答案
因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
所以解得
(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.
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答案
由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m＝2时，不等式解集为 ；
当m<2时，不等式解集为{x|m11.(多选)已知k∈Z，若关于x的不等式x2－xA.－1 B.1 C.2 D.3
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答案
能力拓展
√
√
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答案
关于x的不等式x2－x即x2－(k＋1)x＋k<0，
即(x－1)(x－k)<0，
当k＝1时，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，
解集为空集，不符合题意；
当k>1时，(x－1)(x－k)<0的解满足1要使得关于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝3；
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答案
当k<1时，(x－1)(x－k)<0的解满足k要使得关于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝－1，
综上，k的可能取值为－1，3.
12.若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是　　　　　.
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答案
　
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答案
当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负实根，满足题意；
当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元二次方程，
关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，设根为x1，x2，
当Δ＝4－8m＝0，即m＝x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，满足题意；
当Δ＝4－8m>0，即m<，且m≠0时，
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答案
若有一个负实根，则x1x2＝<0，解得m<0，
若有两个负实根，则
解得0综上所述，实数m的取值范围是.
返回§1.6　一元二次方程、不等式
课标要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)，不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集 {x|xx2} R
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(-∞，-a)∪(a，+∞)，|x|0)的解集为(-a，a).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(　×　)
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)
(3)若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)
(4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　×　)
2.(2024·保山模拟)已知不等式x2-3x+2≤0的解集为A，不等式<0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0，解得1≤x≤2，所以A={x|1≤x≤2}，
由(x-2)(x-1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
3.若关于x的不等式-x2+ax-7≤0恒成立，则a的取值范围为(　　)
A.(-)
B.
C.(-∞，-)∪(，+∞)
D.(-∞，-]∪[，+∞)
答案　B
解析　由题意得Δ=a2-4××(-7)≤0，
解得-≤a≤.
因此，实数a的取值范围是.
4.若关于x的不等式x2+(2m-1)x+m2-m>0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为　　　　　　.
答案　-3
解析　根据题意，方程x2+(2m-1)x+m2-m=0的两根为3和4，
故有解得m=-3.
避免三种失误
(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.
(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
(3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R还是 .
题型一　求解一元二次不等式
命题点1　不含参的不等式
例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A.不等式-x2-x+2>0的解集为{x|x<-2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
答案　BD
解析　由题知方程-x2-x+2=0的解为x1=1，x2=-2，所以不等式-x2-x+2>0的解集为{x|-2因为 -1≤0，即≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3≤x<2}，故B正确；
由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由|x-1|<1，可得-1命题点2　含参的不等式
例2　解关于x的不等式ax2-(a+4)x+4<0.
解　原不等式可化为(ax-4)(x-1)<0，
所以当a=0时，解得x>1；
当0当a=4时，不等式无解；
当a>4时，解得当a<0时，不等式等价于(x-1)>0，
解得x<或x>1，
综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a=4时，不等式的解集为 ；
当a>4时，不等式的解集为；
当a<0时，不等式的解集为.
思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1　解关于x的不等式：
(1)>1；
(2)x2-ax-2a2>0.
解　(1)因为>1 -1>0 >0 >0
<0 (3x-1)(2x+1)<0 -(2)不等式x2-ax-2a2>0可化为
(x-2a)(x+a)>0，
当2a<-a，即a<0时，解得x<2a或x>-a；
当2a=-a，即a=0时，解得x≠0，
当2a>-a，即a>0时，解得x<-a或x>2a.
综上所述，当a<0时，
解集为(-∞，2a)∪(-a，+∞)；
当a=0时，解集为(-∞，0)∪(0，+∞)；
当a>0时，解集为(-∞，-a)∪(2a，+∞).
