资源简介

第十一章　不等式与不等式组
11.3一元一次不等式组
本章内容是在学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及一元一次不等式的基础上进行学习的，是对方程和不等式知识的进一步深化和拓展.本节课主要学习一元一次不等式组的概念、解法以及应用，为后续学习二元一次不等式组以及更复杂的不等式组奠定基础.
本节课内容既是对一元一次不等式知识的巩固和提升，又是学习更复杂不等式组的基础，在初中数学学习中起着承上启下的作用.本节课类比一元一次不等式的相关知识，让同学们理解并掌握一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集的概念以及解一元一次不等式组的方法步骤.通过本节课的学习，可以培养学生的逻辑推理能力、数形结合能力以及应用数学知识解决实际问题的能力.不等式组在现实生活中有着广泛的应用，例如资源分配、生产计划、投资决策等.学习本节课内容，可以帮助学生更好地理解和解决生活中的实际问题.
七年级学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及一元一次不等式，具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力还在发展中，对于数形结合的思想方法还需要进一步引导和强化，学生对于与生活实际相关的数学问题比较感兴趣，但对于抽象的概念和复杂的运算可能会产生畏难情绪.
为此，在教学过程中，教师应关注学生的这些难点，通过设置贴近生活的实际问题，引导学生逐步明晰解不等式组的关键，并在解题过程中给予适当的提示和指导.此外，教师要注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与课堂讨论，发挥学生的主体作用，帮助他们克服困难，提高解题能力时，针对学生的个体差异，教师应制定有针对性的教学策略，使每位学生都能在本章节的学习中取得进步.
1.理解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法，提高运算能力；
2.经历探索一元一次不等式组解集的过程，能够利用数轴法或口诀法正确表示出一元一次不等式组的解集，体会数形结合、类比、分类讨论等数学思想方法；
3.会用不等式组解决简单的实际问题，掌握将实际问题抽象为不等式组模型的方法，并能够根据解集对实际问题进行合理解释，初步体会不等式组的应用价值.
重点：理解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法.
难点：会用不等式组解决简单的实际问题.
复习回顾
问题：什么是不等式？什么是一元一次不等式？
答：用符号“” “”或“”表示不等关系的式子，叫作不等式；一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式.
问题：解下列一元一次不等式：
；
；
解：，
，去分母
，移项
，合并同类项
.系数化为1
，
，去分母，去括号
，移项
，合并同类项
.系数化为1
师生活动：教师提问，学生举手回答.
设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫.
探究新知
活动一：一元一次不等式组的概念
问题：某工程队用每小时可抽30t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200t而不足1500t，求将污水抽完所用时间的范围．
分析：不等关系：
“积存的污水超过1200t” →
“积存的污水不足1500t” →
答：解：设用x h将污水抽完，则x同时满足不等式
， ②.
类似于方程组，把30x＞1200，30x＜1500这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作.
师小结：类似于方程组，把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．
一元一次不等式组的特点：不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个；不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数；书写时不能漏掉边上的大括号.
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空，然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
设计意图：通过分析，初步感知一元一次不等式组.
活动二：一元一次不等式组的解集
问题：怎样确定不等式组中x的取值范围呢？
分析：类似方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x的取值范围．
答：解：由不等式①，解得x＞40.由不等式②，解得x＜50.
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图.
师小结：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集．
注意：(1)不等式组的解集同时满足所有不等式的解；
(2)两个不等式解集的公共部分才是不等式组的解集，当两个不等式的解集没有公共部分时，说明这个不等式组无解..
问题：利用数轴确定下列不等式组的解集，并说说有你有什么发现？
答：
师小结：
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空，然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
设计意图：通过具体题目的分析，初步感知一元一次不等式组的解集的概念与特点，将抽象知识具体化.通过观察四组不等式组解集的公共部分，讨论交流探究不同情况的解集的规律，让学生体会数学表达的简洁性，提高学生的符号意识.
应用新知
【经典例题】
例1解下列不等式组：
(1)；　　 (2) ．
解：(1)解不等式①，得；解不等式②，得．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，就可以找出两个不等式解集的公共部分，如图.
所以不等式组的解集为．
(2)解不等式①，得；解不等式②，得．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，就可以找出两个不等式解集的公共部分，如图.所以不等式组无解．
例2 x取哪些整数值时，不等式与都成立？
分析：使两个不等式都成立的x的值，就是两个不等式的公共解，因此求出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是x可取的整数值．
解：解不等式，得.
所以x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4.
思考：解一元一次不等式组的一般步骤是什么？
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴（或口诀)求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集.若没有公共部分，则无解.
师生活动:学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式.
设计意图：通过例题，更好的掌握解一元一次不等式组的步骤，能够应有不等式组的知识解决数学问题.
课堂练习
1.解下列不等式组：
(1) ; (2);
(3) .
解：(1)解不等式，得；
解不等式，得．
则不等式组的解集为．
(2)解不等式，得；
解不等式，得．
则不等式组无解．
(3)解不等式，得；
解不等式，得．
则不等式组的解集为．
2.x取哪些整数值时，不等式与都成立？
解：解不等式组，得.
所以x可取的整数值是4，5.
3.把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？
分析：等量关系：书的数量=人数3+8；
两个不等关系：书的数量（人数-1）50； 书的数量 （人数-1）53.
解：设共有x人，则这些书有本，
依题意得，解得.
又x为正整数， .
答：这些书有26本，共有6名同学.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.若关于x的不等式组.的解集在数轴上表示正确的是( )
答： B
若关于x的不等式组.的解集为x＜3，则m的取值范围是( )
A. m＞2 B.m≥2 C.m＜2 D. m≤2
答：B
3. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
分析：解不等式，得：，解不等式，得：，
所以不等式组的解集是：，
因为关于的不等式组恰有个整数解整数解是，，，
， 故选：C．
4.定义一种运算： ，则不等式的解集是( )
A. 或 B. C. 或 D. 或
分析：由新定义得或，解得或， 故选：．
5.某学校为了增强学生体质，鼓励学生加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元购买根跳绳和个毽子共需元．
求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元.
某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
解：设购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元，
依题意，得：， 解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
设购买m根跳绳，则购买个毽子，
依题意，得：，解得：．
又m为正整数，m可以为21，22．
共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
师生活动：学生先独立作答，老师合理限制时间，最后随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的熟练运用，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力，同时提升学生解题速度.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.回顾本节课学习的主要内容：一元一次不等式组的概念、解法、应用.
2.解一元一次不等式组的基本步骤是什么？
3.解一元一次不等式组的关键是什么？
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本节课采用类比教学法，引导学生将一元一次不等式的解法迁移到一元一次不等式组的解法，降低了学习难度，提高了学习效率，利用数轴表示不等式的解集，将抽象的不等式组解集直观地呈现出来，帮助学生更好地理解和掌握，练习题由易到难，层次分明，既巩固了基础知识，又拓展了学生的思维，满足了不同层次学生的学习需求.
本节课以引导学生回顾一元一次不等式相关概念和解题方法为起始，循序渐进进入一元一次不等式组的学习，课堂上总结了一些解题方法和口诀，对学生解题有很大帮助.
在课堂上，通过小组讨论、学生板演等方式，调动了学生的积极性，营造了良好的课堂氛围.
总之，本节课总体达到了预期的教学目标，但也存在一些不足之处.在今后的教学中，需要不断反思和改进自己的教学方法，努力提高课堂教学效率，使每个学生都能在数学学习中获得进步和发展.

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