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第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组
第2课时
一、教学目标
1.熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤
2.会用三元一次方程组解决含有三个未知数的问题.
3.会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高模型概念，发展应用意识.
4.通过探究三元一次方程组的应用的过程，提高学生的计算能力及逻辑思维能力.
二、教学重难点
重点：会用三元一次方程组解决含有三个未知数的问题.
难点：根据具体问题列出三元一次方程组.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
环节一 复习回顾
【回顾】
问题1：三元一次方程组的概念是什么？
预设：方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
问题2：解三元一次方程组的思路是什么？.
预设：
强调：不管是代入法还是加减法，其根本都是消元.
在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过解方程组获得问题的答案，我们继续探究！
设计意图：通过回顾三元一次方程组的概念和解三元一次方程组的基本思路，巩固上节课所学内容，为本节课用三元一次方程组解决具体问题作铺垫.
环节二 探究新知
【探究】
在等式 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60，求 a，b，c 的值．
要想解决这个问题，引导学生让其带着如下四个问题进行思考：
(1)这个问题中的相等关系是如何给出的？有几个相等关系？
师生活动：学生明确相等关系由等式给出，所给的每一组x，y的值都使等式成立，共有三组，所以有3个相等关系．
设计意图：引导学生思考相等关系如何得来，此题的相等关系直接由等式给出，不需要再设未知数．学生易发现，三组x，y的值分别使等式成立，有3个相等关系，为后续列出三元一次方程组作铺垫．
(2)如何列出方程组解决问题？
师生活动：学生提出把三组x，y的值分别代入等式，得到三个含a，b，c的等式．
设计意图：教师通过追问引导学生思考，引导学生体会利用三元一次方程组求三个未知数的值得过程．
(3)请按照问题2中的想法，列出方程组.
师生活动：学生把三组x，y的值分别代入等式，得到三个含a，b，c的等式，这三个等式组成一个三元一次方程组，解这个方程组就可求得a，b，c的值．
设计意图：学生列出三元一次方程组，体会三元一次方程组的应用．
(4)你会解这个方程组吗？想一想，如何消元更简单？
师生活动：学生观察三个未知数的系数特点，发现未知数c的系数都是1，采用加减法先消去未知数c，计算起来较为简单
解：根据题意，把三组x，y的值分别代入等式，列得三元一次方程组
解：②－①，得 . ④
　　③－①，得 .⑤
　　④与⑤组成二元一次方程组　　
解这个方程组，得
把 a＝3，b＝－2 代入①，得
　　　　　　c＝－5．
因此 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5．
总结：应用三元一次方程组解决问题的思路：
在解决一些含有三个未知数的问题时，可以根据题意，列三元一次方程组，通过解方程组获得问题的答案.
设计意图：通过解关于未知数 a，b，c的三元一次方程组得到 a，b，c的值，达到解决问题的目的．同时学生通过观察、思考，确定更优的运算求解策略．
环节三 应用新知
【典型例题】
例1在等式中，当x＝1时，y＝-2；当x＝-1时，y＝20；当x＝与x＝时，y的值相等．求a，b，c的值．
分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x,y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
解：根据题意，列得三元一次方程组
将原方程组整理得
①－②，得 2b＝ 22.
解得 b＝ 11.
将b＝ 11代入方程③，得：a=6
将b＝ 11,a=6代入方程①，得：c=3.
因此 a，b，c 的值分别为 6，－11，3．
师生活动：学生独立思考，列出方程组.教师提醒学生注意，③式较复杂，需要先对方程组化简，再进行求解.学生完成化简之后，继续提醒学生选择合适的方法解方程组.
设计意图：巩固、提高学生利用三元一次方程组解决问题的能力.
例2 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数．
分析：题目中蕴含了几个相等关系？如何表示？
相等关系 对应方程
百位上的数＋十位上的数＋个位上的数＝14
百位上的数的2倍－十位上的数＝个位上的数的
新三位数＋99＝原三位数 100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z
设计意图：使学生再次审题明确三个相等关系，进而列式，为后续构建三元一次方程组作铺垫．
解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，根据题意，列得三元一次方程组
思考：想一想，如何解这个方程组？
师生活动：教师引导学生发现最后一个方程不是最简形式，需要对其进行整理和化简，而且第三个方程化简后只含未知数x和z，于是有以下思路．
思路1：可用z表示x，消去x．
由③得x=z+1,④
将④分别代入①②并整理得：
y+2z=13⑤
y+z= 2 ⑥
解由⑤⑥组成的方程组得
将y=7,z=3代入④得：x=4.
所以这个方程组的解为
因此这个三位数是473．
思路 2：①＋②消去 y．
①＋②，得 3x＋z＝14，④
解由③与④组成的方程组
得,
将x=4,z=3代入①得：y=7.
所以这个方程组的解为
因此这个三位数是473．
思路 3：加减法消去 z．
①＋②，得 7x－2y＝14，④
①＋③，得 2x＋y＝15． ⑤
解由④⑤组成的方程组
得,
将x=4,y=7代入①得：z=3.
所以这个方程组的解为
因此这个三位数是473．
设计意图：此题列出的三元一次方程组并不是最简形式，对于这样的方程组需要先化简整理再求解，由此培养学生由繁化简的意识，提升运算能力．
总结：应用三元一次方程组解决问题的一般步骤：
①明确三个未知数；
②寻找三个相等关系；
③列出三元一次方程组；
④解三元一次方程组；
⑤答题．
师生活动：师生共同小结，学生梳理解题步骤．
设计意图：通过小结，使学生明确应用三元一次方程组解决具体问题的一般步骤，积累解决问题的经验，突破本节课的难点．
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的．求这三个数．
解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z．
根据题意，列得方程组
把③变形为 ，④
把④分别代入①②，得
x+z=35⑤
2x z=5⑥
解由⑤⑥组成的方程组得
将x=10，z=10代入①得：y=15.
所以甲数为10，乙数为15，丙数为10．
2.在等式 中，当 时，z＝8；当 x＝2，y＝1时，z＝5；当 x＝－1，y＝－1 时，z＝4．求 a，b，c 的值．
分析:把a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的x,y,z值代入原等式， 就可以得到一个三元一次方程组．
解：根据题意，列得三元一次方程组
②－①，得 a－b＝－3，④
②－③，得 3a＋2b＝1，⑤
解由④⑤组成的方程组得
将a=-1,b=2代入③，得 c＝5．
所以 a＝－1，b＝2，c＝5．
3. 一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11,求这个三位数．
分析：本题中的等量关系是：
十位上的数=百位上的数×2；
百位上的数×3-个位上的数=十位上的数×
百位上的数＋十位上的数＋个位上的数＝11.
把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组．
解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.
根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组得.
因此这个三位数是245.
4. 甲地到乙地全程是3.3km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min．从甲地到乙地时，上坡、 平路、下坡的路程各是多少？
分析：本题中的等量关系是：上坡路+平路+下坡路=3.3；
上坡路÷3+平路÷4+下坡路÷5=51min=
上坡路÷5+平路÷4+下坡路÷3=53.4min=
解：设从甲地到乙地时，上坡、 平路、下坡的路程分别xkm,ykm,zkm,
又51min=,53.4min=
根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组得.
所以从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程分别1.2km,0.6km,1.5km.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
环节五 归纳总结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学的主要内容，进一步提升用三元一次方程组解决问题的能力，加强应用意识，发展模型观念，提升运算能力．

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