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2025年人教版数学四升五年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
（知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷）
第6讲 数学广角—鸡兔同笼问题
知识点01：鸡兔同笼问题的重难点
鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，它主要考察的是学生的逻辑推理能力和对假设法的应用。在这个问题中，我们知道一定数量的鸡和兔子被放在同一个笼子里，它们共有一定数量的头和脚，我们的目标是找出鸡和兔子的具体数量。
关键点如下：
两种对象：鸡和兔子。
两种属性：头数和脚数。鸡有1个头和2只脚，兔子有1个头和4只脚。
两个等量关系：总头数和总脚数都是已知的。
知识点02：计算公式
假设法公式：
假设全是鸡：兔子数量 = (总脚数 - 2 × 总头数) ÷ 2
假设全是兔子：鸡数量 = (4 × 总头数 - 总脚数) ÷ 2
其中，总头数和总脚数都是题目给出的已知条件。
方程法公式（设鸡有x只，兔子有y只）：
x + y = 总头数
2x + 4y = 总脚数
解这个二元一次方程组，就可以得到x和y的值，即鸡和兔子的数量。
知识点03：鸡兔同笼问题的常见变形
加入其他动物：
除了鸡和兔子，还可以加入其他具有不同头数和脚数的动物，如猫（1个头，4只脚）和鹤（1个头，2只脚）。这样，问题的设置就变得更加复杂，需要学生根据新的条件重新建立假设和方程。
增加条件限制：
设定笼子的大小，限制动物的总数量或某一类动物的最大数量。
例如，笼子最多能装下30只动物，或者兔子的数量不能超过鸡的数量等。
改变观察角度：
不仅仅是通过头和脚的数量来求解，还可以根据其他特性来设立方程。
例如，如果知道鸡的重量是兔子的1/2，而整个笼子的总重量是已知的，那么就可以通过重量来设立方程。
混合题型：
将鸡兔同笼问题与其他数学知识点结合，如分数、比例、百分数等。
这样的题型需要学生在解题过程中运用多种数学知识，进行综合分析和计算。
实际应用问题：
将鸡兔同笼问题转化为实际生活中的问题，如购买不同价格的商品、分配不同工作时间的工人等。
这类问题需要学生将抽象的数学模型与实际问题相结合，提高解题的实用性和趣味性。
图形化表示：
使用图形或图表来表示问题中的信息，帮助学生更直观地理解问题的结构和条件。
例如，使用柱状图表示不同动物的头数和脚数，或使用表格记录每种动物的假设数量和计算结果。
这些变形使得鸡兔同笼问题变得更加多样化和有趣化，同时也提高了学生的解题能力和思维能力。
易错点01：理解题意不清
学生可能没有仔细阅读题目，对题目中的条件理解不透彻。例如，没有注意到题目中给出的总头数和总脚数，或者没有理解到鸡和兔子脚数的差异。
易错点02：假设方法不当
在使用假设法解题时，学生可能会假设错误的对象或者错误的数量。例如，假设全是兔子而不是全是鸡，或者假设的数量与题目给出的条件不符。
易错点03：计算错误
在计算过程中，学生可能会出现计算错误，如加减乘除运算错误、等式转换错误等。这些错误会导致最终答案的偏差。
易错点04：方程设置错误
在使用方程法解题时，学生可能会设置错误的方程或者方程中的变量代表的意义不明确。例如，设置的方程没有正确反映题目中的条件，或者方程中的x和y代表的意义混淆。
易错点05：忽视题目中的隐含条件
有时候题目中会给出一些隐含的条件，例如动物数量的范围、动物数量的整数性等。学生可能会忽视这些条件，导致解出的答案不符合实际情况。
易错点06：答案检验不仔细
在得出答案后，学生可能没有仔细检验答案是否符合题目中的条件。例如，没有检查答案中的动物数量是否为整数，或者没有检查答案中的总头数和总脚数是否与题目给出的条件相符。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难）
一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（本题2分）（23-24四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）钢笔每支12元，圆珠笔每支7元。两种笔共买了6支，用了52元。买了（ ）支钢笔。
A．5 B．4 C．2
【答案】C
【思路点拨】假设买的都是钢笔，用钢笔的价格乘购买的支数，即可求出买6支钢笔花的钱数，再用减法计算实际花的钱数与买6支钢笔花的钱数的差，多出的钱数是由于把圆珠笔价格看成钢笔来算的，每支多算（12－7）元，用多的钱数除以每只圆珠笔多算的钱数，即可求出购买圆珠笔的支数，最后用总共买的支数减去圆珠笔的支数，即可求出买了几支钢笔。
【规范解答】假设买的都是钢笔
12×6＝72（元）
72－52＝20（元）
12－7＝5（元）
20÷5＝4（支）
6－4＝2（支）
即买了2支钢笔。
故答案为：C
2．（本题2分）（23-24四年级下·广东潮州·期末）厂家委托“货拉拉”运送茶具到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。这次运送茶具有破损吗？其中安全送达的是几套？（ ）
