资源简介

勾股定理 教学设计
【课型】 新授课
【课标要求】
勾股定理是义务教育数学课程标准中“图形与几何”领域----“图形的性质”主题----“三角形”模块中的一个单元，为了达成课程阶段性学习所要发展的核心素养，本单元课程标准的内容要求为：探索勾股定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
课标中学业要求为：在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力。课标中学业质量标准为：经历探索直角三角形特征的过程， 建立直角三角形三边平方之间的数量关系，通过对等腰直角三角形、一般的特殊直角三角形、一般的不特殊直角三角形直观操作，理解直角三角形三边关系与勾股定理，并能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题，发展几何直观和推理能力。
勾股定理是平面几何有关度量的最基本的定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征。在中学数学体系中，勾股定理承前启后，它承接着数式运算、图形变换、无理数、三角函数以及高中的正余弦定理，是搭建代数与几何的桥梁。
勾股定理作为不同学科融合的中心基点，与历史、美术、语文三门学科相互融合。横观历史长河，勾股定理内涵丰富，可以引发学生对数学历史文化的思考。本节课将经历勾股定理的发现、推演和实际应用的过程，课堂上渗透数形结合、特殊到一般、转化等数学思想方法。通过提升学生的数学抽象、逻辑推理、空间观念等核心素养，发挥课程的育人价值。
【学习目标】
1.体验直角三角形三边关系的探究过程，能准确说出勾股定理的内容。
2.直到直角三角形的任意两边，能利用勾股定理熟练求出第三边。
3.通过探索勾股定理的证明过程，体验数学知识之间的内在联系和数学知识魅力。
【学科核心素养】
1.会用数学的眼光观察现实世界： 通过古代数学文化的简述，了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情了解数学在人类社会的悠久历史.体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
2.会用数学的思维思考现实世界：通过实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，会用数学的语言表达发现的规律，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
【教学重、难点、疑点、关键点、生长点】
重点：勾股定理的探索、勾股定理的简单计算
难点：利用数形结合的思想验证勾股定理
【教学环节】
一、导入新知
国际数学家大会是最高的全球性数学学术会议2002年在北京召开了第24届国际数学家大会。如图就是大会的会徽的图案。
教师提问：你见过这个图案吗？它由那些基本图形组成？
二、探索新知
教师叙述：相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯在朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）
问题1：观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
师生互动：学生独立思考并回答
问题2：如图，在等腰中，，以为边作正方形，以为边作正方形，以斜边为边作正方形，观察图形进行填空.
（1）正方形的面积是 个单位面积；
（2）正方形的面积是 个单位面积；
（3）正方形中含有 个小方块，正方形的面积是 个单位面积；
师生活动：学生独立完成后，选学生汇报答案
追问1：上面三个正方形面积之间有什么关系？
追问2：等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
师生互动：学生根据填空的答案，回答追问中的问题，教师完成总结。
问题3：请你类比上面的方法对一般直角三角形进行探索(每个小正方形的面积为单位1）：
师生互动：学生先独立思考，然后在小组谈论，再派代表回答问题。
A的面积 B的面积 C的面积
图3-1
图3-2
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
做一做：分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
归纳：
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为、，斜边为，那么一定有
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵在中 ，，
∴（勾股定理）.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
三、定理证明
世界上很多数学家用多种方法证明了勾股定理，据说至今已经找到的证明方法有五百多种，且每年还会有所增加。　　
下面我们就借助拼图的方法，探究证明的思路．
赵爽弦图：上图称为“弦图”，或“勾股圆方图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.下图是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.　　
设问:你能用不同方法表示大正方形的面积吗 　　　　　　　
用四个准备好的完全相同的直角三角形，如图所示的图形，大正方形的面积可以表示为___________，可以表示为_____________。
四、勾股史话
人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映．　
（1）三边古称
同学们知道勾股定理这个名称的由来吗？　　
这是源于直角三角形的三边古称．　　
在古汉语里，人们将手臂弯曲成直角，上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"．我国古代学者又把直角三角形看作一把弓箭，所以，在直角三角形中，我们一般把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．　　
（2）商高定理
早在几千年前西周时期，商高就发现了这个结论，＂商高定理＂即为勾股定理。勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学．　
（3）百牛定理
＂勾股定理＂在国外，尤其在西方被称为＂毕达哥拉斯定理＂或＂百牛定理＂．他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做＂百牛定理＂．1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现．　　
可毕达哥拉斯要比商高晚500多年，就因为我国那时没能流传出去，所以国外只承认＂毕达哥拉斯定理＂
五、达标反馈
（1）新知应用
例1：在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b,∠B=90゜.　　
(1) 已知a=6,b=10,求c； 　　
(2) 已知a=24,c=25,求b。　
注：强调先确定直角或斜边的重要性
（2）拓展引申
例2：将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）　
设计意图：勾股定理简单的实际应用，体会数学源于生活、用于生活的意义。强调要画图，以转化到直角三角形中解题。　
六、勾股之树
这个不起眼的图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家 毕达哥拉斯就是利用这个图形也证明了勾股定理。
你能利用勾股定理的图形设计出一棵勾股树吗？用这美丽的数学图形来装饰我们的教室吧！
设计意图：让学生感受数学的美。
　 　
七、课堂小结
（一）内容总结　　
1、本节课学习的勾股定理用语言叙述是什么，几何语言怎么书写？　　
2、运用勾股定理时有什么注意点？　　
3、勾股定理有什么用途？　　
（二）方法总结　　
1、研究问题可以从特殊到一般，总结一般性规律。　　
2、学会探索、猜想的方法，了解数形结合的思想。

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