题型二　三个二次之间的关系
例3　(1)(多选)(2024·龙岩模拟)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-3，1)，则下列结论正确的是(　　)
A.b<0且c>0
B.9a-3b+c<0
C.关于x的不等式ax-b<0的解集是(2，+∞)
D.关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集是(-∞，-1)∪(3，+∞)
答案　ACD
解析　对于A项，由题意可知，a<0，-3和1是方程ax2+bx+c=0的两根，可得-3+1=-，-3×1=，所以b=2a<0，c=-3a>0，故A项正确；
对于B项，因为-3是方程ax2+bx+c=0的根，所以9a-3b+c=0，故B项错误；
对于C项，由A项知ax-b<0，即ax-2a<0，即a(x-2)<0，因为a<0，解得x>2，故C项正确；对于D项，不等式ax2-bx+c<0即ax2-2ax-3a<0，化简得x2-2x-3>0，解得x<-1或x>3，故D项正确.
(2)已知关于x的方程x2-kx+k+3=0有两正根x1，x2，则+的最小值为　　　　　　.
答案　18
解析　依题意有
解得k≥6，
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=k2-2(k+3)=(k-1)2-7，
∵k≥6，∴当k=6时，(+)min=18.
思维升华　已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
跟踪训练2　(1)若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，则不等式cx2-2x+a≤0的解集是(　　)
A. B.
C.[-2，3] D.[-3，2]
答案　C
解析　因为不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，
所以-和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根，
由解得
故不等式cx2-2x+a≤0，即2x2-2x-12≤0，
解不等式x2-x-6≤0，得-2≤x≤3，
所求不等式的解集是[-2，3].
(2)(2025·连云港模拟)已知方程x2-2ax+a2-4=0的一个实根小于2，另一个实根大于2，则实数a的取值范围为　　　　　　　.
答案　(0，4)
解析　设f(x)=x2-2ax+a2-4，
因为方程x2-2ax+a2-4=0的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足f(2)=a2-4a<0，解得0即实数a的取值范围为(0，4).
题型三　一元二次不等式恒成立问题
例4　(1)若对于一切实数x，不等式mx2-3mx-2<0恒成立，求m的取值范围；
(2)当x∈(0，4)时，不等式x2+mx+4>0恒成立，求m的取值范围.
解　(1)要使mx2-3mx-2<0恒成立，
若m=0，显然-2<0恒成立，满足题意；
若m≠0，则
解得-综上，m的取值范围是.
(2)当x∈(0，4)时，x2+mx+4>0恒成立，
即-m<恒成立，
又=x+≥2=4，
当且仅当x=，即x=2时等号成立，
∴-m<4，即m>-4，
∴m的取值范围是(-4，+∞).
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
跟踪训练3　设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于x∈[-1，1]，f(x)<-m+5恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于m∈[-2，2]，f(x)<-m+5恒成立，求x的取值范围.
解　(1)由题意得，f(x)<-m+5在[-1，1]上恒成立，
即m(x2-x+1)<6在[-1，1]上恒成立，
∵x2-x+1=+≥对一切实数恒成立，
∴m<在[-1，1]上恒成立，
∵函数y=x2-x+1在上单调递减，在上单调递增，∴ymax=1+1+1=3，
∴在[-1，1]上的最小值为2，
∴m<2.
故m的取值范围为(-∞，2).
(2)∵mx2-mx-1<-m+5对于m∈[-2，2]恒成立，
∴m(x2-x+1)-6<0对于m∈[-2，2]恒成立，
∴
解得-1故x的取值范围为(-1，2).
课时精练
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·威海模拟)设集合A={x||x-1|≥1}，B={x|x2-x-2<0}，则A∩B等于(　　)
A.(-2，0) B.(-1，0)
C.(-2，0] D.(-1，0]
答案　D
解析　由题意得A={x|x≥2或x≤0}，B={x|-1所以A∩B={x|-12.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1C.{a|-1答案　B
解析　当a=2时，原不等式为-12<0，满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得a-2<0，且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0，解得-1综上，-1故a的取值范围为{a|-13.关于x的一元二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0有一个根小于-1，另一个根大于1，则a的取值范围是(　　)
A.(-2，1) B.(-2，0)
C.(0，1) D.(-2，-1)
答案　B
解析　设f(x)=x2+(a2-1)x+a-2，
由题意知
即解得
所以-24.当x∈(-1，1)时，不等式2kx2-kx-<0恒成立，则k的取值范围是(　　)
A.(-3，0) B.[-3，0)