A．没有破损；100套 B．有破损；82套 C．有破损；98套
【答案】C
【思路点拨】假设“货拉拉”这次运送的100套茶具全部安全送达，则一共得到运费（5×100＝500）元，实际只有运费410元，500＞410，说明“货拉拉”这次运送的100套茶具没有全部安全送达。
假设“货拉拉”这次运送的100套茶具全部安全送达，则一共得到运费（5×100）元，比实际多了（5×100－410）元，一套茶具安全送达与有破损运费相差（5＋40）元，比实际多的运费除以一套茶具安全送达与有破损相差的运费，即可算出破损了多少套茶具，茶具总套数减去破损的套数，即可算出安全送达的是几套。
【规范解答】5×100－410
＝500－410
＝90（元）
90÷（5＋40）
＝90÷45
＝2（套）
100－2＝98（套）
厂家委托“货拉拉”运送茶具到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。这次运送茶具有破损，其中安全送达的是98套。
故答案为：C
3．（本题2分）（22-23四年级下·四川德阳·期末）停车场有小轿车和2轮摩托车共21辆，两种车共有80个轮子，那么停车场有轿车（ ）辆。
A．17 B．18 C．19
【答案】C
【思路点拨】根据鸡兔同笼问题，假设全是小轿车，则应该有（21×4）个轮子，比实际的多，因为一辆小轿车比一辆摩托车多（4－2）个轮子，用应该有的轮子个数减去实际有的个数，再除以一辆小轿车比一辆摩托车多的轮子个数，即可求出有多少辆摩托车；用21减去摩托车的辆数即可求出小轿车的辆数，据此选择即可。
【规范解答】摩托车：（21×4－80）÷（4－2）
＝（84－80）÷（4－2）
＝4÷2
＝2（辆）
轿车：21－2＝19（辆）
停车场有轿车19辆。
故答案为：C
4．（本题2分）（22-23四年级下·四川广元·期末）学校举办知识抢答比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分。4号选手共抢答9题，最后得分58分。4号选手答错了（ ）题。
A．7 B．3 C．2
【答案】C
【思路点拨】答错一题比答对一题少得10＋6＝16分；全部答对8道题共得9×10＝90（分）；假设全部答对比58分多得90－58＝32（分），那么他答错了：32÷16＝2（道）。
【规范解答】假设全答对，错题有：
（9×10－58）÷（10＋6）
＝（90－58）÷（10＋6）
＝32÷32
＝2（道）
学校举办知识抢答比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分。4号选手共抢答9题，最后得分58分。4号选手答错了2题。
故答案为：C
5．（本题2分）（22-23四年级下·四川南充·期末）解放军叔叔进行野外训练，晴天每天行20km，雨天每天行10km，8天共行了140km。这期间雨天有（ ）天。
A．8 B．6 C．2
【答案】C
【思路点拨】假设全是晴天，则8天行驶8×20＝160千米，这比已知的140千米多行了160－140＝20千米，因为晴天比雨天每天多行20－10＝10（千米），由此即可求得雨天有20÷10＝2（天）；据此解答即可。
【规范解答】根据分析可知：
假设全是晴天，则雨天有：
（8×20－140）÷（20－10）
＝20÷10
＝2（天）
解放军叔叔进行野外训练，晴天每天行20km，雨天每天行10km，8天共行了140km。这期间雨天有2天。
故答案为：C
6．（本题2分）（23-24四年级下·山西长治·期末）在学校一次环境保护知识抢答比赛中，共有20道题，每答对一道题得10分，答错一道倒扣5分，雏鹰队最后得分是155分，那么该队共答对（ ）题。
A．12 B．15 C．17
【答案】C
【思路点拨】先假设雏鹰队20道题全部答对，算出此时的总得分，然后将这个总得分与实际得分相比较，求出得分的差值。由于答错一道题不仅得不到10分，还要倒扣5分，所以答错一道题与答对一道题相比，实际少得的分数是答对的10分加上倒扣的5分，即10＋5＝15分。用总得分的差值除以答错一道题少得的分数，就可以得到答错的题数，最后用题目总数减去答错的题数，就能得到答对的题数。
【规范解答】假设20道题全答对，那么应得的分数为：20×10＝200（分）
实际得分是155分，与全答对的得分差值为：200－155＝45（分）
因为答错一道题比答对一道题少得的分数为：10＋5＝15（分）
所以答错的题数为：45÷15＝3（道）
那么答对的题数是：20－3＝17（道）
综上，该队共答对17题。
故答案为：C
二、用心思考，认真填写（共9小题，满分15分）
7．（本题1分）（22-23四年级下·四川乐山·期末）数学思维竞赛20道题，做对一道题得10分，做错一道题扣5分，张天乐同学最后得155分，张天乐做对( )道题。
【答案】17
【思路点拨】根据“做对一道得10分，做错一道题扣5分”，那么答错一题比答对一题少得10＋5＝15（分）；全部答对20道题共得20×10＝200（分）；假设张天乐全部答对得分是200分，比155分多得200－155＝45（分），是因为把错题当作了对题，每道错题多算了15分；那么他答错的数量为45÷15＝3（道）；所以张天乐答对了20－3＝17（道）题，据此解答即可。
【规范解答】假设张天乐全部答对。
（10×20－155）÷（10＋5）
