资源简介

北师大版初中数学七年级下册
第六章 变量之间的关系
3 用关系式表示变量之间的关系 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是北师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第六章“变量之间的关系”第3节“用关系式表示变量之间的关系”，主要内容包括：通过具体实例（三角形面积变化、圆锥体积变化、低碳生活碳排放计算）理解变量间的依赖关系，掌握用关系式表示变量间关系的方法，并能根据关系式计算因变量的值。
2. 内容解析
学生在小学已接触过简单变量关系（如行程问题），本章进一步系统学习变量间的对应关系。本节课的核心是引导学生从具体情境中抽象出变量间的数量关系，并用关系式（如 、）进行数学表达。关系式是函数概念的雏形，为后续学习一次函数、反比例函数奠定基础，同时培养学生数学建模和抽象思维能力。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 通过分析实际问题，识别自变量与因变量，理解变量间的依赖关系。
(2) 经历从表格、语言描述到关系式的抽象过程，掌握用关系式表示变量间关系的方法。
(3) 能根据关系式计算因变量的值，解决实际问题（如碳排放计算、几何体积问题）。
2. 目标解析
达成目标（1）的标志是学生能从情境中准确指出自变量和因变量（如“底边长 变化引起面积 变化”）；达成目标（2）的标志是学生能独立写出变量关系式（如三角形面积 ）；达成目标（3）的标志是能正确代入自变量的值求出因变量（如用电量 时碳排放量计算）。通过本课学习，学生将初步形成用数学工具描述现实世界变化规律的能力。
三、教学问题诊断分析
抽象思维不足：学生难以从具体情境中剥离无关信息，抽象出变量间的数量关系（如忽略圆锥高固定，只关注底面半径与体积的关系）。
关系式构建困难：部分学生无法将文字描述转化为数学表达式（如将“面积是底边长的3倍”错误写成 ）。
实际应用脱节：对关系式的现实意义理解模糊（如碳排放公式中系数 的物理含义）。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1
如图，三角形 底边 上的高为 。当点 沿直线向点 移动时，底边 长度缩短，三角形面积如何变化？其中自变量和因变量分别是什么？
问题2
举例说明生活中一个量变化引起另一个量变化的实例（如水箱水位随注水时间变化）。
问题3
若三角形底边长为 ，面积 如何用 表示？当 时， 的值是多少？
设计意图：
通过几何图形和生活实例引入变量概念，降低抽象难度。问题3引导学生从具体数值过渡到关系式表达，培养符号意识，对应目标（1）（2）。
(二) 合作探究1
探究1
已知圆锥的高固定为 ，底面半径 由 增大到 ：
(1) 自变量是______，因变量是______。
(2) 半径每增加 ，体积如何变化？
(3) 体积 与 的关系式是____________。
答：
(1) 底面半径 ，体积 ；
(2) 体积增大（具体计算略）；
(3) 。
追问：若高变为 ，关系式如何调整？
(三) 巩固练习1
梯形上底长 ，下底长 ，高 ，面积 。写出 与 的关系式。
答：。
家居用电的二氧化碳排放量公式为 排放量用电量。小明家用电 ，排放量是多少？
答：。
(四) 合作探究2
探究2
“低碳生活”碳排放公式：
开私家车：排放量 耗油量
家用自来水：排放量 用水量
若小明家本月耗油 ，用水 ，总排放量是多少？
猜想：总排放量是否等于各分项排放量之和？
验证：
私家车排放 ，
自来水排放 ，
总排放 。
探究3
证明关系式具有可加性：
设 ，，则总排放量 。
设计意图：
通过实际数据验证关系式的可加性，体会数学模型的普适性，强化应用能力，对应目标（3）。
(五) 典例分析
例1
如图，三角形底边 对应面积 （高 )：
(1) 当 时，求 ；
(2) 若面积 ，求底边 。
解：
(1) ；
(2) 由 得 。
设计意图：
训练逆向求自变量能力，深化对关系式双向性的理解，对应目标（3）。
(六) 巩固练习
气温 （℃）与海拔 （m）的关系为 。求 时 的值。
答：。
圆锥底面半径 ，高 ，体积 。当 时，求 。
答：。
家用天然气排放量 用气量 。若用气 ，排放量是多少？
答：。
设计意图：
多情境练习强化关系式应用，提升运算能力和实际问题转化能力。
(七) 归纳总结
核心概念 说明
自变量 主动变化的量（如底边长 、用电量）
因变量 随自变量变化的量（如面积 、碳排放量）
关系式 表示变量间等量关系的式子（如 ，)
应用步骤 ① 识别变量；② 建立关系式；③ 代入求值
(八) 感受中考
（2024·广西） 三角形底边长 ，面积 满足 。当 时，______。
答：。
（2023·青海） 圆锥高 ，体积 与底面半径 的关系为 。当 时，______。
答：。
（2024·山东） 某家庭用水量 与费用 （元）满足 。若用水 ，费用为______元。
答：。
（2023·河南） 梯形上底 ，下底 ，高 ，面积 。写出 与 的关系式。
答：。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
知识模块 关键点 联系
变量识别 自变量、因变量的判定 所有问题的基础
关系式构建 从文字、表格中抽象数学表达式 核心能力
实际应用 几何问题、环保问题的计算 体现数学建模价值
(十) 布置作业
必做题：
教材习题6.3第1题：圆锥高 固定，底面半径 变化时，。当 从 增到 ，体积如何变化？
教材习题6.3第2题：梯形上底 （ 从 到 )，下底 ，高 ，用表格表示 的对应值。
选做题：
探索 条直线相交于一点形成对顶角的对数规律（提示：每两条直线形成 对对顶角）。
计算自家本月用电、用水量，比较与小明的碳排放量差异，提出“低碳生活”建议。
五、教学反思
（课后填写）

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