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北师大版初中数学七年级下册
第六章 变量之间的关系 6.2 用表格表示变量之间的关系 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课选自北师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第六章“变量之间的关系”第2节，主要内容包括：通过具体实例理解自变量与因变量的概念，学会用表格表示两个变量之间的对应关系，能根据表格数据描述变量间的变化趋势，并运用表格解决实际问题（如预测、决策）。
2. 内容解析
学生在小学已接触过简单数据的统计与描述，本节在此基础上系统学习变量关系的表格表示法。表格是描述变量间依赖关系的直观工具，为后续学习函数图象、表达式奠定基础。通过分析GDP增长、施肥量与产量等真实案例，学生能体会变量关系的普遍性，发展数据分析和数学建模素养，培养从具体情境中抽象数学关系的核心能力。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 结合生活实例识别自变量与因变量，会用表格整理变量数据；
(2) 通过分析表格数据，归纳变量间的变化规律（如递增/递减、线性/非线性）；
(3) 根据表格数据进行合理预测，解决实际问题，发展应用意识。
2. 目标解析
达成目标(1)后，学生能从“反应时间测试” “GDP变化”等案例中准确提取变量，并规范制表；目标(2)要求能计算相邻数据的差值，描述变化特点（如“每增加1cm，反应时间约增加0.008s”）；目标(3)体现在能依据表格预测未知数据（如估计5500m海拔的含氧量），体会数学的应用价值，为八年级学习函数概念积累经验。
三、教学问题诊断分析
变量识别困难：部分学生难以区分自变量（主动变化的量）与因变量（被动跟随的量），如混淆“氮肥用量”与“土豆产量”的主从关系；
规律描述笼统：分析数据时易泛化结论（如仅说“变大” “变小”），忽略精确量化（如单位变化率）；
预测缺乏依据：根据表格外推数据时，可能忽略变化趋势的稳定性（如老花镜度数是否与距离成反比）。
教学难点：从表格中提取有效信息进行科学预测。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1 测试反应时间时，记录不同反应距离对应的反应时间如下表：
反应距离/cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
反应时间/s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175
(1) 反应距离为10cm时，反应时间是多少？
(2) 反应距离越大，反应时间如何变化？
问题2 2016-2022年我国GDP数据如下：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120
(1) 随着年份增加，GDP呈现什么趋势？
(2) 2020年到2021年GDP增长了多少？
问题3 在土豆种植实验中，氮肥施用量与产量关系如下：
氮肥用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(1) 不施氮肥时产量是多少？施101kg时呢？
(2) 产量随氮肥用量如何变化？
设计意图：通过生活、经济、农业三领域案例，激活学生经验，感知变量关系的普遍性。问题链引导学生关注数据对应关系（目标1），为定义自变量、因变量做铺垫。
（二）合作探究1
探究1 分析GDP表格：
问：表格中哪个量主动变化？哪个量随之变化？
答：年份主动变化（自变量），GDP随之变化（因变量）。
追问：2016-2022年GDP年均增长量相同吗？计算相邻年份差值。
计算：
2017-2016：83-75=8（万亿元）
2022-2021：120-115=5（万亿元）
结论：增长量不同，非均匀变化。
（三）巩固练习1
反应时间表中，自变量是______，因变量是______。
答案：反应距离；反应时间。
土豆产量表中，氮肥用量从202kg增至259kg，产量增加______t。
计算：43.15-39.45=3.7t → 答案：3.7
（四）合作探究2
探究2 分析反应时间表：
问：反应距离每增加1cm，反应时间增加量相同吗？
计算：
6cm→7cm：0.120-0.111=0.009s
14cm→15cm：0.175-0.169=0.006s
结论：增加量不同。
猜想：反应时间随距离增长而变慢（非线性）。
验证：计算单位距离的平均时间增量：
探究3 老花镜度数表：
度数D/度 100 120 200 250 300
距离f/m 1.0 0.8 0.5 0.4 0.3
问：D与f有何关系？