＝（200－155）÷15
＝45÷15
＝3（道）
20－3＝17（道）
所以张天乐做对17道题。
8．（本题1分）（23-24四年级上·重庆丰都·期末）一辆汽车在平原和山区行了6小时，共行245千米。已知汽车在平原每小时行42千米，山区每小时行35千米。它在山区行了( )小时。
【答案】1
【思路点拨】假设这辆汽车6小时都在平原上行驶，用每小时行驶的路程乘行驶的时间，求出一共行驶的路程，再用一共行驶的路程减去245千米，求出相差的路程，用相差的路程除以平原和山区每小时相差的路程，即可求出它在山区行驶的时间。
【规范解答】（42×6－245）÷（42－35）
＝（252－245）÷7
＝7÷7
＝1（小时）
它在山区行了1小时。
9．（本题2分）（24-25四年级下·海南海口·期末）停车场共停放着39辆三轮摩托车和两轮摩托车，两种车子车轮总数为96个，三轮摩托车( )辆，两轮摩托车( )辆。
【答案】 18 21
【思路点拨】本题考查鸡兔同笼问题，已知三轮摩托车有3个轮子，两轮摩托车有2个轮子，假设39辆全是三轮摩托车，共有轮子39×3＝117（个），比96个多117－96＝21（个），这是由于把两轮摩托车看成三轮摩托车，每辆车多看一个轮子造成的，可求出两轮摩托车的辆数：21÷（3－2）＝21÷1＝21（辆），三轮摩托车有：39－21＝18（辆）。
【规范解答】根据分析得：假设39辆全是三轮摩托车，共有轮子39×3＝117（个）
117－96＝21（个）
21÷（3－2）
＝21÷1
＝21（辆）
39－21＝18（辆）
所以三轮摩托车18辆，两轮摩托车21辆。
10．（本题2分）（23-24四年级下·山东菏泽·期末）在一个停车场共停了小汽车和摩托车32辆，这些车一共有108个轮子，小汽车有( )辆，摩托车有( )辆。
【答案】 22 10
【思路点拨】假设全部是摩托车，每辆摩托车有2个轮子，用小汽车和摩托车总辆数乘2，即32×2＝64个轮子，求出全部是摩托车轮子的个数，用实际轮子的个数减去全部是摩托车轮子的个数，108－64＝44个轮子，求出实际比全部是摩托车多的轮子的个数，每辆小汽车比每辆摩托车多（4－2）个轮子，用实际比全部是摩托车多的轮子的个数除以每辆小汽车比每辆摩托车多的个数，求出小汽车的辆数，再用小汽车和摩托车总辆数减去小汽车的辆数，即可求出摩托车的辆数。
【规范解答】（108－32×2）÷（4－2）
＝（108－64）÷（4－2）
＝44÷（4－2）
＝44÷2
＝22（辆）
32－22＝10（辆）
在一个停车场共停了小汽车和摩托车32辆，这些车一共有108个轮子，小汽车有22辆，摩托车有10辆。
11．（本题2分）（23-24四年级下·浙江台州·期末）四（1）班43名学生参加植树活动，种树的同学每4人一组，浇水的同学每3人一组，正好分成12组。参加种树的同学有( )人，参加浇水的同学有( )人。
【答案】 28 15
【思路点拨】假设12组全是种树的，每4人一组，共需12×4＝48（人），实际只有43人，多了48－43＝5（人），而每组种树的人数比每组浇水人数多4－3＝1（人），那么浇水的有5÷1＝5（组），种树的有12－5＝7（组），则种树人数7×4＝28（人），浇水人数：3×5＝15（人）。
【规范解答】假设12组全是种树的人。
12×4＝48（人）
48－43＝5（人）
4－3＝1（人）
5÷1＝5（组）
3×5＝15（人）
12－5＝7（组）
7×4＝28（人）
四（1）班43名学生参加植树活动，种树的同学每4人一组，浇水的同学每3人一组，正好分成12组。参加种树的同学有28人，参加浇水的同学有15人。
12．（本题2分）（23-24四年级下·安徽铜陵·期末）学校举办“24点”速算抢答比赛，规定答对一题加10分，答错一题扣6分。1号选手共抢答10题，最后得分68分。他答对了( )题，答错了( )题。
【答案】 8 2
【思路点拨】假设全部答对，得分是10×10＝100（分）。实际得分是68分，相差100－68＝32（分）。答错一题比答对一题少10＋6＝16（分），可知答错了32÷16＝2（题），进而可知答对了10－2＝8（题）。
【规范解答】10×10＝100（分）
100－68＝32（分）
10＋6＝16（分）
32÷16＝2（题）
10－2＝8（题）
他答对了8题，答错了2题。
13．（本题2分）（23-24四年级下·河北廊坊·期末）张老师买了篮球和足球共8个，花了505元。篮球买了( )个，足球买了( )个。
【答案】 3 5
【思路点拨】假设全是足球，应花68×8＝544（元），多花了544－505＝39（元），是因为每个足球比篮球贵68－55＝13（元），所以篮球的数量就是（39÷13）个，进而求出足球的数量。
【规范解答】假设全是足球，则篮球有：
（68×8－505）÷（68－55）
＝（544－505）÷13
＝39÷13
＝3（个）
8－3＝5（个）
因此，篮球买了3个，足球买了5个。
14．（本题1分）（23-24四年级下·广西河池·期末）在数学知识抢答赛中，答对一题加5分，答错一题扣3分。小明共抢到了10题，最后得分34分，她答对了( )题。
【答案】8
【思路点拨】假设小明10题都答对，得分是10×5＝50分，比实际得分多了50－34＝16分，每答错一题，不仅得不到加的5分，还会扣3分，答错一题比答对一题少得5＋3＝8分，用比实际多得的分数除以答错一题比答对一题少得的分数，求出答错的题数，再用小明共抢到的题数减去答错的题数，即可求出她答对了多少题。
