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第十一章 不等式与不等式组
11.2一元一次不等式
第1课时
一元一次不等式是初中数学的重要内容，它是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组等等相关知识的基础上进行的延伸.从知识体系来看，不等式与方程一样，都是研究数量关系的重要数学工具，方程描述的是等量关系，而不等式描述的是不等关系，二者相互补充，共同完善了初中数学对于数量关系的研究范畴.在理解不等式基本性质的基础上，教材给出一元一次不等式的定义，明确其形式特征.随后，详细讲解一元一次不等式的解法，其解法步骤与一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等，但在未知数的系数化为 1 时，需要根据不等式两边所乘（或除以）的数的正负情况，确定不等号方向是否改变.这一过程既强化了学生对已有知识（解方程步骤）的迁移运用，又突出了不等式解法的独特之处，培养学生严谨的思维习惯.
学生在学习一元一次不等式时的状况，学生已经掌握了等式的基础知识，有利于知识的迁移，但不等式性质与等式的性质差异易致混淆.
从认知能力看，学生在理解不等式性质及实际应用方面有困难，主要是从具体的问题到抽象的数学建模需要学生具有一定的理解能力.学习特点方面，个体差异和学习方式偏好明显.困难集中在不等式性质理解、解题错误及应用建模，应对策略从直观教学、规范解题、强化应用训练等方面展开.
1.了解一元一次不等式概念的形成过程.
2.会解一元一次不等式的，并能在数轴上表示出解集，培养学生的运算能力和数形结合的思想.
3.通过类比解一元一次方程的过程，获得解一元一次不等式的思路，即依据一元一次不等式的性质，将一元一次不等式化简为x＞a或x＜a的形式，加深对化归思想的体会.
重点：会解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.
难点：通过类比解一元一次方程的过程，获得解一元一次不等式的思路，即依据一元一次不等式的性质，将一元一次不等式化简为x＞a或x＜a的形式，加深对化归思想的体会.
复习回顾
问题：什么一元一次方程？
答：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程.
问题：解一元一次方程的一般步骤是什么？
答：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
师生活动：学生独立思考，指定学生回答.
设计意图：通过复习一元一次方程及解题步骤，可以使学生快速进入学习状态，同时为学习新知识的学习做好充足准备，类比一元一次方程学习一元一次不等式，有助于学生进而更快地理解和掌握.
探究新知
活动一：一元一次不等式的概念
问题：观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？
x-7>26, 3x<2x+1， x＞50， -4x>3.
师生活动：小组形式汇报．
答：解：1.不等式只含有一个未知数；
2.不等式的两边都是整式；
3.不等式未知数的次数是1.
追问：你知道上面的不等式是什么不等式吗？
答：一元一次不等式.
师小结：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式,叫作一元一次不等式．
一元一次不等式必须满足同时满足三个条件：
(1)不等号的两边都是整式；
(2)只含一个未知数；
(3)未知数的次数是1，且未知数系数不为0.
设计意图：通过几个具体的不等式使学生从中抽象出一元一次不等式的概念，有助于学生对于概念的准确识别.
活动二：一元一次不等式的解法
问题：利用不等式的性质解不等式 x－7＞23.
解：根据不等式的性质1，不等式两边都加 7，不等号的方向不变，所以
x－7＋7＞23＋7，
x＞30．
　　 所以这个不等式的解集是 x＞30．
师演示课件：
师小结：解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不等号的方向不变．
问题：解一元一次方程：
4x-1=5x+15.
答：解：移项，得4x-5x=15+1.
合并同类项，得-x=16.
系数化为1，得x=-16.
追问：类比一元一次方程的解法，若把“=”变成“<”该如何解呢？
4x-1<5x+15
答：移项，得4x-5x<15+1.
合并同类项，得-x<16.
系数化为1，得x＞-16.
师小结：一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集.
设计意图：通过类比一元一次方程的解法，使学生掌握一元一次不等式的解法，使学生利用原有的知识基础进行迁移，这样能帮助学生对知识的理解与掌握.
应用新知
教材例题
例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）3（x-1）＜x-2;
（2）+2≥.
答：（1）解：去括号，得3x-3移项，得3x-x<-2+3.
合并同类项，得2x<1.
系数化为1，得 x＜ .
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示
（2）解：去分母，得3（x-5）+24≥2(5x+1).
去括号，得3x-15+24≥10x+2.
移项，得3x-10x≥2+15-24.
合并同类项，得-7x≥- 7.
系数化为1，得x≤1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
小结：
问题：解一元一次不等式每一步变形的依据是什么？
答：去分母：不等式的性质 2.
去括号：去括号法则.
移项：不等式的性质 1.
合并同类项：合并同类项法则.
系数化为 1：不等式的性质 2 或 3.
问题：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有哪些相同和不同之处？
答：相同点：
基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
基本思想：都是运用化归思想，将一元一次方程或一元一次不等式变形为最简形式.
