资源简介

线段垂直平分线
一、课程目标：
文化价值：探索并证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些简单的问题.
科学价值：在探究线段垂直平分线性质定理的过程中，感受观察、猜想、验证、证明等研究图形属性的方法.
人文价值：通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展推理证明意识和能力.
审美价值：通过设置一系列与生活密切相关的数学问题，运用动手操作和课件，体会数学的图形美，激发学习数学的兴趣.
重难点：
线段垂直平分线的性质定理和判定定理
二、核心概念：
线段垂直平分线的性质定理和判定定理
三、问题思辨：
线段垂直平分线的性质定理和判定定理为互逆定理
四、教学建构：
学生在探究中掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，知道两个定理互为逆定理，并且学会应用它们.
五、教学过程：
（一）创设情景，导入新知
问题：体育课上，新新和晓晓玩足球，新新在A处，晓晓在B处，他们正在做抢足球的游戏，问：足球放在何处游戏才公平？
【设计意图】通过踢足球游戏情境导入新课，激发学生的学习兴趣，引发学生探究线段垂直平分线性质的欲望．
（二）探究新知
活动一：猜想验证，探索性质.
1.尺规作出已知线段AB的垂直平分线MN，在MN上任取一点P，连结PA、PB. 猜想PA、PB有什么数量关系？
得出猜想：PA=PB.
2.你能证明这个结论吗？
教师引导学生写出已知、求证，画出相应的图形，学生独立完成证明过程.
已知：如图，MN⊥AB,垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点.
求证：PA=PB.
【设计意图】让学生经历观察、猜想、验证、证明线段垂直平分线性质的完整过程，积累探索图形性质的活动经验．
3.师生共同归纳得出：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言：
∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
【设计意图】让学生经历由文字语言到符号语言的转化，发展几何图形的符号感，锻炼逻辑推理能力.
4.练习：
例1 如图，在△ABC中，点D在AC上，ED垂直平分AB，
（1）若BD＝10，则AD= .
（2）若AC＝14，BC=10,则△BCD的周长为 .
活动二：逆向思维，探究判定.
1.这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？你能写出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这一性质定理的逆命题吗 请同学们思考、讨论、交流，填出下表：
条 件 结 论
性质定理
逆命题
2.这个逆命题是真命题吗？怎样证明？
根据画出的图形，教师引导学生写出已知、求证.再让学生思考，小组合作探究证明方法.教师选择一种证明方法板演过程.
已知：如图，QA＝QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过
点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后
证明QC垂直于线段AB．
归纳证明的方法：①作垂直，证平分；②作平分，证垂直.
3.师生共同归纳得出：
逆定理（线段垂直平分线的判定定理）：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
线段垂直平分线的性质定理和判定定理为一对互逆定理．
【设计意图】让学生体验由原命题得到它的逆命题的过程，体会逆向思维是研究几何命题的一种思路，进一步学习证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力.
4.练习
例2 现在，有三个同学参与抢足球的游戏，问：足球放在何处才公平？
（三）练习巩固
有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
（四）素养提升
如图，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，求证：BE＝DE.
【设计意图】综合性例题的设置，既有利于了解学生对本节重点内容的掌握情况，又有助于考查学生对本节所学两大定理以及相关知识的应用情况，从而培养学生综合能力.
（四）课堂小结
六、板书设计
线段垂直平分线 一、性质定理： 二、判定定理： 多媒体投影 定理证明过程

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