【规范解答】（10×5－34）÷（5＋3）
＝（50－34）÷（5＋3）
＝16÷（5＋3）
＝16÷8
＝2（题）
10－2＝8（题）
在数学知识抢答赛中，答对一题加5分，答错一题扣3分。小明共抢到了10题，最后得分34分，她答对了8题。
15．（本题2分）（23-24四年级下·浙江宁波·期末）学校植树节活动，一班共有15人参加活动。女生每人栽2棵树，男生每人栽3棵树，一共栽了39棵树。女生有( )人，男生有( )人。
【答案】 6 9
【思路点拨】根据题意，假设15人全是女生，共栽树，15×2＝30（棵）。实际栽了39棵，多出：39－30＝9（棵）。每多1名男生，多栽3－2＝1棵树，因此男生人数为：9÷1＝9（人）。女生人数为：15－9＝6（人）。以此答题即可。
【规范解答】（39－15×2）÷（3－2）
＝（39－30）÷1
＝9÷1
＝9（人）
15－9＝6（人）
学校植树节活动，一班共有15人参加活动。女生每人栽2棵树，男生每人栽3棵树，一共栽了39棵树。女生有6人，男生有9人。
三、认真审题，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分）
16．（本题2分）（22-23五年级上·天津宁河·期末）鸡和兔共10个头，34条腿，鸡有7只，兔有3只。( )
【答案】×
【思路点拨】假设有10只鸡，那么有20条腿。用实际的34条腿减去20条，求出兔子多出的腿数，再将其除以2，求出兔子有多少只，从而利用减法求出鸡有多少只。
【规范解答】（34－10×2）÷2
＝（34－20）÷2
＝14÷2
＝7（只）
10－7＝3（只）
所以，兔子有7只，鸡有3只。
故答案为：×
17．（本题2分）（22-23四年级下·山东临沂·期末）笼子里有若干只鸡和兔，共8个头，22只脚，则鸡和兔的只数一样多。( )
【答案】×
【思路点拨】假设全是鸡，则脚有2×8＝16（只），比已知的脚的数量少了22－16＝6（只），实际一只兔子的脚的数量比一只鸡多4－2＝2（只），那么6只脚就是少算的兔脚的数量，由此可算出兔子的数量为6÷2＝3（只），鸡的数量为8－3＝5（只），显然3≠5，题目说法错误。
【规范解答】2×8＝16（只）
22－16＝6（只）
4－2＝2（只）
6÷2＝3（只）
8－3＝5（只）
因此鸡有5只，兔子有3只，显然3≠5，也就是说当笼子里有若干只鸡和兔，共8个头，22只脚时，鸡和兔的只数不可能一样多。
故答案为：×
18．（本题2分）（23-24四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）鸡兔同笼，共有106只脚，40个头，那么笼中有13只兔。( )
【答案】√
【思路点拨】先假设它们全是兔，于是根据鸡兔头的总个数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少，每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡，然后用40减去鸡的只数可得兔的只数。
【规范解答】假设全部都是兔子
则有：（40×4－106）÷（4－2）
＝（160－106）÷2
＝54÷2
＝27（只）
故鸡的数量为27只，则兔子有：40－27＝13（只）
那么笼中有13只兔。原题说法正确。
故答案为：√
19．（本题2分）（23-24四年级下·山东济宁·期末）笼子里有鸭子和青蛙共24只，脚最多有100只。( )
【答案】×
【思路点拨】假设24只全是青蛙。因为每只青蛙4只脚，那么24只青蛙一共有24×4＝96（只）脚，而96＜100，说明即使全是青蛙，脚的数量也没有达到100只。又因为每只鸭子2只脚，青蛙4只脚，所以青蛙越多，脚的总数越多，已知笼子里有鸭子和青蛙共24只，青蛙最多23只，鸭子为1只，所以脚最多有（23×4＋2×1）只。
【规范解答】24×4＝96（只）
96＜100
23×4＋2×1
＝92＋2
＝94（只）
所以笼子里有鸭子和青蛙共24只，脚最多有94只，原说法错误。
故答案为：×
20．（本题2分）（23-24四年级下·河北唐山·期末）龟和鹤共10只，共有30条腿，则龟、鹤数量一定相等。( )
【答案】√
【思路点拨】假设全部是龟，有10×4＝40（只）脚，已知比假设少了：40－30＝10（只），一只鹤比一只龟少（4－2）只脚，所以鹤有：10÷（4－2）＝5（只）；龟有：10－5＝5（只），据此判断。
【规范解答】（10×4－30）÷（4－2）
＝（40－30）÷2
＝10÷2
＝5（只）
10－5＝5（只）
5＝5
所以龟和鹤共10只，共有30条腿，则龟、鹤数量一定相等，是正确的。
故答案为：√
四、灵活应用，解决问题（共10小题，满分63分）
21．（本题6分）（23-24四年级下·广西柳州·期末）鸡兔同笼，有9个头和26只脚。鸡和兔各有几只？
小思假设笼子里全是鸡，用画图的方法解决这个问题。（〇表示头，‖表示脚）
请你在上图中补全少了的脚。补完后，发现四条腿的兔有（ ）只。
【答案】图见详解；4
【思路点拨】根据题意，假设笼子里全是鸡一共有18只脚，比实际少了（26－18）只，一只兔子比一只鸡多（4－2）只腿，据此补齐少了的脚，有四只脚的即为兔子，据此填空即可。
