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(共24张PPT)
1. 理解有理数加法的交换律和结合律，能用它们简化有理数的加法运算；
2. 体会从特殊到一般的方法在研究数学问题中的作用；
3. 体会用字母表示数的优越性.
复习旧知
计算：（1）（－4）+（－6）； （2）（－4）+4；
（3）0+（－6）； （4）（－0.9）+1.5.
学习了有理数的加法法则后，还要研究加法的运算律.我们以前学过加法交换律、结合律，对于有理数的加法，它们还成立吗？
新知探究
问题1：
1.分别计算：
30+(-20)和(-20)+30，所得的和相同吗？
2.分别计算：
-30+(-20)和(-20)+(-30)，所得的和相同吗？
3.再换几组加数，看看它们所得的和相同吗？
从上述计算中，你能得出什么结论？
知识归纳
由以上计算结果发现，当数由非负数扩大到有理数范围时，加法交换律仍然适用.
在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
加法交换律：
其中， 表示任意两个有理数.
换几组加数再试一试，是否有相同的结论？
1.计算:
(1)[8+(-5)]+(-4)； (2)8+[(-5)+(-4)]；
所得的和相同吗？
=－1
=－1
问题2：
从上述计算中，你能得出什么结论？试用自己的语言概括.
你能用字母把这个规律表示出来吗？
新知探究
知识归纳
由以上计算结果发现，当数由非负数扩大到有理数范围时，加法结合律仍然适用.
在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
加法结合律
其中， 表示任意三个有理数.
归纳总结
根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加.
利用加法交换律、结合律，可以使运算简化.认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
典例分析
例1：计算：（1）8＋(－6)＋(－8)；（2）16 ＋(－25) ＋24 ＋(－35).
解：（1）8＋(－6)＋(－8).
=[8+(－8)]＋(－6)
=0＋(－6)
=－6
解：（2） 16＋(－25)＋24＋(－35).
=（16＋24）＋[(－25)+(－35)]
=40＋（－60）
=－20
思考：例1中是怎样使计算简化的？依据是什么？
例1计算是把正数和正数放在一起相加，把负数和负数放在一起相加，这样可以简化运算；依据是有理数加法的交换律和结合律.
例1：计算：（1）8＋(－6)＋(－ 8)；（2） 16 ＋(－25) ＋24 ＋(－35).
典例分析
学了有理数的加法，我们看看现实生活中的例子，我们是怎样用有理数加法来解决现实生活中的问题.
例2： 10袋小麦称后记录(单位：kg) 如图所示. 10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
典例分析
再计算总计超过多少千克：
502.5-50×10=2.5
解法1： 先计算10袋小麦一共多少千克：
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5.
典例分析
解法2：每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数. 10袋小麦对应的数分别为：
+0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8，-0.6，+0.9，+0.4.
0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8) +(-0.6)+0.9+0.4
=[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+ (0.5+0.7+0.9+0.4)
=2.5.
50×10+2.5=502.5.
答：10袋小麦一共502.5 kg，总计超过2.5 kg.
典例分析
对比反思
思考：
比较这两种解法，解法2使用了哪些运算律？
解法2使用了加法交换律和结合律，使运算得到了简化.
当堂巩固
有理数加法运算常用方法：
(1)正负数归类法；
(2)相反数结合法；
(3)凑整数；
(4)同分母分数结合法.
1. 计算：
(1) ；(2) ；
(3) .
答案：(1)-62；(2) ；(3)-12.
解：
2. 计算：
加法交换律、结合律
同分母分数结合法
当堂巩固
星期 一 二 三 四 五 六
水位变化
（米） ＋0.2 ＋0.8 －0.4 ＋0.2 ＋0.3 －0.2
3.下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
当堂巩固
解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值．
本周水位最高的为周五，
周一：＋0.2， 周二：＋0.2＋0.8＝＋1，
周三：＋1－0.4＝＋0.6， 周四：＋0.6＋0.2＝＋0.8，
周五：＋0.8＋0.3＝1.1，
1.1＋33＝34.1（m），34.1－33＝1.1（m），
故本周五水位最高，高于警戒水位1.1 m．
星期 一 二 三 四 五 六
水位变化
（米） ＋0.2 ＋0.8 －0.4 ＋0.2 ＋0.3 －0.2
当堂巩固
（2）通过表格可得＋0.2＋0.8－0.4＋0.2＋0.3－0.2＝0.9 m，
故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9 m．
星期 一 二 三 四 五 六
水位变化
（米） ＋0.2 ＋0.8 －0.4 ＋0.2 ＋0.3 －0.2
当堂巩固
能力提升
1. 计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
2. 计算： .