C. D.
答案　D
解析　当k=0时，满足不等式恒成立；
当k≠0时，令f(x)=2kx2-kx-，则f(x)<0在(-1，1)上恒成立，
函数f(x)图象的对称轴为x=，
当k>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
则有解得0当k<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
则有f =--<0，解得-3综上可知，k的取值范围是.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为(　　)
A.R
B.(-1，a)
C.(a，-1)
D.(-∞，-1)∪(a，+∞)
答案　BCD
解析　根据题意，易知a≠0.
当a>0时，函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向上，故不等式的解集为(-∞，-1)∪(a，+∞).
当a<0时，函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向下，若a=-1，则不等式的解集为 ；
若-1若a<-1，则不等式的解集为(a，-1).
6.已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的有(　　)
A.x1+x2+2=0 B.x1x2+3<0
C.<4 D.x1<-3，x2>1
答案　ABD
解析　因为关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是(x1，x2)，其中x1所以a<0，且x1，x2是方程ax2+2ax+2-3a=0的两根，
所以x1+x2=-2，x1x2==-3，
所以x1+x2+2=0，x1x2+3=<0，故A，B正确；
又因为==2>4，故C错误；
作出y=a(x-1)(x+3)和y=-2的图象，则x1，x2为两函数图象交点的横坐标，
由图象可知x1<-3，x2>1，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.不等式≥3的解集是　　　　　　.
答案　(1，3]
解析　由题设-3=≥0，则解得x∈(1，3].
8.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为　　　　.
答案　(-2，3)
解析　依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，因此不等式x2+bx+c<0，
即x2-x-6<0，解得-2所以原不等式的解集为(-2，3).
四、解答题(共27分)
9.(13分)已知函数f(x)=ax2-2ax-3.
(1)若a=1，求不等式f(x)≥0的解集；(6分)
(2)已知a>0，且f(x)≥0在[3，+∞)上恒成立，求a的取值范围.(7分)
解　(1)当a=1时，f(x)=x2-2x-3，
f(x)≥0，即x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3，
∴不等式的解集为{x|x≤-1或x≥3}.
(2)f(x)=ax2-2ax-3=a(x-1)2-a-3(a>0)，
则二次函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x=1，
∴f(x)在[3，+∞)上单调递增，
∵f(3)=3a-3，
f(x)≥0在[3，+∞)上恒成立，
转化为f(3)≥0，
∴3a-3≥0，解得a≥1，
故实数a的取值范围为[1，+∞).
10.(14分)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；(7分)
(2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0.(7分)
解　(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1=1，x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个根，
所以
解得
(2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0，
即(x-m)(x-2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m=2时，不等式解集为 ；
当m<2时，不等式解集为{x|m11题6分，12题5分，共11分
11.(多选)已知k∈Z，若关于x的不等式x2-xA.-1 B.1 C.2 D.3
答案　AD
解析　关于x的不等式x2-x即x2-(k+1)x+k<0，
即(x-1)(x-k)<0，
当k=1时，(x-1)(x-k)<0即(x-1)2<0，
解集为空集，不符合题意；
当k>1时，(x-1)(x-k)<0的解满足1要使得关于x的不等式x2-x由于k∈Z，故k=3；
当k<1时，(x-1)(x-k)<0的解满足k要使得关于x的不等式x2-x由于k∈Z，故k=-1，
综上，k的可能取值为-1，3.
12.若关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　
解析　当m=0时，方程为2x+2=0，有一个负实根，满足题意；
当m≠0时，mx2+2x+2=0为一元二次方程，
关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负实根，设根为x1，x2，
当Δ=4-8m=0，即m=时，方程为x2+2x+2=0，解得x=-2，满足题意；
当Δ=4-8m>0，即m<，且m≠0时，
若有一个负实根，则x1x2=<0，解得m<0，
若有两个负实根，则
解得0综上所述，实数m的取值范围是.

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