【规范解答】26－18＝8（只）
4－2＝2（只）
一个头下面补2只脚，一共补8只脚。
如图：（画法不唯一）
补完后，发现四条腿的兔有4只。
22．（本题6分）（23-24四年级下·陕西渭南·期末）白水是陕西省乃至全国的果业大县，被誉为“中国苹果之乡”。以“个大、色艳、香甜、细脆、耐储藏、无污染”的突出特色而享誉中外。果农张大伯为了“青耘中国夏耘梦想”直播助农活动，现将100千克的苹果包装成12个礼品盒销售，其中每个大包装礼品盒装15千克，每个小包装礼品盒装5千克。果农张大伯包装了大包装礼品盒和小包装礼品盒各多少个？
【答案】大包装礼品盒4个，小包装礼品盒8个
【思路点拨】假设12个礼品盒全是大包装礼品盒，那么一共有苹果（12×15）千克，比实际苹果多了（12×15－100）千克；已知每个大包装礼品盒比每个小包装礼品盒多装苹果（15－5）千克，则用比实际多装的千克数除以每个大包装礼品盒比每个小包装礼品盒多装的千克数，即可求出小包装礼品盒的个数，再用12减去小包装礼品盒的个数，就可以求出大包装礼品盒的个数。
【规范解答】12×15－100
＝180－100
＝80（千克）
80÷（15－5）
＝80÷10
＝8（个）
12－8＝4（个）
答：果农张大伯包装了大包装礼品盒4个，小包装礼品盒8个。
23．（本题7分）（23-24四年级下·广东潮州·期末）潮汕猪肉脯肉质紧实，入口焦香。厂家出品了一箱6包的礼品装，还有一箱10包的普通装。如果车间一天生产760包，按两种包装，共分装为100箱，那么礼品装和普通装各装了多少箱？
【答案】60箱；40箱
【思路点拨】假设全是普通装，那么100箱共100×10＝1000（包），与实际生产760包比较多了240包，是因为把一部分礼品装看成普通装每箱差了10－6＝4（包），则礼品装就有240÷4＝60（箱），再用100－60＝40（箱）算出普通装。
【规范解答】假设全是普通装。
100×10＝1000（包）
1000－760＝240（包）
10－6＝4（包）
240÷4＝60（箱）
100－60＝40（箱）
答：礼品装60箱，普通装40箱。
24．（本题6分）（23-24四年级下·陕西商洛·期末）尊老、敬老、爱老、助老是中华民族传统美德。在2024年端午节期间，镇安县56名社会爱心志愿者到某敬老院开展爱心助老活动。将56名社会爱心志愿者分成10组，每5人一组打扫卫生，每7人一组表演节目。打扫卫生和表演节目各有多少组？
【答案】7组；3组
【思路点拨】假设10组全部是打扫卫生的人，需要10×5＝50（人），与原有实际人数比较56－50＝6（人）相差6人，是因为有几组表演节目的人看成了打扫卫生的人，每组相差7－5＝2（人），6÷2＝3（组）就是表演节目的组数，剩下10－3＝7（组）是打扫卫生的组数。
【规范解答】假设10组全部是打扫卫生的人。
10×5＝50（人）
56－50＝6（人）
7－5＝2（人）
6÷2＝3（组）
10－3＝7（组）
答：打扫卫生有7组，表演节目有3组。
25．（本题6分）（23-24四年级下·陕西渭南·期末）宣纸是中国独特的手工艺品，享有“千年寿纸”的美誉。书法小组共12名同学用宣纸练毛笔字，男生每人用4张，女生每人用5张，一共用了53张宣纸。男生有多少人？女生有多少人？
【答案】男生有7人；女生有5人
【思路点拨】首先假设12名同学都是男生，则一共用48张宣纸，假设比实际少5张，一名男生比一名女生少用1张纸，也就是每少1张纸就对应一名女生，所以女生有5人，用总人数减去女生的人数就是男生的人数，据此解答。
【规范解答】第一步：假设12名同学都是男生，计算用了宣纸的总数量；
（张）
第二步：计算出用了宣纸的总数量比实际的少了多少；
（张）
第三步：计算出女生的人数；
（人）
第四步：计算出男生的人数；
（人）
答：男生有7人，女生有5人。
26．（本题7分）（23-24四年级下·陕西渭南·期末）四年级学生分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。航模类每6人一组，阅读类每4人一组，共38人报名，正好分成8组。参加航模类的学生有多少人？
【答案】18人
【思路点拨】根据鸡兔同笼问题，假设8组都是阅读类，则应该有（4×8）人，比实际的人数少，因为一组阅读类的人数比一组航模类的人数少（6－4）人，用实际的人数减去应有的人数，再除以（6－4）即可求出参加航模类的组数，最后乘6即可求出参加航模类的学生有多少人。
【规范解答】（38－4×8）÷（6－4）
＝（38－32）÷2
＝6÷2
＝3（组）
3×6＝18（人）
答：参加航模类的学生有18人。
27．（本题6分）（22-23四年级下·四川南充·期末）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有27个头；从下面数有84只脚。鸡和兔各有几只？
【答案】鸡12只；兔15只
【思路点拨】可以用假设法解决鸡兔同笼的问题，已知一只鸡有1个头2只脚，一只兔有1个头4只脚，假设27个头全是鸡，则一共应有27×2＝54（只）脚，比实际的84只脚少了84－54＝30（只），是因为把兔看成鸡后，一只兔就少看了4－2＝2（只）脚，用一共少的脚的只数30只除以一只兔少看的脚的只数2只，得到兔的只数，即30÷2＝15（只）；再用一共的只数27只减兔的只数15只即得到鸡的只数，即27－15＝12（只）。据此解答。