－12
－0.9
感受中考
（2024 陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，-2，-1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 （写出一个符合题意的数即可）
【解答】解：解法一：由题意，填写如下：
1+0+(-1)=0，2+0+(-2)=0，满足题意，
故答案为：0．（注意：方法不唯一）
（2024 陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，-2，-1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 （写出一个符合题意的数即可）
【解答】解：解法二：由题意，填写如下：
1+ (-2)+0=-1，2+ (-2)+(-1)=-1，满足题意，
故答案为：-2．（注意：方法不唯一）
感受中考
课堂小结
本节课我们学习了有理数加法的交换律和结合律，对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便：
1. 先将其中的相反数相加——相反数结合法；
2. 再将正数，负数分别相加——同号结合法；
3. 若有同分母的分数或相加得整数的先加起来——同分母结合法；
4. 几个数相加得到整数，先相加——凑整结合法.
布置作业
P34：习题2.1：第2题；
P36：习题2.1：第9、10题.2.1.1 有理数的加法（第2课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版（2024）《义务教育教科书 数学》七年级上册（以下统称“教材”）第二章“有理数的运算”2.1有理数的加法与减法第2课时，内容包括有理数加法的交换律和结合律.
2.内容解析
本节课是在学习了有理数加法的意义、法则以及小学学过的加法运算律的基础上，进一步研究有理数加法的运算律.有理数加法运算律既是简便运算的工具，也是加法运算的一种性质，通过学习可以加深学生对有理数及其运算的理解.理论上，运算律是在运算法则（一种数学定义）的基础上得出的运算性质，因此运算律是需要证明的.但证明过程要用到较高深的数学知识，七年级学生目前无法接受，因此只能通过具体例子归纳出来.加法运算律的文字表述及符号表示，渗透了用字母表示数的思想.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：有理数的加法交换律和结合律的探索与运用.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解有理数加法的交换律和结合律，能用它们简化有理数的加法运算；
（2）体会从特殊到一般的方法在研究数学问题中的作用；
（3）体会用字母表示数的优越性.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能合理运用加法交换律和结合律进行有理数的加法运算.
达成目标（2）的标志是：学生在有理数加法运算律的探索过程中，经历从一些具体的算式都具有的规律，归纳得出一般结论的过程，体会从特殊到一般的方法在研究数学问题中的作用.
达成目标（3）的标志是：学生在用字母表示加法运算律的过程中体会到用字母表示数的简洁性和一般性.
三、教学问题诊断分析
因为学生在小学阶段已经学习了非负有理数的运算律，所以明白有理数的加法运算律的道理并不困难.问题主要是在用运算律进行具体计算时，容易出现丢掉“－”号或漏掉括号等错误.另外，在利用运算律进行简化运算时，需要有较强的观察能力和心算技能.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：有理数的加法运算律的灵活运用.
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
1. 计算：（1）（－4）+（－6）； （2）（－4）+4；
（3）0+（－6）； （4）（－0.9）+1.5.
2. 学习了有理数的加法法则后，还要研究加法的运算律.我们以前学过加法交换律、结合律，对于有理数的加法，它们还成立吗？
师生活动：学生思考回答.教师根据学生回答的情况加以补充，并提出问题：如果参与运算的是有理数，这些运算律是否还成立？
【设计意图】通过复习前面学段学习的加法运算律，了解学生对小学阶段加法运算律的掌握情况，为学习有理数的加法运算律进行铺垫，同时明确本节课所学习的内容.
（二）新知探究
问题1：分别计算：30+(-20)和(-20)+30，所得的和相同吗？
追问1：分别计算：-30+(-20)和(-20)+(-30)，所得的和相同吗？
追问2：再换几组加数，看看它们所得的和相同吗？
师生活动：教师引导学生进行计算、观察，多次尝试更换加数后，回答问题.从而得出结论：加法的交换律对于有理数是适用的.
【设计意图】结合具体例子并让学生通过列举不同的加数进行验证，便于学生得出结论，体会从特殊到一般的方法在研究数学问题中的作用.
问题2：你能用精炼的语言表述这一结论吗？你能把有理数的加法交换律用字母表示吗？
（由以上计算结果发现，当数由非负数扩大到有理数范围时，加法交换律仍然适用. ）
师生活动：学生回答问题，并且互相补充.教师归纳，板书.
