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第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第2课时
《一元一次不等式》是初中数学代数领域的重要内容.它承接了一元一次方程的知识体系，在方程的基础上，将等号变为不等号，研究数量之间的不等关系.本节课是一元一次不等式的第2课时，主要内容是利用一元一次不等式解决实际问题，它是在学习了一元一次方程和不等式的基本性质之后进行的.利用一元一次不等式解决实际问题，是对不等式知识的进一步深化和应用，体现了数学与实际生活的紧密联系.通过解决实际问题，能让学生体会到数学是解决实际问题的有力工具，增强学生学习数学的兴趣和应用数学的意识，同时也为后续学习二元一次不等式组、一元二次不等式等知识奠定基础.
学生能够理解用字母表示数、代数式的概念以及等式的基本性质，这些知识和技能可以类比迁移到一元一次不等式的学习中. 学生也已经初步接触了不等式的基本性质，了解了不等式的解和解集的概念，会在数轴上表示不等式的解集，这使得他们在学习利用一元一次不等式解决实际问题时，能够更好地理解不等式模型的建立和解的意义. 在思维能力方面，初中生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段.对于一些具体的、直观的实际问题，他们能够通过分析数量关系来建立数学模型，但对于一些较为复杂、抽象的问题，可能还存在一定的困难. 教师在教学过程中应充分考虑学生的特点，采取有针对性的教学方法和策略，帮助学生克服困难，提高他们解决实际问题的能力.
1.能利用一元一次不等式解决实际问题，进一步熟练掌握一元一次不等式的解法.
2.通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，训练学生的分析问题和建立数学模型的能力.
3.通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与实际生活的密切联系，以激发学生学习数学的兴趣和信心.
重点：利用一元一次不等式解决实际问题.
难点: 通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型.
复习回顾
1.一元一次不等式的定义是什么？
含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1的不等式叫做一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的步骤是什么
根据不等式的性质，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将不等式逐步化为 (或 )的形式.
师生活动：教师提问，学生举手回答.
设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫.
探究新知
活动：利用一元一次不等式解决实际问题
问题：小华打算在星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2h，下午4点以前必须回到出发点. 如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶（图中数字表示出发点到山顶的路程）？
思考：问题中不等关系是什么？
答： 上午7点到下午4点之间总共相隔9 h，即所用时间应小于或等于9 h.
不等关系：去时所花时间+休息时间+回来所花时间≤9h.
答：设从出发点到山顶的距离为x km,则他们去时所花时间为 h,回来所花时间为 h.
他们在山顶休息了2 h，又上午7点到下午4点之间总共相隔9 h.
根据题意得 ,解得：.
因此要满足下午4点以前必须返回出发点，小华他们最远能登上D山顶.
问题：列一元一次不等式解实际问题的步骤有哪些？
答： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量；
(2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关系；
(3)设：设出适当的未知数；
(4)列：根据题中的不等关系列出不等式；
(5)解：解出所列不等式的解集；
(6)答：检验是否符合题意，写出答案．
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，指定学生回答，全班集体交流.
设计意图：让学生从实际问题中抽象出数学问题，找出不等关系，利用一元一次不等式来解决实际问题，让学生体会建立不等式模型的过程.
应用新知
【教材例题】
例1七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少题才能成功晋级？
师适当引导题中不等关系：不等关系：初赛成绩＞90分.
答：解：设初赛答对了道题.根据题意，得
.
去括号，得
.
移项，合并同类项，得
.
系数化为1，得
.
由应为正整数，可得至少为13.
答：初赛至少要答对13道题才能成功晋级.
例2 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320 t标准煤，如果计划使今年万元区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
分析：
解:设这个市今年万元地区生产总值能耗为t标准煤.
根据题意，列得不等式
.
去分母，得
.
移项，合并同类项，得
.
系数化为1，得
.
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t标准煤.
师生活动:学生独立思考，指定学生回答，全班集体交流.
设计意图：通过例题，进一步巩固加深学生对列一元一次不等式解决实际问题的理解，提高学生解决问题的能力.
课堂练习
某工程队计划在10天内修路6 km.施工前2天修完1.2 km后，计划发生变化，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
分析：本题不等关系为(10-2-2)天修路总路程+已修路程≥6 km.
答：解：设以后几天内平均每天修路 km .
(10-2-2)x+1.2≥6.解这个不等式得.
答：以后几天内平均每天至少要修路0.8 km.
一家商店以每辆340元的进价购入一批自行车共150辆，并以每辆450元的价格销售.两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出多少辆自行车？
分析：本题不等关系为已售自行车的销售额＞150辆自行车进货的总费用.
答：解： 设已售出 辆自行车，根据题意，得450x＞150×340,
解这个不等式.
由于必须是整数，所以至少需要售出114辆自行车.
答：至少已售出114辆自行车.
师生活动：学生独立完成解题过程，以小组形式讨论后，由学生代表展示，教师点评.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.某商品原价500元，出售时标价为900元，要保持利润不低于26%，则最低可打 ( )
A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折
解：设最低可打折出售，根据题意，列得不等式,
解这个不等式.
故选B.
2.小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本.她最多还能买 支笔.　
分析：本题不等关系为买笔的费用+买笔记本的费用≤21元.
解：设她还能买支笔，根据题意，列得不等式.
解这个不等式.
因为只能取正整数，所以小颖最多还能买5支笔.
3.有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg，每捆材料重20kg，电梯最大负荷1050kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多能搭载 捆材料.　
分析：本题不等关系为3人的重量+材料质量≤电梯最大负荷.
解：设该电梯最多还能搭载捆材料，根据题意，列得不等式，
解这个不等式.
答：所以该电梯最多还能搭载42捆材料.
4.某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员.
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
解：（1）（元）.
答：实际应支付114元.
（2）设所购买的商品的价格为x元时，采用方案一更合算，根据题意，得
，
解这个不等式，得
.
所以小敏所购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算.
师生活动：学生独立完成解题过程，指定学生讲解.
设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有施展的舞台．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.请你说一说用一元一次不等式解决实际问题的步骤.
3.在使用一元一次不等式解决实际问题的过程中需要注意什么？
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本节课是利用一元一次不等式组解决实际问题时，学生需要具备较强的阅读理解能力、逻辑分析能力和数学表达能力，而这些能力的发展是不均衡的，部分学生可能在理解题意、找出不等关系以及将实际问题转化为数学模型等方面存在障碍，例如“至少”“至多”“不超过”“不少于”等，准确理解这些词语所表达的不等关系是解题的关键.另外，在根据不等式的解来确定实际问题的答案时，学生可能会忽略实际问题的限制条件.例如，实际问题中涉及到人数、物品数量等通常为正整数，而不等式的解可能是一个取值范围，学生需要根据实际情况对解进行合理的取舍和解释.这种两极分化的课堂表现不仅影响了整体教学进度，也给教学带来了较大挑战.
基于以上反思，后续教学需做出多方面调整.在教学设计上，增加学生自主探究环节，例如在给出实际问题后，先让学生独立思考一段时间，尝试自行列出不等式，然后再进行小组讨论和全班交流，教师在这个过程中给予适时引导.针对学生的个体差异，设计分层作业，为基础薄弱的学生提供更多基础巩固性练习，帮助他们夯实基础；为学有余力的学生提供拓展性题目，满足他们的学习需求.同时，加强对学生学习方法的指导，教会学生如何分析题目中的关键信息、如何通过列表、画图等方式梳理数量关系，逐步提升学生解决实际问题的能力，让每个学生在这一知识板块的学习中都能获得成长与进步.

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