【规范解答】27×2＝54（只）
84－54＝30（只）
4－2＝2（只）
兔：30÷2＝15（只）
鸡：27－15＝12（只）
答：鸡有12只，兔有15只。
28．（本题7分）（22-23四年级下·四川乐山·期末）现有大、小两种油桶共12个，大桶每个装油6千克，小桶每个装油3千克，又拿来了3大桶油，这些桶一共装油78千克，现在大、小油桶分别有多少个？
【答案】大油桶有11个，小油桶有4个
【思路点拨】先用加法计算出油桶总数为：12＋3＝15（个），假设全是大油桶，那么可以装油15×6＝90（千克），再计算出多算的油质量为：90－78＝12（千克）；因为把小油桶看作了大油桶，每个油桶多算了：6－3＝3（千克），然后用除法计算出小油桶数量为：12÷3＝4（个），最后用减法计算出大油桶的数量；据此解答。
【规范解答】12＋3＝15（个）
假设全是大桶，则小油桶：
（15×6－78）÷（6－3）
＝（90－78）÷3
＝12÷3
＝4（个）
大油桶：15－4＝11（个）
答：现在大油桶有11个，小油桶有4个。
29．（本题6分）（23-24四年级下·山东日照·期末）2024年5月22日，习近平总书记来到山东日照市阳光海岸绿道，实地察看修复治理后的海岸线生态环境。阳光海岸绿道全长28公里，将13个景区和8个沿海民俗村串珠成链，是休闲游玩的绝佳场所。
（1）6月份，一个37人的外地旅游团要租自行车在阳光海岸绿道游玩，现有双人自行车（可供2人骑行）和三人自行车（可供3人骑行）可供选择，这个旅游团怎样租车最省钱？共多少钱？
（2）该旅游团在阳光海岸绿道游玩结束后，一起去世帆赛基地乘坐游艇出海，37人全部需要买票，共用去1680元，成人和孩子各有多少人？
【答案】（1）租11辆三人自行车，租2辆双人自行车最省钱；共300元
（2）19人；18人
【思路点拨】（1）用双人自行车的租金除以2，求出双人自行车的人均单价，同样用三人自行车的租金除以3，求出三人自行车的人均单价。通过比较后尽量选人均单价低的自行车，尽可能少留位置。用总人数除以3，求出需要租用的三人自行车，结合余数判断租用双人自行车的辆数，并求出所需要的钱数。
（2）首先假设37人都是成人，总费用是2220元，总费用比实际的多了540元；一个成人比一个儿童多花30元，也就是每多30元就对应一个儿童，所以多的540元是因为有18个儿童被当成了成人，据此解答。
【规范解答】（1）双人自行车的人均租金：（元）
三人自行车的人均租金：（元）
9＞8，三人自行车的人均租金少，所以尽可能租用三人自行车，不能有空座，如果还有剩余的人数，再租用双人自行车；
（辆）……1（人）可租用12辆三人自行车，1辆双人自行车；
租12辆三人自行车，1辆双人自行车的费用是：
（元）
余下1人租一辆双人自行车剩座多，可考虑少租一辆三人自行车，也就是租11辆三人自行车，剩下的人坐双人自行车；
坐双人自行的人：
（人）
（辆）可租用11辆三人自行车，2辆双人自行车；
租用11辆三人自行车，2辆双人自行车的费用：
（元）
答：租11辆三人自行车，租2辆双人自行车最省钱，共300元。
（2）第一步：假设37人都是成人，计算出总费用；
（元）
第二步：计算出总费用比实际的多了多少；
（元）
第三步：计算出儿童的人数；
（人）
第四步：计算出成人的人数；
（人）
答：成人有19人，儿童有18人。
30．（本题6分）（22-23四年级下·四川绵阳·期末）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有10个头，从下面数有26只脚，鸡有几只？
【答案】7只
【思路点拨】首先假设10只都是兔子，总脚数是40只，总脚数比实际的多了14只；一只兔子比一只鸡多2只脚，也就是每多2只脚就对应一只鸡，所以多的14支脚是因为有7只鸡被当成了兔子，据此解答。
【规范解答】第一步：假设10只都是兔子，计算出总脚数；
（只）
第二步：计算出总脚数比实际的多了多少；
（只）
第三步：计算出鸡的只数；
（只）
答：鸡有7只。2025年人教版数学四升五年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
（知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷）
第6讲 数学广角—鸡兔同笼问题
知识点01：鸡兔同笼问题的重难点
鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，它主要考察的是学生的逻辑推理能力和对假设法的应用。在这个问题中，我们知道一定数量的鸡和兔子被放在同一个笼子里，它们共有一定数量的头和脚，我们的目标是找出鸡和兔子的具体数量。
关键点如下：
两种对象：鸡和兔子。
两种属性：头数和脚数。鸡有1个头和2只脚，兔子有1个头和4只脚。
两个等量关系：总头数和总脚数都是已知的。
知识点02：计算公式
假设法公式：
假设全是鸡：兔子数量 = (总脚数 - 2 × 总头数) ÷ 2
假设全是兔子：鸡数量 = (4 × 总头数 - 总脚数) ÷ 2
其中，总头数和总脚数都是题目给出的已知条件。
方程法公式（设鸡有x只，兔子有y只）：
x + y = 总头数
2x + 4y = 总脚数