不同点：
解法依据：解一元一次不等式的依据是不等式的性质，解一元一次方程的依据是等式的性质；
最简形式：一元一次不等式最简形式是x>a或x师生活动：指定学生在黑板上板演，然后全班集体交流.
设计意图：详细展示解一元一次不等式的一般步骤和方法，如移项、合并同类项、系数化为 1 等，让学生了解每一步的依据和目的.通过观察、比较发现解一元一次不等式与解一元一次方程的类似之处，从而能够将已有的解方程的经验和方法迁移到解不等式中，有助于培养学生的类比思维能力，使他们在面对新的数学问题时，能够主动寻找与已学知识的相似性，进而尝试用类似的方法去解决问题.
经典例题
例2 若关于，的方程组的解满足，则整数的最小值为( )
A. B. C. D.
答：解：，
由得：，
关于，的方程组的解满足，
，
解得：，
的最小整数值为.故选C.
例3已知不等式 x+8＞4x+m (m是常数)的解集是x＜3，求 m的值.
分析：本已知解集求字母的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值.
答：
师生活动：学生先独立思考，然后指定学生回答，全班集体交流.
设计意图：通过经典例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．
课堂练习
　　【教材练习】
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） 5x+15 ＞ 4x－1 ;
（2） 2(x+5) ≤3(x－5) ;
（3） ＞ ;
（4） ≥ +1 .
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
解:（1）移项，得5x-4x＞-1-15.
合并同类项，得x＞-16.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
（2）去括号，得 2x+10≤3x-15.
移项， 得 2x-3x ≤ -15-10 .
合并同类项，得 -x ≤ -25.
系数化为1， 得 x ≥ 25.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
（3）去分母，得 3(x-1)＞7(2x+5).
去括号，得 3x-3 ＞ 14x+35.
移项， 得 3x-14x ＞ 35+3.
合并同类项，得 -11x ＞ 38.
系数化为1，得 x ＜ - .
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
（4）去分母，得 2(x+1) ≥ 3(2x-5)+12.
去括号，得 2x+2 ≥ 6x-15+12.
移项，得 2x-6x ≥ -15+12-2.
合并同类项，得 -4x≥ -5.
系数化为1，得x ≤ .
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
2.当上x或y满足什么条件时，下列关系成立
(1)2(x+1)大于或等于1;
(2)4x与7的和不小于6;
(3)y与1的差不大于2y与3的差;
(4)3y与7的和的 小于-2.
答：（1）由题意，得2(x+1)≥1，
去括号，得2x+2≥1，
移项，得2x≥1-2，
合并同类项，得2x≥-1，
系数化为1，得 x≥- . 所以当x≥ 时，2(x+1)大于或等于1;
（2）由题意得4x+7≥6，
移项，得4x≥6-7，
合并同类项，得 4x≥-1，
系数化为1，得 x≥- .所以当x≥ 时，4x与7的和不小于6;
(3)由题意，得y-1≤2y-3.
移项，得y-2y≤-3+1.
合并同类项，得-y≤-2.
系数化为1，得 y≥2.
所以当y≥2时，y与1的差不大于2y与3的差；
由题意，得 (3y+7)＜-2，去括号，得y+＜-2，
移项，得y＜-2- ，合并同类项，得y＜- ，系数化为1，得y＜ 5.
所以当y＜ 5 时,3y与7的和的 小于-2.
【限时训练】
1.下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A. B. C. D.
答：C
2.不等式3x 1≥x+3的解集是( )
A. x≤4 B. x≥4 C. x≤2 D. x≥2
答：D
3.定义新运算“ ”，规定：a b=a 2b.若关于x的不等式x m>3的解集为x> 1，则m的值是( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
答：B
4.小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为( )
A. 52+15n>70+12n B. 52+15n<70+12n
C. 52+12n>70+15n D. 52+12n<70+15n
答：A
5. 已知关于，的二元一次方程组满足，则的取值范围是______．
答：
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.一元一次不等式的概念是什么？
3.解一元一次不等式的步骤是什么？
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
从学习目标达成来看，通过讲解和练习，大部分学生能够理解一元一次不等式的概念，掌握其解法步骤，如去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等，基本实现了知识与技能目标.
教学方法上，采用了讲授法与练习法相结合.讲授时，类比一元一次方程的解法，引导学生发现解一元一次方程与解一元一次不等式的异同点，有助于学生快速理解新知识，降低学习难度.
不足之处一些学生对概念理解不够深入，在判断不等式是否为一元一次不等式时，容易忽略 “只含有一个未知数，且未知数的次数是 1” 这一关键条件.在解不等式过程中，去分母时漏乘常数项，系数化为 1 时，当系数为负数，忘记改变不等号方向等错误较为常见.这反映出学生对知识点的掌握不够扎实，运算的准确性和细心程度有待加强.同时，部分学生在解决实际问题时，难以将实际情境转化为数学模型，缺乏分析问题和建立不等式的能力.

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