计算乘积：100×1.0=100，120×0.8=96，200×0.5=100 → 近似常数。
证明猜想： → （反比关系）。
设计意图：通过计算差值、乘积，引导学生发现线性与非线性变化（目标2），用数学推理验证生活经验（目标3），培养量化分析能力。
（五）典例分析
例1 海拔与空气含氧量关系表：
海拔/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
含氧量/(g/m ) 299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97
(1) 自变量是______，因变量是______。
(2) 海拔4000m处含氧量是多少？
(3) 估计海拔5500m处的含氧量。
解：
(1) 自变量：海拔，因变量：含氧量。
(2) 查表：4000m对应182.08 g/m 。
(3) 预测：
5000m→159.71 g/m ，6000m→141.69 g/m
每1000m减少量：159.71-141.69=18.02 g/m
5500m在5000m与6000m之间，按比例估算：
设计意图：综合运用变量识别、数据提取、趋势分析技能（目标1,2），通过插值法预测未知数据（目标3），强化应用能力。
（六）巩固练习
私人轿车保有量表：
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
保有量/万辆 5308 6410 7590 8793 10152 11416 12589 13701 14674 15732 16685
(1) 描述保有量随时间的变化趋势。
答：逐年递增，2012-2016年增长较快（年均增1211万辆），2020年后增长放缓（年均增1009万辆）。
婴儿体重表（出生体重3.5kg）：
年龄 出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁
体重/kg 3.5 7.0 10.5 14.0 21.0 31.5
(1) 自变量是______，因变量是______。
(2) 6周岁体重是1周岁的______倍。
答：(1) 年龄，体重；(2) 21.0 ÷ 10.5 = 2。
海拔5500m含氧量预测（参考例1）：
答：约150.70 g/m （计算过程同例1）。
设计意图：分层练习巩固变量识别（题1）、数据计算（题2）、趋势预测（题3）能力，覆盖全部目标。
（七）归纳总结
核心概念 要点描述 实例
自变量 主动变化的量 反应距离、年份、海拔
因变量 随自变量变化的量 反应时间、GDP、含氧量
表格作用 直观展示变量对应关系 所有案例表
变化规律 线性（均匀变化）/非线性（非均匀） GDP增长非线性
预测方法 插值法、趋势外推法 海拔5500m含氧量估算
（八）感受中考
(2023·江苏) 某地温度随时间变化如下表：
时间/h 0 2 4 6 8
温度/℃ 10 14 18 22 26
则温度与时间的关系是（ ）
A. 温度随时间增加而降低
B. 时间每增加2h，温度升高4℃
C. 温度为20℃时，时间为5h
D. 两者无关联
答案：B
(2024·浙江) 水箱水位随放水时间变化如下：
时间/min 0 1 2 3 4
水位/cm 30 28 26 24 22
放水10min后，水位为______cm。
解析：每分钟下降2cm → 10min下降20cm → 30-20=10cm → 答案：10
(2022·广东) 植物生长高度记录：
天数/d 7 14 21 28
高度/cm 5.0 8.4 11.8 15.2
估计35天时植物高度为______cm。
解析：每7天增长3.4cm → 35天比28天多7天 → 15.2+3.4=18.6cm → 答案：18.6
(2023·四川) 汽车油箱剩余油量表：
行驶里程/km 0 50 100 150
剩余油量/L 60 54 48 42
该车每千米耗油______L。
解析：每50km耗油6L → 每千米耗油0.12L → 答案：0.12
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（九）小结梳理
知识模块 能力要求 思想方法
变量识别 区分自变量与因变量 抽象概括
表格读取 提取数据、计算差值 数据分析
变化趋势描述 判断线性/非线性 归纳推理
数据预测 插值法、趋势外推法 模型思想
（十）布置作业
必做题：
教材P152《知识技能》第1题（私人轿车保有量制表及趋势描述）。
教材P153《问题解决》第4题（海拔5500m含氧量预测）。
选做题：
3. 设计实验记录家中每日用电量与气温，制作表格：
(1) 指出自变量与因变量；
(2) 分析气温每升高1℃，用电量变化趋势；
(3) 预测30℃时的用电量。
五、教学反思
（课后手写填写）

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