解这个二元一次方程组，就可以得到x和y的值，即鸡和兔子的数量。
知识点03：鸡兔同笼问题的常见变形
加入其他动物：
除了鸡和兔子，还可以加入其他具有不同头数和脚数的动物，如猫（1个头，4只脚）和鹤（1个头，2只脚）。这样，问题的设置就变得更加复杂，需要学生根据新的条件重新建立假设和方程。
增加条件限制：
设定笼子的大小，限制动物的总数量或某一类动物的最大数量。
例如，笼子最多能装下30只动物，或者兔子的数量不能超过鸡的数量等。
改变观察角度：
不仅仅是通过头和脚的数量来求解，还可以根据其他特性来设立方程。
例如，如果知道鸡的重量是兔子的1/2，而整个笼子的总重量是已知的，那么就可以通过重量来设立方程。
混合题型：
将鸡兔同笼问题与其他数学知识点结合，如分数、比例、百分数等。
这样的题型需要学生在解题过程中运用多种数学知识，进行综合分析和计算。
实际应用问题：
将鸡兔同笼问题转化为实际生活中的问题，如购买不同价格的商品、分配不同工作时间的工人等。
这类问题需要学生将抽象的数学模型与实际问题相结合，提高解题的实用性和趣味性。
图形化表示：
使用图形或图表来表示问题中的信息，帮助学生更直观地理解问题的结构和条件。
例如，使用柱状图表示不同动物的头数和脚数，或使用表格记录每种动物的假设数量和计算结果。
这些变形使得鸡兔同笼问题变得更加多样化和有趣化，同时也提高了学生的解题能力和思维能力。
易错点01：理解题意不清
学生可能没有仔细阅读题目，对题目中的条件理解不透彻。例如，没有注意到题目中给出的总头数和总脚数，或者没有理解到鸡和兔子脚数的差异。
易错点02：假设方法不当
在使用假设法解题时，学生可能会假设错误的对象或者错误的数量。例如，假设全是兔子而不是全是鸡，或者假设的数量与题目给出的条件不符。
易错点03：计算错误
在计算过程中，学生可能会出现计算错误，如加减乘除运算错误、等式转换错误等。这些错误会导致最终答案的偏差。
易错点04：方程设置错误
在使用方程法解题时，学生可能会设置错误的方程或者方程中的变量代表的意义不明确。例如，设置的方程没有正确反映题目中的条件，或者方程中的x和y代表的意义混淆。
易错点05：忽视题目中的隐含条件
有时候题目中会给出一些隐含的条件，例如动物数量的范围、动物数量的整数性等。学生可能会忽视这些条件，导致解出的答案不符合实际情况。
易错点06：答案检验不仔细
在得出答案后，学生可能没有仔细检验答案是否符合题目中的条件。例如，没有检查答案中的动物数量是否为整数，或者没有检查答案中的总头数和总脚数是否与题目给出的条件相符。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难）
一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（本题2分）（23-24四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）钢笔每支12元，圆珠笔每支7元。两种笔共买了6支，用了52元。买了（ ）支钢笔。
A．5 B．4 C．2
2．（本题2分）（23-24四年级下·广东潮州·期末）厂家委托“货拉拉”运送茶具到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。这次运送茶具有破损吗？其中安全送达的是几套？（ ）
A．没有破损；100套 B．有破损；82套 C．有破损；98套
3．（本题2分）（22-23四年级下·四川德阳·期末）停车场有小轿车和2轮摩托车共21辆，两种车共有80个轮子，那么停车场有轿车（ ）辆。
A．17 B．18 C．19
4．（本题2分）（22-23四年级下·四川广元·期末）学校举办知识抢答比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分。4号选手共抢答9题，最后得分58分。4号选手答错了（ ）题。
A．7 B．3 C．2
5．（本题2分）（22-23四年级下·四川南充·期末）解放军叔叔进行野外训练，晴天每天行20km，雨天每天行10km，8天共行了140km。这期间雨天有（ ）天。
A．8 B．6 C．2
6．（本题2分）（23-24四年级下·山西长治·期末）在学校一次环境保护知识抢答比赛中，共有20道题，每答对一道题得10分，答错一道倒扣5分，雏鹰队最后得分是155分，那么该队共答对（ ）题。
A．12 B．15 C．17
二、用心思考，认真填写（共9小题，满分15分）
7．（本题1分）（22-23四年级下·四川乐山·期末）数学思维竞赛20道题，做对一道题得10分，做错一道题扣5分，张天乐同学最后得155分，张天乐做对( )道题。
8．（本题1分）（23-24四年级上·重庆丰都·期末）一辆汽车在平原和山区行了6小时，共行245千米。已知汽车在平原每小时行42千米，山区每小时行35千米。它在山区行了( )小时。
9．（本题2分）（24-25四年级下·海南海口·期末）停车场共停放着39辆三轮摩托车和两轮摩托车，两种车子车轮总数为96个，三轮摩托车( )辆，两轮摩托车( )辆。
10．（本题2分）（23-24四年级下·山东菏泽·期末）在一个停车场共停了小汽车和摩托车32辆，这些车一共有108个轮子，小汽车有( )辆，摩托车有( )辆。