在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
加法交换律：a+b=b+a（其中，a，b表示任意两个有理数）.
让学生明确：（1）这里的字母表示任意一个有理数.（2）在同一个式子中，同一个字母表示同一个数.
【设计意图】培养学生的抽象思想和语言表达能力，通过用字母表示运算律，体会到用字母表示数的简洁性和一般性，培养符号意识.
问题3：计算并观察：（1）[8+(-5)]+(-4)； （2）8+[(-5)+(-4)]；
追问1：比较上面两式运算的结果，所得的和相同吗？类比加法交换律，提出你的猜想.
追问2：换几组加数再试一试，是否有相同的结论？
追问3：由上述计算，你能得到什么结论？试用自己的语言概括.
追问4：你能用字母把这个规律表示出来吗？
师生活动：学生独立思考并计算，进行归纳并提出猜想.教师进行语言的规范.教师板书.
在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
加法结合律：（a+b）+c = a +（b +c）（其中，a，b，c表示任意三个有理数）.
【设计意图】在验证了加法的交换律后提出这个问题，学生很容易产生类比交换律来研究有理数的加法结合律的愿望，学生在自主探究过程中，体会运用提出猜想——验证猜想——归纳结论的过程和方法.另外再次锻炼学生使用规范语言总结结论的能力.
（三）典例分析
例1：计算：（1）8＋(－6)＋(－8)； （2）16＋(－25)＋24＋(－35).
解：（1）8＋(－6)＋(－8).
=[8+(－8)]＋(－6)
=0＋(－6)
=－6.
（2）16＋(－25)＋24＋(－35).
=（16＋24）＋[(－25)+(－35)]
=40＋（－60）
=－20.
师生活动：学生思考怎样计算，教师提醒学生每一步计算都要有依据.如果学生按从左到右的顺序计算，教师追问：这道题还有其他计算方法吗？引导学生先用交换律，再用结合律简化运算.
完成计算后追问：哪种方法更简便？
如果学生开始就想到利用运算律简化运算，追问学生：你是怎样想到用这个方法的？
【设计意图】让学生通过具体的运算以及步步说理，体会运算律对简化运算的作用.自然而然地感受到加法交换律和结合律可以推广到多个数相加的情形.通过预设的两种不同情况的追问，让学生体会到，进行有理数运算时，要先观察算式中数的特点，再选择恰当的运算律简化运算.
例2：10袋小麦称后记录（单位：kg）如图所示. 10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：
50.5＋50.5＋50.8＋49.5＋50.6＋50.7＋49.2＋49.4＋50.9＋50.4=502.5.
再计算总计超过多少千克：
502.5－50×10=2.5.
解法2：每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数. 10袋小麦对应的数分别为：＋0.5，＋0.5，＋0.8，－0.5，＋0.6，＋0.7，－0.8，－0.6，＋0.9，＋0.4.
0.5＋0.5＋0.8+(－0.5)＋0.6＋0.7＋(－0.8)＋(－0.6)＋0.9＋0.4
=[0.5＋(－0.5)]＋[0.8＋(－0.8)]＋[0.6＋(－0.6)]＋(0.5＋0.7＋0.9＋0.4) =2.5.
50×10＋2.5=502.5.
答：10袋小麦一共502.5 kg，总计超过2.5 kg.
师生活动：教师引导学生采取两种方法进行求解，并要求学生思考：第二种做法使用了哪些运算律？
【设计意图】本题有两种解法.解法2说明把互为相反数的一对数结合起来相加，可以使计算简化.这种方法使用了加法交换律、加法结合律. 解法2是以前面学习过的用正数、负数解决实际问题为基础的：以每袋50kg为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数.把这些数相加，其结果是总计超过多少或不足多少，再与按标准数计算的总数比较，即可得出总数.这里利用了平均数的思想，把较大的数的运算转化为较小的数的运算，从而简化了运算.
（四）当堂巩固
1. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
2. 计算：
解：
．
3. 下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位 变化(米)
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值．
本周水位最高的为周五，
周一：＋0.2，
周二：＋0.2＋0.8＝＋1，
周三：＋1－0.4＝＋0.6，
周四：＋0.6＋0.2＝＋0.8，
周五：＋0.8＋0.3＝1.1，
1.1＋33＝34.1（m），
34.1－33＝1.1（m），
故本周五水位最高，高于警戒水位1.1 m．
（2）通过表格可得＋0.2＋0.8－0.4＋0.2＋0.3－0.2＝0.9 m，
故与上周周末相比，本周周末长江的水位上升了0.9 m．
师生活动：学生独立完成，学生代表板书，学生互相评价.教师引导归纳：简化运算的常见方法：（1）正负数归类法；（2）相反数结合法；（3）凑整数；（4）同分母分数结合法.
