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第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组
第1课时
一、教学目标
1.理解三元一次方程组的概念.
2.会用代入法和加减消元法解简单的三元一次方程组.
3.通过解三元一次方程组进一步体会消元思想.
4.通过探究消元法解三元一次方程组的过程，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力.
二、教学重难点
重点：使学生会解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”的基本思想.
难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
环节一 复习回顾
【回顾】
问题1：回忆一下二元一次方程组的概念.
预设：含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1的两个方程组成的方程组叫作二元一次方程组.
问题2：回忆一下二元一次方程组的解法.
预设：学生分别说一说，并引导其说出代入法和加减法的求解过程及其注意事项.
强调：不管是代入法还是加减法，其根本都是消元.
问题3：解二元一次方程组的思路是什么？
预设：把二元一次方程组通过代入和加减法进行消元，即“二元”化为“一元”.
实际上，有不少问题含有更多未知数，我们继续探究！
设计意图：通过回忆二元一次方程组的概念和解法，引出三元一次方程组的学习，并为后边学习三元一次方程组及其相关知识做铺垫.
环节二 探究新知
【探究】
在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
要想解决这个问题，引导学生让其带着如下三个问题进行思考：
(1)题目中有几个未知量？分别是什么？
胜的场数、平的场数、负的场数
(2)题目中有哪些等量关系？
①胜的场数+平的场数+负的场数=22场
②胜场积分+平场积分+负场积分=47分
③ 胜的场数=负的场数的4倍+2
如何用方程表示这些等量关系呢？先把问题（1）中的未知量设为不同的未知数，然后根据问题（2）中的等量关系列出三个方程分别为：x + y + z = 22，3x + y= 47，x = 4z+2，组成一个方程组.
设计意图：通过解决实际问题的情景引出三元一次方程组的学习，以此提高学生学习的兴趣和动力.
观察得到的方程组，引导学生参照二元一次方程组的概念总结给出三元一次方程组的概念：方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
强调组成三元一次方程组必须满足：方程组含有三个未知数、有未知数的式子都是整式、含未知数的项的次数都是1、含有三个方程.
设计意图：通过教师的引导，使学生能类比总结出三元一次方程组的概念.
【思考】
怎样解这个得到的三元一次方程组呢？
回忆一下二元一次方程组的求解过程，有代入法和加减法，我们根据二元一次方程组的求解过程探究一下三元一次方程组的解法吧！
观察这个方程组，发现三个方程中x的系数都是一样的，因此可以用代入法和加减法进行消元计算，但是第三个方程的结构比较简单，可以直接代入第一个和第二个方程直接进行消元计算.
解三元一次方程组：
把③分别代入①②，得y + 5z = 20，y + 12z =41.
得到一个二元一次方程组
解这个方程组，得
把 y = 5，z = 3代入①，得x=14.
因此这个方程组的解是
想一想，还有其它的解法吗？你可以根据自己的想法尝试一下哦！
通过计算三元一次方程组，你能说一说解三元一次方程组的思路吗？
总结：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化成“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
设计意图：让学生在探究三元一次方程组的解法过程中，进一步体会类比的数学思想.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1解三元一次方程组：
分析：方程①中只含有x，z，②③中未知数y的系数有倍数关系，因此可以由②③消去y，得到一个也只含有x，z的方程.将得到的有关x，z的二元一次方程与①组成一个二元一次方程组，求解得到x，z，进而可求出y.
解：②×3+③，得11x + 10z = 35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x = 5， z = –2代入②，解得
因此这个三元一次方程组的解为
你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较！
设计意图：巩固、提高学生求解三元一次方程组的能力.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.解下列三元一次方程组：
2.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的.求这三个数.
答案：
1.解：
②×2+③，得 x+2y = 53. ④
④+①，得 x = 22.
把x = 22代入④，得 y =
把x = 22代入③，得 z =
所以原方程的解为
①+②，得 5x+2y=16. ④
②+③，得 3x+4y=18. ⑤
⑤ – ④×2得，x = 2.
把x = 2代入④，得 y = 3.
把 x =2，y =3代入③，得 z=1.
所以原方程的解为
2.解：设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z.
根据题意，得
解这个方程组，得
∴甲数是10，乙数是15，丙数是10.
设计意图：学生通过练习，可以更好地掌握三元一次方程组的解法，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
环节五 归纳总结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

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