11．（本题2分）（23-24四年级下·浙江台州·期末）四（1）班43名学生参加植树活动，种树的同学每4人一组，浇水的同学每3人一组，正好分成12组。参加种树的同学有( )人，参加浇水的同学有( )人。
12．（本题2分）（23-24四年级下·安徽铜陵·期末）学校举办“24点”速算抢答比赛，规定答对一题加10分，答错一题扣6分。1号选手共抢答10题，最后得分68分。他答对了( )题，答错了( )题。
13．（本题2分）（23-24四年级下·河北廊坊·期末）张老师买了篮球和足球共8个，花了505元。篮球买了( )个，足球买了( )个。
14．（本题1分）（23-24四年级下·广西河池·期末）在数学知识抢答赛中，答对一题加5分，答错一题扣3分。小明共抢到了10题，最后得分34分，她答对了( )题。
15．（本题2分）（23-24四年级下·浙江宁波·期末）学校植树节活动，一班共有15人参加活动。女生每人栽2棵树，男生每人栽3棵树，一共栽了39棵树。女生有( )人，男生有( )人。
三、认真审题，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分）
16．（本题2分）（22-23五年级上·天津宁河·期末）鸡和兔共10个头，34条腿，鸡有7只，兔有3只。( )
17．（本题2分）（22-23四年级下·山东临沂·期末）笼子里有若干只鸡和兔，共8个头，22只脚，则鸡和兔的只数一样多。( )
18．（本题2分）（23-24四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）鸡兔同笼，共有106只脚，40个头，那么笼中有13只兔。( )
19．（本题2分）（23-24四年级下·山东济宁·期末）笼子里有鸭子和青蛙共24只，脚最多有100只。( )
20．（本题2分）（23-24四年级下·河北唐山·期末）龟和鹤共10只，共有30条腿，则龟、鹤数量一定相等。( )
四、灵活应用，解决问题（共10小题，满分63分）
21．（本题6分）（23-24四年级下·广西柳州·期末）鸡兔同笼，有9个头和26只脚。鸡和兔各有几只？
小思假设笼子里全是鸡，用画图的方法解决这个问题。（〇表示头，‖表示脚）
请你在上图中补全少了的脚。补完后，发现四条腿的兔有（ ）只。
22．（本题6分）（23-24四年级下·陕西渭南·期末）白水是陕西省乃至全国的果业大县，被誉为“中国苹果之乡”。以“个大、色艳、香甜、细脆、耐储藏、无污染”的突出特色而享誉中外。果农张大伯为了“青耘中国夏耘梦想”直播助农活动，现将100千克的苹果包装成12个礼品盒销售，其中每个大包装礼品盒装15千克，每个小包装礼品盒装5千克。果农张大伯包装了大包装礼品盒和小包装礼品盒各多少个？
23．（本题7分）（23-24四年级下·广东潮州·期末）潮汕猪肉脯肉质紧实，入口焦香。厂家出品了一箱6包的礼品装，还有一箱10包的普通装。如果车间一天生产760包，按两种包装，共分装为100箱，那么礼品装和普通装各装了多少箱？
24．（本题6分）（23-24四年级下·陕西商洛·期末）尊老、敬老、爱老、助老是中华民族传统美德。在2024年端午节期间，镇安县56名社会爱心志愿者到某敬老院开展爱心助老活动。将56名社会爱心志愿者分成10组，每5人一组打扫卫生，每7人一组表演节目。打扫卫生和表演节目各有多少组？
25．（本题6分）（23-24四年级下·陕西渭南·期末）宣纸是中国独特的手工艺品，享有“千年寿纸”的美誉。书法小组共12名同学用宣纸练毛笔字，男生每人用4张，女生每人用5张，一共用了53张宣纸。男生有多少人？女生有多少人？
26．（本题7分）（23-24四年级下·陕西渭南·期末）四年级学生分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。航模类每6人一组，阅读类每4人一组，共38人报名，正好分成8组。参加航模类的学生有多少人？
27．（本题6分）（22-23四年级下·四川南充·期末）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有27个头；从下面数有84只脚。鸡和兔各有几只？
28．（本题7分）（22-23四年级下·四川乐山·期末）现有大、小两种油桶共12个，大桶每个装油6千克，小桶每个装油3千克，又拿来了3大桶油，这些桶一共装油78千克，现在大、小油桶分别有多少个？
29．（本题6分）（23-24四年级下·山东日照·期末）2024年5月22日，习近平总书记来到山东日照市阳光海岸绿道，实地察看修复治理后的海岸线生态环境。阳光海岸绿道全长28公里，将13个景区和8个沿海民俗村串珠成链，是休闲游玩的绝佳场所。
（1）6月份，一个37人的外地旅游团要租自行车在阳光海岸绿道游玩，现有双人自行车（可供2人骑行）和三人自行车（可供3人骑行）可供选择，这个旅游团怎样租车最省钱？共多少钱？
（2）该旅游团在阳光海岸绿道游玩结束后，一起去世帆赛基地乘坐游艇出海，37人全部需要买票，共用去1680元，成人和孩子各有多少人？
30．（本题6分）（22-23四年级下·四川绵阳·期末）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有10个头，从下面数有26只脚，鸡有几只？

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