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第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第3课时
本节课是在学生掌握一元一次不等式概念、解法以及利用一元一次不等式解决实际问题等基础上，深入探讨利用一元一次不等式解决生活中的一些实际问题，是对一元一次不等式知识的巩固与拓展.教材通过生活中购物问题，货比两家，加以选择.两个优惠方案的优惠起点是具有关键意义的数据，需要根据这些数据分三种情况讨论问题.其中，第三种情况最为复杂，需要再次分类，列不等式解决，体会分类讨论的数学思想重要性.
教材通过丰富的实际问题情境，引导学生运用一元一次不等式解决生活中的不等关系问题，体现了数学与生活的紧密联系，培养学生数学建模和应用意识.
学生已学习一元一次不等式的基本概念和解法，具备一定的运算能力和知识储备，但在将实际问题转化为数学模型并准确列出不等式方面可能存在困难.
七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡阶段，对直观、具体的事物感兴趣，在教学中应多创设生活情境，借助图表等直观手段帮助学生理解抽象的数学概念和数量关系.
1. 利用一元一次不等式解决分段计费等较复杂实际问题，体会分类讨论的数学思想.
2. 通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，训练学生的分析问题和建立数学模型的能力.
3. 通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与实际生活的密切联系，以激发学生学习数学的兴趣和信心.
重点：利用一元一次不等式解决较复杂的实际问题.
难点：利用一元一次不等式解决分段计费等较复杂实际问题，体会分类讨论的数学思想.
复习回顾
问题：用一元一次不等式解决实际问题的基本步骤是什么呢？
答：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量；
(2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关系；
(3)设：设出适当的未知数；
(4)列：根据题中的不等关系列出不等式；
(5)解：解出所列不等式的解集；
(6)答：检验是否符合题意，写出答案．
师生活动：指定学生回答，然后全班集体交流．
设计意图：通过复习利用一元不等式解决实际问题的步骤，进而为这节课研究利用一元一次不等式解决较复杂的实际问题作铺垫.
探究新知
活动：应用题中的分类讨论思想
问题：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？
师适当的引导学生：
在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠．因此，需要分三种情况讨论：
（1）累计购物不超过50元；
（2）累计购物超过50元而不超过100元；
（3）累计购物超过100元.
思考：设累计购物为x元，如何表示上面三种情况的不等关系呢？
答：（1）0＜x≤50；
（2）50＜x≤100
（3）x＞100.
思考：你能用含 x的式子表示顾客在两家超市花费的钱吗？
答：
思考：能判断到哪家超市购物花费比较少呢？
答：1＜x≤50，甲、乙两超市购物花费相同；50100时，两个式子无法直接比较.
师追问：当累计购物超过100元时，两个超市的花费都是用含 x的式子表示，需要进一步分情况讨论，你知道怎么讨论吗？
答：也是分3种情况讨论，什么情况在甲超市购物花费少；什么情况在乙超市购物花费少；
什么情况在甲、乙超市购物花费一样.
答：
问题：总结说一说，怎样购物花费较少？
答：当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，师适当的引导．
设计意图：学生从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用不等式来解决实际问题，让学生体会建立不等式模型的过程和分类讨论的必要性，教师及时予以引导、归纳和总结，培养学生有条理地思考和表达的习惯，渗透分类讨论的思想.
经典例题：
例 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
（1）设小王家5月的用水量为28吨，求小王家5月应缴的水费；
(2)随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把7月的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9200元，则小王家7月最多能用水多少吨？
答：解：
答：小王家5月应缴的水费为106元.
（2）当用水量为30吨时，水费为17×（2.2＋0.8）＋（30－17）×（4.2＋0.8）＝116（元），因为9200×2%＝184（元），因为184＞116，所以小王家7月的用水量超过30吨．
设小王家7月的用水量为x吨，根据题意，得116＋（6.0＋0.8）（x－30）≤184，
解得x≤40．
答：小王家7月最多能用水40吨．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过经历各类生活情境，加深其多维度思考问题的能力，培养分类讨论的思想，进而提高解决实际问题的能力.
课堂练习
教材练习：
1. 学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给在绘画比赛中获奖的学生．笔记本的价格为16元/个，中性笔的价格为4元/支．如果学校一共要购买100件奖品，总费用不能超过900元，那么学校最多能买多少个笔记本？
答：解：设购买个笔记本.
由题意可得，解得.
因为x应为正整数，可得x最大为41.
答：学校最多能买41个笔记本.
2. 一家水果店花费10000元购进了大樱桃和小樱桃各200kg，计划分别以39元/kg和29元/kg的价格销售，但大樱桃在运输中损耗了20%．若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的90%，大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？
答：解：设大樱桃的售价应定为每千克x元,则根据题意得；
，
整理得，解得.
答：大樱桃的售价至少要定为元/kg.
限时训练：
1.某出租车司机开车从甲地到乙地用时30分钟，从乙地到丙地用时40分钟.如果甲、乙两地的距离比乙、丙两地的距离多30千米，且司机全程的平均速度不低于60km/h，那么甲、乙两地至少多远？
答：解：设甲、乙两地的距离为，则乙、丙两地的距离为．
根据题意，得，解得．
答：甲、乙两地的距离至少为50千米.
2.甲、乙两个工程队同时对全长为64千米的某段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
答：设甲队后期每天施工千米，
甲原来每天的施工长度为千米，
乙每天的施工长度为千米，
根据题意，得：，
解得.
答：甲工程队后期每天至少施工千米，可确保工程提早天以上含天完成．
3.某市对居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
已知李叔家四月份用电千瓦时，缴纳电费元五月份用电千瓦时，缴纳电费元请你根据以上数据，求出表格中、的值．
六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过元，那么李叔家六月份最多可用电多少千瓦时
解：
根据题意，得解得
答：、的值分别为0.61和0.66．
因为元，，
所以最多可用电超过千瓦时设李叔家六月份用电千瓦时．
根据题意，得，
解得 ．
答：李叔家六月份最多可用电千瓦时
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过练习让学生进一步掌握利用一元一次不等式解决实际问题.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
在教学过程中，通过创设贴近学生生活的实际问题情境，激发了学生的学习兴趣和积极性，让学生感受到数学的实用性.同时，通过经历各类生活情境，加深其多维度思考问题的能力，从而培养出学生利用分类讨论思想解决实际问题的能力.
在教学中，部分学生对实际问题中的不等关系分析不够准确，导致列不等式时出现错误.在今后教学中，应加强对学生分析问题能力的培养，注重引导学生从多角度思考问题，提高学生解决实际问题的能力.
在今后教学中，可增加一些针对性的练习，让学生在练习中不断巩固所学知识，提高解题能力，同时，加强对学习困难学生的个别辅导，帮助他们克服学习中的困难，增强学习信心.

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