【设计意图】让学生进一步体会运算律可以起到简化运算的作用，对本节课所学习的运算律进行内化，同时也是为归纳如何选择恰当的加法运算律进行铺垫．
（五）能力提升
1. 计算：
（1）；
（2）；
（3）.
（参考答案：（1）-12；（2）-0.9；（3）.）
2. 计算：. （参考答案：）
师生活动：学生独立完成，如有困难，先在组内讨论说明思路，教师适时引导点拨.
【设计意图】检测学生是否可以恰当使用有理数加法的运算律，从而简便、准确地进行等多个加数的加法运算.
（六）感受中考
（2024 陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，－2，－1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 （写出一个符合题意的数即可）．
【解答】解：解法一：由题意，填写如下：
1+0+(－1)=0，2+0+(－2)=0，满足题意，
故答案为：0．（注意：方法不唯一）
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.
（七）课堂小结
本节课我们学习了有理数加法的交换律和结合律，对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便：
1. 先将其中的相反数相加——相反数结合法；
2. 再将正数，负数分别相加——同号结合法；
3. 若有同分母的分数或相加得整数的先加起来——同分母结合法；
4. 几个数相加得到整数，先相加——凑整结合法.
师生活动：学生思考、归纳、交流.教师补充归纳.
【设计意图】让学生自己对本节课所学知识进行梳理，提升数学的思想方法.归纳用运算律简化运算的操作性规律，有利于学生形成运算技能，提高观察能力和运算速度.同时，这也是培养学生总结运算规律的意识．
（八）布置作业
P34：习题2.1：第2题；
P36：习题2.1：第9、10题.
五、教学反思
本节课首先通过设问“我们以前学过加法的交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？”导入新内容的探究学习.同时提醒学生，在规定了有理数的加法法则后，以前学过的加法运算律不是自然适用，需要探究验证，重新认识.
对加法的交换律、结合律在有理数范围内是否适用，是通过探究，用若干个有理数相加的结果验证，并归纳、总结得出结论的.对有理数加法的两个运算律，不仅要求学生会用自己的语言表述其要义，能够熟练地使用，而且还要明白这两个运算律用字母表示的意义，即等式a+b=b+a与（a+b）+c = a +（b +c）的字母a，b，c可以表示任意的有理数，因而具有广泛性和代表性.
例1是有理数加法运算律的练习与巩固，教学时.要求学生明确每一步变形或计算的依据，鼓励学生提供多种计算方法.例2是用有理数加法解决的实际问题，解法1是小学所学的常规方法，解法2综合运用了正数、负数的概念，以及有理数加法及其运算律等知识.教学时，要引导学生仔细分析、思考，理解这种解法的合理性、简捷性，体会转化化归思想，并通过若干个类似问题的解决，达到深化理解有理数加法运算律和转化化归思想的目的.
关于有理数加法的运算律及其应用是这样突破的：①对于有理数加法运算律的文字表示，应该尽可能地让学生尝试用自己的语言表述验证的数字表达式，教师再根据情况用规范的语言予以概括与统一，忌教师包办代替.对于有理数加法运算律的字母表示，则需要教师引导.实际上1.2.2数轴一节已经使用过用字母a表示有理数，a可能是正数、负数或0，即字母a可以表示任意有理数.因而，表示任意两个有理数相加，可以表示为a+b，而交换两个加数的位置求和，得到的结果与原来的结果相等，因此a+b=b+a.同理，若三个有理数a，b，c相加，可以先将前两个数a，b相加，再将它们的和与有理数c相加，得到的结果与先将后两个数b，c，再与数a相加得到的结果相等.用字母表示是（a+b）+c = a +（b +c）.需要注意的是，虽然字母a，b，c可以表示任意的有理数，但是在同一个式子中，同一个字母只表示同一个数.②加法的交换律和结合律可以推广到多个数相加的情形：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加.③利用有理数加法的运算律可以使加法运算简便.在实际运算时常采用：正负数归类法，相反数结合法，同分母分数结合法，凑整法等方法.

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